Berapakah ekstensi minimal FO yang menangkap kelas bahasa reguler?

Konteks: hubungan antara logika dan automata

Teorema Büchi menyatakan bahwa logika Orde Kedua atas string (MSO) Monadic menangkap kelas bahasa biasa. Buktinya benar-benar menunjukkan bahwa MSO eksistensial ( exist atau EMSO ) lebih dari string sudah cukup untuk menangkap bahasa biasa. Ini mungkin sedikit mengejutkan, karena, di atas struktur umum, MSO benar-benar lebih ekspresif daripada . $\exists\text{MSO}$ $\exists\text{MSO}$

Pertanyaan (asli) saya: logika minimal untuk bahasa biasa?

Apakah ada logika yang, di atas struktur umum, benar-benar kurang ekspresif daripada , tapi itu masih menangkap kelas bahasa biasa ketika dianggap lebih dari string? $\exists\text{MSO}$

Khususnya, saya ingin tahu fragmen bahasa reguler apa yang ditangkap oleh string FO ketika diperpanjang dengan operator titik paling tidak tetap (FO + LFP). Sepertinya kandidat alami untuk apa yang saya cari (jika tidak ). $\exists\text{MSO}$

Jawaban pertama

Sesuai jawaban @ makoto-kanazawa , baik FO (LFP) dan FO (TC) menangkap lebih dari bahasa-bahasa biasa, di mana TC adalah operator penutupan transitif dari hubungan biner. Masih harus dilihat apakah TC dapat digantikan oleh operator lain atau serangkaian operator sedemikian rupa sehingga ekstensi menangkap kelas bahasa biasa, dan tidak ada yang lain.

Logika tingkat pertama saja, seperti yang kita tahu, tidak cukup, karena ia menangkap bahasa bebas bintang, subkelas yang tepat dari bahasa reguler. Sebagai contoh klasik, bahasa Parity tidak dapat diekspresikan menggunakan kalimat FO. $\;\;=(aa)^*$

Pertanyaan diperbarui

Inilah kata-kata baru dari pertanyaan saya, yang masih belum terjawab.

Berapakah ekstensi minimal logika tingkat pertama sehingga FO + ekstensi ini, ketika diambil alih string, menangkap dengan tepat kelas bahasa biasa?

Di sini, sebuah ekstensi minimal jika itu adalah yang paling ekspresif (ketika diambil alih struktur umum) di antara semua ekstensi yang menangkap kelas bahasa biasa (ketika diambil alih string).

— Janoma
sumber

Jika saya tidak salah,

calculus memang setara dengan MSO di atas string.

μ

$\mu$

— Sylvain

@ Silvain, ada referensi? Saya tidak tahu apa-apa tentang

-kalkulus.

μ

$\mu$

— Janoma

Tampaknya terbukti di dx.doi.org/10.1109/LICS.1988.5137 untuk pohon tak terbatas, dan di dx.doi.org/10.1007/3-540-61604-7_60 untuk kesetaraan dengan fragmen bisimulasi-invarian MSO lebih dari struktur sewenang-wenang.

— Sylvain

Saya melihat pada makalah kedua, meskipun saya khawatir banyak konsep baru bagi saya. Secara khusus, saya tidak tahu tentang sistem transisi bisimulasi-invarian. Tampaknya DFA adalah kasus-kasus tertentu dari sistem transisi, tetapi saya tidak tahu apakah mereka invasif bisimulasi. Jika ya, itu akan menjawab sebagian dari pertanyaan saya (mungkin ada logika lain yang kurang ekspresif untuk bahasa reguler); jika tidak, saya pikir tidak ada yang bisa dikatakan, karena masih bisa ada kesetaraan ketika mempertimbangkan string saja.

— Janoma

Dua kata yang terbatas , dilihat sebagai sistem transisi, adalah bisimilar jika mereka isomorfik. (Dalam notasi makalah kedua, kata

dengan

dapat dilihat sebagai sistem transisi

a_{1} \dots a_{n}

$a_1\cdots a_n$

Σ^{*}

$\Sigma^\ast$

Σ = 2^{P r o p}

$\Sigma=2^{\mathit{Prop}}$

⟨ {1, \dots, n}, 1, {(i, i + 1) ∣ i < n}, {i ∣ p \in a_{i}}_{p \in P r o p} ⟩

$\langle\{1,\dots,n\},1,\{(i,i+1)\mid i<n\},\{i\mid p\in a_i\}_{p\in\mathit{Prop}}\rangle$

— Sylvain

FO (LFP) menangkap PTIME pada struktur yang dipesan, dan string adalah struktur yang dipesan. Jadi bahasa yang didefinisikan oleh FO (LFP) mencakup semua bahasa reguler dan banyak lagi. http://dx.doi.org/10.1016/S0019-9958(86)80029-8

$\{ a^n b^n \mid n \geq 1 \}$

— Makoto Kanazawa
sumber

Luar biasa. Saya tidak tahu apa yang Anda maksud dengan TC ^ 1 dan TC ^ 2, apakah itu salah ketik? Sejauh yang saya tahu, dalam buku yang Anda sebutkan notasi yang digunakan adalah FO (TC) untuk ekstensi FO dengan penutupan transitif dan FO (DTC) untuk perpanjangan FO dengan penutupan transitif deterministik , yang didefinisikan secara berbeda. Saya belum menemukan latihan yang Anda sebutkan. Masih untuk melihat apakah ada operator yang kurang ekspresif daripada TC yang masih memungkinkan untuk menangkap bahasa biasa. Saya akan memperbarui pertanyaan saya sesuai.

— Janoma

Jawaban ini agak terlambat, tetapi diketahui bahwa seseorang dapat memperoleh semua dan hanya bahasa-bahasa biasa dengan menyatukan penghitung grup umum untuk setiap grup hingga (atau ekuivalen untuk setiap grup sederhana hingga). Misalnya, lihat "Bahasa Reguler Dapat Didefinisikan oleh Lindstrom Quantifiers" oleh Zoltan Esiky dan Kim G. Larsen, di http://www.brics.dk/RS/03/28/BRICS-RS-03-28.pdf .

Selain itu, ini optimal dalam arti bahwa bahasa biasa hanya akan dapat ditentukan jika penjumlahan untuk setiap kelompok yang membagi mono sintaksisnya tersedia.

— Ben Standeven
sumber

$^r$ $^r$ $2r$ $r$

Saya menemukan beberapa referensi lain yang mungkin menarik bagi Anda.

$^1$

— Makoto Kanazawa
sumber