Memahami konstruksi proses stokastik

11

Saya telah melihat proses stokastik dimodelkan / dibangun dengan cara berikut.

Pertimbangkan ruang probabilitas dan biarkan menjadi (terukur) transformasi yang kami gunakan untuk memodelkan evolusi titik sampel dari waktu ke waktu . Juga, misalkan menjadi vektor acak . Kemudian, proses stokastik digunakan untuk memodelkan urutan pengamatan melalui rumus atau $(\Omega, \mathcal F, Pr)$ $\mathbb S$ $\mathbb S: \Omega \rightarrow \Omega$ $\omega$ $X$ $X: \Omega \rightarrow \mathbb R^n$ $\{ X_t: t=0,1,...\}$ $X_t(\omega) = X[\mathbb S^t(\omega)]$ $X_t = X \circ \mathbb S^t.$

Bagaimana saya harus memahami titik sampel dan transformasi dalam konstruksi ini? (Mungkinkah menjadi seperti guncangan dalam kasus tertentu?) $\omega \in \Omega$ $\mathbb S$ $\omega$

Untuk lebih konkretnya, bagaimana saya akan menulis kedua proses ini dalam notasi ini?

Proses 1: mana .

\begin{matrix} (1) & X_{t + 1} = ρ X_{t} + ε_{t + 1} \end{matrix}

$X_{t+1} = \rho X_t + \varepsilon_{t+1} \tag{1}$

X_{0} = 0

$X_0 = 0$

Proses 2:

\begin{matrix} (2) & X_{t + 1} = ε_{t + 1} \end{matrix}

$X_{t+1} = \varepsilon_{t+1} \tag{2}$

— jmbejara
sumber

4

Konstruksi yang Anda gambarkan ini tidak sepenuhnya umum. Bahkan itu mencirikan seri waktu stasioner ketat. Anda melihat bahwa itu adalah shift-invariant. Operator ini pada dasarnya adalah operator shift. $S$

Sebagai perbandingan, inilah definisi umum dari, katakanlah waktu diskrit, proses:

Definisi Proses stokastik adalah urutan dari peta terukur Borel pada ruang probabilitas . $\{ X_t \}$ $( \Omega, \mathcal{F}, \mu )$

Sekarang untuk apa yang Anda gambarkan, Anda memiliki peta terukur Borel tetap . Ini ukuran yang mendasari yang berkembang menurut . Peta menginduksi "ukuran maju-maju" baru (dalam bahasa ukur-teoritik) di dengan hanya mengambil preimage: tentukan ukuran dengan $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n$ $S$ $S$ $\Omega$ $\mu_S$

A \in F \overset{μ_{S}}{\mapsto} P r (S^{- 1} (A)) .

$A \in \mathcal{F} \stackrel{\mu_S}{\mapsto} Pr(S^{-1}(A)).$

Jadi vektor acak adalah oleh konstruksi. Mereka menginduksi ukuran push-forward yang sama pada . Lakukan ini dengan untuk setiap dan Anda memiliki deret waktu Anda. $X: ( \Omega, \mathcal{F}, \mu_S) \rightarrow \mathbb{R}^n$ $X \circ S$ $\mathbb{R}^n$ $S^t$ $t$

Adapun pertanyaan Anda tentang , memeriksa bukti untuk arah lain harus mengklarifikasi ini --- yaitu setiap seri waktu stasioner harus mengambil formulir ini untuk beberapa , , dan . $\omega$ $( \Omega, \mathcal{F}, Pr)$ $X$ $S$

Titik dasarnya adalah bahwa, dari sudut pandang umum, proses stokastik adalah ukuran probabilitas pada set kemungkinan realisasi. Ini terlihat dalam, misalnya, konstruksi Wiener tentang gerak Brown; ia membangun ukuran probabilitas pada . Jadi secara umum, adalah jalur sampel dan terdiri dari semua jalur sampel yang mungkin. $C[0, \infty)$ $\omega$ $\Omega$

Misalnya, ambil dua proses yang Anda sebutkan di atas. Mereka benar-benar diam, jika katakanlah inovasi adalah Gaussian. (Setiap kovarians-stasioner seri waktu didorong oleh inovasi Gaussian ketat stasioner.) Konstruksi kemudian akan mulai dengan mengambil menjadi himpunan semua urutan, yang -algebra dihasilkan oleh koordinat peta, dan ukuran yang tepat. Untuk proses white noise (2), hanyalah ukuran produk pada produk tanpa batas. $\Omega$ $\mathcal{F}$ $\sigma$ $Pr$ $Pr$

Referensi Karakterisasi / konstruksi ini dengan menggeser deret waktu stasioner yang ketat disebutkan dalam White's Asymptotic Theory for Econometricians .

