Masalah die roll

Sunting: Saya pikir semangat pertanyaan itu baik, tetapi perlu ditingkatkan. Asumsi yang dibuat untuk lemparan koin membuat pertanyaan itu sepele, dan die roll masih belum cukup jelas.

Apa asumsi yang masuk akal yang dapat kita buat tentang die roll yang membuat pertanyaan itu bisa diterima, tetapi tidak sepele? Tempat terbaik untuk diskusi lebih lanjut mungkin dalam obrolan.

Pertanyaan ini terinspirasi oleh dan terkait erat dengan masalah Super Mario Galaxy (SMG) .

Misalkan Mario sedang berjalan di permukaan sebuah planet. Jika dia mulai berjalan dari lokasi yang diketahui, ke arah yang tetap, untuk jarak yang telah ditentukan, seberapa cepat kita dapat menentukan di mana dia akan berhenti?

Sebagai langkah pertama kami ingin menyederhanakan pertanyaan sebanyak mungkin.

pertanyaan 1

Misalkan kita mulai dengan kepala koin menghadap ke atas, melemparkannya dengan torsi awal , dan menangkapnya lagi setelah waktu t . Seberapa cepat kita dapat menentukan apakah koin akan mendarat di kepala atau ekor?$T$$t$

Untuk lebih tepatnya, koin adalah sebuah silinder yang memiliki ketinggian hampir 0 (dapat diabaikan dibandingkan dengan jari-jarinya). Koin akan berputar dengan kecepatan sudut konstan pada sudut tetap untuk jumlah waktu yang tetap. Pada akhir periode waktu itu, kami membekukan waktu dan ruang dan memeriksa posisi koin. Inilah yang dimaksud dengan "menangkap" koin. Ada tiga kemungkinan: koin itu persis vertikal, dengan ujung yang tipis mengarah ke atas. Untuk saat ini, kami mengabaikan kemungkinan ini. Jadi, jika Anda melihat koin dari atas, Anda dapat melihat sisi kepala, atau sisi ekor. Sisi mana pun yang terlihat dari atas saat ini adalah nilai undian.

Torsi awal dan periode waktu dimaksudkan untuk dianalogikan dengan Mario berjalan dengan arah yang tetap untuk jarak yang telah ditentukan. Perbedaannya adalah bahwa alih-alih berjalan di sepanjang permukaan polytope untuk jarak tertentu, kita membiarkannya berputar bebas di ruang angkasa untuk sejumlah radian yang tetap.

Pertanyaan 0

Jika koin berputar di sekitar sumbu tetap, apakah nilai lemparan (sisi koin terlihat dari atas) secara berkala? Seperti yang saya definisikan masalah di atas, apakah koin harus berputar di sekitar sumbu tetap, atau bisakah itu berputar lebih tak terduga?

Seperti dalam masalah SMG, kami ingin melakukan sesuatu yang lebih pintar daripada secara eksplisit "berjalan" melalui setiap wajah saat koin terbalik. Dalam versi masalah yang sangat disederhanakan ini, saya percaya ini harus dimungkinkan, karena flip koin harus berkala.

Dalam pertanyaan kedua, kami menganggap pembatasan yang tidak terlalu sepele terhadap masalah aslinya.

Pertanyaan 2

$s$$T$

Kita harus membuat beberapa asumsi penyederhanaan tentang die, jika tidak ini menjadi masalah pemodelan fisik. Untuk saat ini, mari kita asumsikan bahwa kita melempar dadu seperti kita akan melempar koin: kita melemparkannya, memberikannya rotasi awal, dan setelah waktu yang singkat menangkapnya lagi, dan sisi mana pun yang menghadap ke atas adalah nilai lemparan itu.

$P$

Pertanyaan 3

Bahkan untuk die biasa, saya tidak tahu bahwa urutan wajah yang menghadap ke atas akan periodik, tetapi dapatkah kita memperkirakan die roll dengan urutan periodik dan dengan demikian mendapatkan "tebakan terbaik" dari hasil lebih cepat daripada yang kita bisa pecahkan masalah aslinya? Saya pikir jawabannya jelas ya, tetapi apa trade-off antara kualitas estimasi kami dan peningkatan waktu berjalan?

Pertanyaan 4

Sekarang anggaplah dadu ditimbang, sehingga kecepatannya tergantung pada wajah saat ini. Dalam terminologi masalah SMG asli , ini berarti bahwa kecepatan Mario berjalan tergantung pada wajah Mario saat ini. Mungkin beberapa bagian planet ini memiliki medan yang lebih kasar daripada yang lain.

Pertama-tama, saya pikir yang Anda maksud mungkin adalah impuls sudut dan bukan torsi. (Anda dapat melihat impuls sebagai efek total dari torsi yang diterapkan dalam waktu singkat.) Jika Anda mengabaikan udara seret dll, gerakan benda kaku (dan khususnya koin atau kubus) dalam bingkai COM sangat sederhana - itu hanya berputar dengan kecepatan sudut konstan.

$\omega t$$-\omega t$

Saya tidak akan mengatakan bahwa masalah ini adalah model yang baik untuk masalah SMG karena di SMG Anda memiliki titik yang bergerak dengan kecepatan konstan di permukaan sedangkan di sini seluruh tubuh akan berputar dengan kecepatan sudut konstan, yang membuat masalah ini jauh lebih sederhana .