Formula CNF Setara Terpendek


18

Biarkan menjadi Formula CNF yang memuaskan dengan variabel dan klausaBiarkan S F 1 menjadi ruang solusi F 1 .F1mnmSF1F1

Pertimbangkan masalah penentuan, mengingat , Formula F 2 CNF lainnya dengan set variabel yang sama dengan F 1 , dengan S F 2 = S F 1 (ruang solusi yang sama dengan F 1 ), tetapi dengan klausa sesedikit mungkin ( satu-satunya tujuan adalah untuk meminimalkan jumlah klausa, jadi berapa literal yang mungkin dimiliki setiap klausa tidak relevan).F1F2F1SF2=SF1F1

Pertanyaan

Adakah yang sudah menyelidiki masalah ini? Apakah ada hasil dalam literatur tentang hal itu?

Sebagai contoh, pertimbangkan CNF Formula (setiap baris adalah klausa): F1

x 2x 3x 4 ¬ x 1x 2x 4 ¬ x 1x 2¬ x 3 ¬ x 1x 3x 5 ¬ x 1x 2¬ x 5x1x2x3
x2x3x4
¬x1x2x4
¬x1x2¬x3
¬x1x3x5
¬x1x2¬x5

dan rumus berikut : F2

x 2x 3x 4 ¬ x 1x 3x 5 ¬ x 1x 2x1x2x3
x2x3x4
¬x1x3x5
¬x1x2

keduanya memiliki ruang solusi yang sama, tetapi sementara memiliki 6 klausa, F 2 hanya memiliki 4 . F16F24

Akhirnya, pertimbangkan rumus berikut : F3

¬ x 1x 3x 5 ¬ x 1x 2x2x3
¬x1x3x5
¬x1x2

Ruang solusi sekali lagi sama, tetapi hanya dengan klausa.3


2
@tsuyoshi Saya pikir dia ingin mendapatkan formula CNF yang terdiri dari jumlah minimum klausa dengan ruang solusi yang sama
Tayfun Pay

1
@ TsuyoshiIto: Ya, saya ingin meminimalkan jumlah klausa. Saya tidak membatasi jumlah literal yang dimiliki masing-masing klausa.
Giorgio Camerani

1
Untuk definisi "kecil" yang masuk akal, masalahnya adalah NP-hard. Rumus CNF memuaskan jika dan hanya jika tidak setara dengan rumus "Salah", yang memiliki nol klausa.
Jeffε

1
Bagian 6 dari citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/… menyebutkan bahwa masalah menentukan apakah ada rumus CNF yang setara dengan paling banyak jumlah literal yang diberikan adalah -lengkap. Saya tidak yakin saya mengerti mengapa versi Anda meminimalkan jumlah klausa itu menarik, karena ini berada dalam faktor n dari ukuran formula, di mana n adalah jumlah variabel. Π2pnn
András Salamon

1
Juga, hasil terbaru lainnya adalah relevan: dx.doi.org/10.1016/j.dam.2011.05.013
András Salamon

Jawaban:


10

Masalah menentukan apakah ada rumus CNF yang setara dengan paling banyak jumlah literal yang diberikan adalah -complete. Versi yang meminimalkan jumlah klausa berada dalam faktor n dari ukuran rumus, di mana n adalah jumlah variabel. Lihat bagian 6 dari:Π2pnn

Hasil terbaru menunjukkan bahwa menghitung batas bawah tertentu untuk ukuran rumus CNF setara terpendek (diukur dengan jumlah klausa, seperti yang Anda tentukan) adalah NP-complete. Makalah ini juga menyatakan bahwa masalah Anda dalam meminimalkan jumlah klausa adalah -lengkap juga, mengutip makalah Umans di atas, meskipun mengapa hal berikut ini tidak segera jelas bagi saya.Π2p

  • Ondřej Čepek, Petr Kučera dan Petr Savický, Boolean berfungsi dengan sertifikat sederhana untuk kompleksitas CNF , DAM 160 (4–5), 365–382, 2012. doi: 10.1016 / j.dam.2011.05.013

8

Masalah miniisasi rangkaian tidak dapat dipecahkan (lihat komentar di bawah). Apa yang saya pikir Anda mungkin tertarik adalah teknik beberapa pemecah SAT berlaku (setidaknya sampai tingkat tertentu) yang disebut SAT preprocessing. Misalnya pemecah MiniSAT yang terkenal menggunakan Minelite minimizer CNF untuk memproses ulang sebuah instance. Google Cendekia memberikan banyak hasil untuk "sat preprocessing" juga.


2
Π2p

1
Σ2P

6

solusi std / dikenal utama untuk minimisasi CNF di EE adalah algoritma Quine-McCluskey yang ada banyak implementasi, beberapa domain publik. Namun pemahaman saya adalah bahwa (tidak disebutkan dalam artikel wikipedia saat ini) paling kembali ke heuristik dan algoritma serakah untuk menemukan solusi esp untuk formula besar, yaitu mereka tidak perlu. temukan solusi optimal esp. untuk instance input besar.

Quine-MCluskey adalah generalisasi bekerja dengan peta Karnough yang diagramnya dapat berhasil untuk contoh kecil.

dan perhatikan bahwa mungkin ada beberapa solusi optimal dalam hal rumus setara dengan ukuran klausa (minimal) yang sama, ini akan ditunjukkan dalam referensi yang baik pada Subj. menemukan minimum tampaknya mengurangi daftar semua implikasi utama yang dapat melibatkan ledakan eksponensial besar dalam memori / "ruang" dibandingkan dengan ukuran formula asli.

Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.