Batas Tradeoff untuk Penghitungan Kisaran Halfspace

10

Apa batas terbaik saat ini untuk melakukan kueri penghitungan kisaran ruang setengah pada set poin dimensi, dinyatakan dalam bentuk tradeoff waktu / ruang. Menurut mani 1993 kertas Matousek ini (Teorema 6.2, pencarian Rentang dengan Efisien hirarkis Stek), kita dapat melakukan berbagai perhitungan untuk query yang merupakan persimpangan halfspaces, untuk , menggunakan struktur data ukuran , untuk , di waktu. Untuk ini adalah waktu. Namun, survei Agarwal tentang pencarian jarak jauh (Tabel 36.3.2) menyatakan bahwa batasnya adalah $d$ $p$ $1 \le p \le d+1$ $O(m)$ $n \le m \le n^d$ $O\left(\frac{n}{m^{1/d}}\log^{p-(d-p+1)/d} \left(\frac{m}{n}\right)\right)$ $p=1$ $O(n/m^{1/d})$ $O\left(\frac{n}{m^{1/d}}\log(\frac{m}{n})\right)$ . Apa pernyataan yang benar dari ikatan itu? Atau, apa yang saya salah pahami? Akhirnya, apakah ada istilah log tersembunyi ketika $m=n^d$ ?

reference-request ds.data-structures cg.comp-geom

— pkn
sumber

6

Batas waktu yang lebih kuat dari Matoušek benar.

Bukti Teorema 6.1 ( dalam versi jurnal ) menggunakan trik tipuan yang mengurangi batas ruang yang diperlukan untuk waktu kueri logaritmik dari menjadi . Secara intuitif, triknya adalah mengelompokkan titik-titik ke dalam himpunan bagian ukuran polylogaritmik, membangun struktur data ruang-linier untuk setiap subset, dan kemudian membangun struktur waktu-logaritmik-waktu-permintaan standar atas subset. Memasukkan peningkatan ruang yang terikat ke mesin multi-level / tradeoff Matoušek — yang dijelaskan secara umum dalam versi survei Agarwal yang lebih panjang — memberikan bentuk tradeoff ruang-waktu Matoušek. (Faktanya, trik tipuan hanyalah aplikasi yang sangat hati-hati dari mesin tradeoff standar.) $O(n^d)$ $O(n^d/\operatorname{polylog} n)$

— Jeffε
sumber

Secara eksplisit: Teorema 6.2 dalam makalah Matousek mengklaim bahwa penghitungan halfspace dapat dilakukan dalam ruang , waktu. Ketika , ini adalah kali ... tidak ada faktor log aditif yang tidak dinyatakan? Saya hanya bertanya karena dalam survei Theorem 7 dan Corollary 8 memiliki aditif yang tidak ada dalam pernyataan teorema Matousek.

O (m)

$O(m)$

O (n / m^{1 / d})

$O(n/m^{1/d})$

m = n^{d}

$m = n^d$

O (1)

$O(1)$

O (l o g (m / n))

$O(log (m/n))$

— pkn

Ah, begitu. Ya, ada bug; batas atas dalam pernyataan teorema terlalu longgar. Buktinya membutuhkan ; jika tidak, parameter integer akan kurang dari . Menambahkan istilah logairthmic ke waktu kueri juga memperbaiki masalah.

m \leq n^{d}

$m \le n^d$

m = O (n^{d} / \log^{d - p + 1} n)

$m = O(n^d / \log^{d-p+1} n)$

r

$r$

1

$1$

— Jeffε

2

Ada diskusi singkat tentang hasil pencarian rentang setengah ruang tepat di atas Tabel 36.3.2 dalam Survei Agarwal dan yang lain di bagian 4.3 survei ini . Yang pertama tampaknya tidak memberikan banyak detail di luar "Sebuah tradeoff ruang / waktu-waktu untuk pencarian rentang simpleks dapat diperoleh dengan menggabungkan struktur data waktu-ukuran linear dan logaritmik", tetapi yang terakhir tampaknya memberikan sedikit lebih detail tentang tradeoff ruang / waktu-permintaan. Saya sarankan melihat bagian 4.3, Teorema 7, Konsekuensi 8, dan buktinya. Saya belum membacanya dengan cukup detail untuk mengetahui apakah itu sepenuhnya menjawab pertanyaan Anda, tetapi setidaknya ini adalah tempat yang baik untuk memulai.

— Joe
sumber