Ambil-atau-tinggalkan-itu PBE

Saya telah menemukan pertanyaan menarik melihat keseimbangan sempurna-bayesian-keseimbangan. Saya belum melihat pertanyaan di mana kepercayaan tidak terpisah.

Ada pembeli potensial tunggal dari suatu objek yang memiliki nilai nol untuk penjual. Valuasi pembeli ini didistribusikan secara seragam pada [0, 1] dan merupakan informasi pribadi. Penjual menyebutkan harga $p_1$ dimana pembeli menerima atau menolak.

Jika dia menerima, objeknya diperdagangkan pada harga yang disepakati dan imbalan pembeli adalah $v − p_1$ dan penjual $p_1$ .

Jika dia menolak maka penjual membuat penawaran harga lain, hal. Jika pembeli menerima ini, imbalannya adalah $\delta_(v − p_2)$ dan penjual $\delta p_2$ dimana $\delta = 0.5$ .

Jika dia menolak, kedua pemain mendapatkan nol (tidak ada offers lebih lanjut).

Temukan Bayesian Equilibrium Sempurna.

Pendekatan saya yang biasa adalah untuk memperbaiki kepercayaan, tetapi saya tidak tahu bagaimana melakukan ini dengan keyakinan yang berkelanjutan. Ada saran?

game-theory academic-graduate bayesian-game

— Brian
sumber

Maaf, saya tidak bisa memikirkan cara mudah untuk memberikan saran parsial. Ini latihan yang bagus. Apakah Anda (atau penciptanya) keberatan jika saya menggunakannya di kelas?

— Giskard

Tentu saja, silakan saja!

— Brian

Setelah memposting solusi buruk kemarin, saya yakin saya mendapat yang lebih baik:

Strategi pembeli terdiri dari dua fungsi, $(f_1(v,p_1),f_2(v,p_1,p_2))$ tempat kedua fungsi dipetakan $\left\{A,R\right\}$ (dimana $A$ singkatan Accept, $R$ untuk Tolak). Strategi penjual adalah $(p_1,p_2(f_1(v,p_1)))$ . Anda mendapatkan solusinya melalui induksi mundur. Di PBE $f_2(v,p_1,p_2)$ peta ke $A$ jika dan hanya jika $v \geq p_2$ . (Ada kelonggaran yang tidak penting pada kesetaraan.) Dalam PBE penjual percaya bahwa ada satu set $H$ jenis yang pembeli menolak tawarannya $p_1$ . Kemudian

p_{2}^{*} = \arg max_{p_{2}} p_{2} \cdot P r o b (f_{2} (v, p_{1}, p_{2}) = A | f_{1} (v, p_{1}) = R) .

$p_2^* = \arg\max_{p_2} p_2 \cdot Prob(f_2(v,p_1,p_2) = A | f_1(v,p_1) = R).$ Pembeli akan menerima tawaran jika dan hanya jika Dari sini Anda mendapatkan Sisi kiri persamaan ini meningkat dalam , jadi tipe dengan penilaian tinggi akan Terima. Ini berarti bahwa dalam PBE himpunan sedemikian rupa sehingga Dari ini kita mendapatkan optimal yang diberikan : Dalam PBE adalah fungsi dari :

p_{1}

$p_1$

v - p_{1} \geq δ \cdot (v - p_{2}) .

$v - p_1 \geq \delta \cdot (v - p_2).$

v \cdot (1 - δ) \geq p_{1} - δ \cdot p_{2} .

$v \cdot (1 - \delta) \geq p_1 - \delta \cdot p_2.$

v

$v$

H

$H$

H = [0, \bar{v}) .

$H = [0, \bar{v}).$

p_{2}

$p_2$

\bar{v}

$\bar{v}$

p_{2}^{*} = \arg max_{p_{2}} p_{2} \cdot P r o b (v \geq p_{2} | v \in [0, \bar{v})) = \frac{\bar{v}}{2} .

$p_2^* = \arg\max_{p_2} p_2 \cdot Prob(v \geq p_2 | v \in [0, \bar{v})) = \frac{\bar{v}}{2}.$

\bar{v}

$\bar{v}$

p_{1}

$p_1$

\bar{v} \cdot (1 - δ) = p_{1} - δ \cdot \frac{\bar{v}}{2},

$\bar{v} \cdot (1 - \delta) = p_1 - \delta \cdot \frac{\bar{v}}{2},$ jadi Kami telah menentukan semua strategi PBE tetapi . Hasil yang diharapkan dari penjual adalah mana Mengganti ini kita dapatkan

\bar{v} = \frac{p_{1}}{1 - \frac{δ}{2}} .