— Michael
sumber

Terima kasih atas jawabannya dan referensi. Juga, maaf atas jawaban yang lambat di sini. Ini masuk akal. Juga, hanya untuk menyebutkan, menurut referensi (buku White) menurut saya konstruksi ini memang memungkinkan untuk proses non-stasioner. Def. 3,27 mendefinisikan transformasi menjadi ukuran melestarikan jika untuk semua . Kemudian, Prop. 3.29 mengatakan bahwa jika adalah ukuran pengawetan, maka prosesnya diam.

S

$\mathbb S$

P r (A) = P (S^{- 1} (A))

$Pr(A) = P(\mathbb S^{-1}(A))$

A \in F

$A \in \mathcal F$

S

$\mathbb S$

— jmbejara

1

@ jmbejara Ya, poin bagus. Ini sebenarnya sepenuhnya umum --- dengan memilih untuk menjadi ruang jalur kanonik ( ), produk tanpa batas --- dan mendefinisikan sebagai pergeseran, setiap hukum deret waktu dapat diwujudkan dalam bentuk seperti itu.

Ω

$\Omega$

Π R

$\Pi \mathbb{R}$

S

$S$

— Michael

1

Dimungkinkan untuk mempertimbangkan kasus-kasus menjadi titik dalam ruang dimensi infite, misalnya urutan guncangan, tetapi interpretasi seperti itu tidak akan produktif, karena Anda tidak akan mendapatkan penyederhanaan bila dibandingkan dengan spesifikasi langsung proses pada ruang probabilitas yang difilter dan hanya menghasilkan entitas tambahan yang tidak diinginkan untuk memperumit masalah. $\omega$

Pendekatan ini jauh lebih cocok untuk aplikasi ke titik dalam ruang dimensi yang terbatas. Maka dengan pendekatan ini Anda akan membangun waktu proses Markov homogen dan akan ditafsirkan sebagai titik dalam ruang keadaan itu, katakanlah, posisi saat ini dari proses, atau beberapa posisi terakhir. Pertimbangan pada interpretasi S akan ditunda sampai contoh dibahas. $\omega$

Karenanya memaksa saya menganggap bahwa adalah urutan variabel acak pada ruang probabilitas yang ditentukan dalam pertanyaan. Maka proses kedua dapat didefinisikan sebagai berikut: $\epsilon_t$

$\omega \in R,$ $S(\omega) = \omega,$ $X(S^t(\omega)) = S^t(\omega).$ Indeks atas di sini menunjukkan beberapa aplikasi operator di sini.

Contoh pertama adalah uraian atas yang pertama:

$\omega \in R^2,$ $S((\omega_1,\omega_2)) = (\rho \cdot \omega_1 + \omega_2,\omega_2),$ $X(S^t(\omega)) = (S^t(\omega))_1.$ Indeks yang lebih rendah di sini menunjukkan di sini masing-masing komponen vektor yang sesuai.

Seperti yang telah kita lihat, operasi S itu sendiri agak ambigu dan sulit ditafsirkan secara wajar. Poin yang perlu dicatat, bagaimanapun, adalah bahwa ia mendefinisikan ukuran mempertahankan transformasi dan mengambil gambar di bawahnya menghasilkan set dengan ukuran yang sama. Jadi fungsi ini mengukur dinamika ruang negara kita dalam waktu.

— Nikita Toropov
sumber

1

Dia hanya berpikir sebagai deterministik dan tidak dapat diamati. Kemudian kami mengamati sebagai bentuk informasi yang tidak lengkap tentang . dan kemudian membantu kami menyimpulkan distribusi probabilitas gabungan lebih dari . $\mathbb{S}$ $\omega$ $X(\omega)$ $\omega$ $\mathbb{S}$ $X$ $\{X_t\}_{t=0}^\infty$

— Pat W.
sumber