Apakah ada cara untuk menghubungkan teorema Berge maksimum ke teorema Amplop?

8

Teorema Berge menyatakan

Misalkan , menjadi fungsi kontinu bersama, menjadi kontinu (keduanya korespondensi bernilai-atas dan bawah hemikontinu). Fungsi nilai maksimal dan pemaksimator adalah Kemudian adalah kontinu dan adalah hemikontinyus atas. $X \in \mathbb R^m, \Theta \in \mathbb R^n$ $f : X \times \Theta \to \mathbb R$ $C : \Theta \rightrightarrows X$
$V (θ) := max_{x \in X} f (x, θ)$ $V(\theta) := \max_{x \in X}f(x, \theta)$ $C^{*} (θ) := {x \in C (θ) ∣ f (x, θ) = V (θ)}$ $C^\ast(\theta):=\{x \in C(\theta) \mid f(x, \theta )=V(\theta)\}$ $V : \Theta \to \mathbb R$ $C^\ast :\Theta \rightrightarrows X$

Menurut Varian's Microeconomic Analysis (1992), halaman 490, teorema amplop hanyalah:

$\frac{d M (a)}{d a} = \frac{\partial f (x, a)}{\partial a} ∣_{x = x (a)}$ $\frac{dM(a)}{da}=\frac{\partial f(x,a)}{\partial a}\mid_{x=x(a)}$

$x(a)$ adalah pemaksimal dari $f(\cdot, a)$ .

Tampaknya bagi saya teorema Amplop mensyaratkan teorema Berge, tetapi derivasinya terlihat lebih sederhana. Apakah ada hubungan antara keduanya?

mathematical-economics academic-graduate optimization

— Epicurus
sumber

Tidak terlihat keduanya asyik dengan target yang sama. Berge's menetapkan properti dari fungsi nilai dan himpunan maximizer. Envelope prihatin dengan menunjukkan apa efek memvariasikan parameter adalah ... mungkin Anda bisa menguraikan jenis koneksi antara keduanya yang membuat Anda penasaran.

— Alecos Papadopoulos

@AlecosPapadopoulos Mohon maaf atas ketidakjelasan pertanyaan saya. Sekarang saya menemukan pencarian ini berasal dari ingatan saya yang kabur tentang proposisi 2 dalam Lucas (1978). Sekarang saya bisa merumuskannya dengan lebih tepat. Kondisi seperti apa pada fungsi utilitas dan batasan yang memungkinkan kita untuk menerapkan teorema amplop hanya setelah kita menetapkan kesinambungan fungsi nilai oleh teorema Berge? people.hss.caltech.edu/~pbs/expfinance/Readings/Lucas1978.pdf

— Epicurus

Saya tidak berpikir Anda perlu "membangun kesinambungan fungsi nilai" untuk menggunakan teorema amplop. Itu pikir bagian kuncinya adalah titik tentang kontrol . Lihat Teorema 2 di halaman Wikipedia. Di sana, kesinambungan V adalah hasilnya. Bagaimanapun, halaman Wikipedia menyatakan teorema secara penuh. Ini akan memberi tahu Anda apa yang perlu Anda asumsikan untuk menggunakan teorema. en.wikipedia.org/wiki/Envelope_theorem

C^{*}

$C^*$

— jmbejara

6

Mereka terkait dan biasanya masuk dalam diskusi yang sama, tetapi seperti @Alecos menyebutkan dalam komentar, kedua teorema menunjukkan hal-hal yang berbeda.

Saya kira koneksi yang Anda cari adalah fakta bahwa jika turunan ada, kemudian karena diferensiabilitas menyiratkan kontinuitas, Anda mungkin bisa mendapatkan bagian dari teorema maksimum darinya. Namun, untuk membandingkan dan membedakan dua teorema Anda tidak harus hanya melihat hasilnya. Anda perlu melihat asumsi juga. Sebagai contoh, teorema maksimum tidak mengasumsikan adanya diferensiabilitas apa pun. Teorema amplop melakukan (setidaknya beberapa bentuknya). Bagaimanapun, asumsi yang masuk ke masing-masing berbeda (beberapa lebih kuat, beberapa lebih lemah).

{\frac{\partial f (x, a)}{\partial a} |}_{x = x (a)}

$\left .\frac{\partial f(x, a)}{\partial a} \right |_{x=x(a)}$

Juga ada ini. Teorema amplop tidak memberi tahu Anda apa pun tentang fungsi kontrol. Oleh karena itu, Anda pasti tidak akan bisa mendapatkan hasil bahwa adalah hemicontinuous atas. $C^*$

— jmbejara
sumber

4

Mengutip OP dari komentar

Kondisi seperti apa pada fungsi utilitas dan batasan yang memungkinkan kita untuk menerapkan teorema amplop hanya setelah kita menetapkan kesinambungan fungsi nilai oleh teorema Berge? people.hss.caltech.edu/~pbs/expfinance/Readings/Lucas1978.pdf

Dalam makalah yang direferensikan Lucas (1978), Proposisi 1 menetapkan itu

masukkan deskripsi gambar di sini

di mana adalah fungsi nilai, dan adalah definisinya. Jadi nampaknya merupakan kelanjutan dari fungsi Harga yang dipilih sebagai syarat di sini, tetapi sebelumnya dalam makalah ini Lucas mendefinisikan fungsi Utilitas sebagai fungsi non-negatif yang merupakan $v(z,y;p)$ $(i)$

terus terdiferensiasi, dibatasi, meningkat dan cekung ketat

Proposisi 2 dari makalah ini menetapkan diferensiabilitas fungsi nilai, tanpa memerlukan asumsi lebih lanjut.

— Alecos Papadopoulos
sumber