$\bar{v} = \frac{p_1}{1 - \frac{\delta}{2}}.$

p_{1}

$p_1$

p_{1} \cdot (1 - \frac{p_{1} - δ \cdot p_{2} (\bar{v} (p_{1}))}{1 - δ}) + \frac{1}{2} \cdot p_{2} (\bar{v} (p_{1})) \cdot (\frac{p_{1} - δ \cdot p_{2} (\bar{v} (p_{1}))}{1 - δ} - p_{2} (\bar{v} (p_{1}))),

$p_1 \cdot \left( 1 - \frac{p_1 - \delta \cdot p_2(\bar{v}(p_1))}{1 - \delta} \right) + \frac{1}{2} \cdot p_2(\bar{v}(p_1)) \cdot \left( \frac{p_1 - \delta \cdot p_2(\bar{v}(p_1))}{1 - \delta} - p_2(\bar{v}(p_1)) \right),$

p_{2} (\bar{v} (p_{1})) = \frac{\bar{v} (p_{1})}{2} = \frac{\frac{p_{1}}{1 - \frac{δ}{2}}}{2} = \frac{p_{1}}{2 - δ} .

$p_2(\bar{v}(p_1)) = \frac{\bar{v}(p_1)}{2} = \frac{\frac{p_1}{1 - \frac{\delta}{2}}}{2} = \frac{p_1}{2 - \delta}.$

p_{1} \cdot (1 - \frac{p_{1} - δ \cdot \frac{p_{1}}{2 - δ}}{1 - δ}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{p_{1}}{2 - δ} \cdot (\frac{p_{1} - δ \cdot \frac{p_{1}}{2 - δ}}{1 - δ} - \frac{p_{1}}{2 - δ}),

$p_1 \cdot \left( 1 - \frac{p_1 - \delta \cdot \frac{p_1}{2 - \delta}}{1 - \delta} \right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{p_1}{2 - \delta} \cdot \left( \frac{p_1 - \delta \cdot \frac{p_1}{2 - \delta}}{1 - \delta} - \frac{p_1}{2 - \delta} \right),$

Anda harus memaksimalkan wrt ini . Dengan saya mendapat $p_1$ $\delta = 0.5$

p_{1}^{*} = \frac{9}{20}, \bar{v} = \frac{3}{5}, p_{2}^{*} = \frac{3}{10} .

$p_1^* = \frac{9}{20}, \hskip 20pt \bar{v} = \frac{3}{5}, \hskip 20pt p_2^* = \frac{3}{10}.$

— Giskard
sumber

Saya merasa pertanyaan ini juga dapat diartikan sebagai perusahaan yang mencoba menyaring konsumen dari berbagai penilaian yang direpresentasikan sebagai interval unit tertutup. Skema penetapan harga yang optimal adalah menetapkan dua harga sehingga pelanggan dengan penilaian tinggi akan membayar dengan harga lebih tinggi pada tahap pertama, dan beberapa dari mereka yang penilaian rendah akan membayar dengan harga lebih rendah pada tahap kedua.

— Metta World Peace

Anda harus menjelaskan mengapa utilitasnya berbeda di babak 2. Untuk penjual itu bisa berupa diskon sederhana, tetapi untuk pembeli? Jika barang tersebut tahan lama maka jenis yang membeli barang akan menerima beberapa manfaat di kedua putaran.

— Giskard

Saya tidak begitu mengikuti. Mengapa pembeli tidak dapat mendiskontokan utilitas yang diperoleh di babak kedua? Ini bisa diartikan sebagai skimming harga dua periode, bukan?

— Metta World Peace

Memalukan tetapi saya belum pernah mendengar model ini sampai sekarang. Anda benar, ini menggambarkan permainan di atas dengan baik.

— Giskard 3-15

Anda mengatakan bahwa pembeli akan menerima jika dan hanya jika tetapi tidakkah pembeli akan menolak jika dan lebih besar dari , terlepas dari apakah ketidaksetaraan di atas terpenuhi?

p_{1}

$p_1$

v - p_{1} \geq δ (v - p_{2})

$v-p_1\ge \delta(v-p_2)$

p_{1}

$p_1$

p_{2}

$p_2$

v

$v$

— Franklin Pezzuti Dyer