Bagaimana Anda memvisualisasikan Frekuensi negatif dalam domain Waktu?

Di bidang pemrosesan sinyal digital saya telah melihat orang menggunakan kata-kata

Sinyal kompleks dan frekuensi negatif. Untuk misalnya. dalam FFT Spectrum.

Apakah itu benar-benar memiliki arti signifikan dalam domain waktu atau hanya bagian dari simetri matematika.

Bagaimana Anda memvisualisasikan Frekuensi negatif dalam domain Waktu?

FFT bekerja dengan memperlakukan sinyal sebagai 2 dimensi - dengan bagian nyata dan imajiner. Ingat lingkaran unit ? Frekuensi positif adalah ketika fasor berputar berlawanan arah jarum jam, dan frekuensi negatif adalah ketika fasor berputar searah jarum jam.

Jika Anda membuang bagian imajiner dari sinyal, perbedaan antara frekuensi positif dan negatif akan hilang.

Misalnya ( sumber ):

Jika Anda merencanakan bagian imajiner sinyal, Anda akan mendapatkan sinusoid lain, fase bergeser berkaitan dengan bagian nyata. Perhatikan bagaimana jika fasor berputar ke arah lain, sinyal teratas akan persis sama tetapi hubungan fase bagian imajiner dengan bagian nyata akan berbeda. Dengan membuang bagian imajiner dari sinyal, Anda tidak dapat mengetahui apakah suatu frekuensi positif atau negatif.

Dalam domain waktu, frekuensi negatif diwakili oleh pembalikan fase.

Untuk gelombang kosinus, tidak ada bedanya, karena bagaimanapun juga simetris sekitar nol waktu. Ini dimulai pada 1 dan jatuh ke nol di kedua arah.

$$cos(t) = cos(-t)$$

Namun, gelombang sinus dimulai dengan nilai nol pada waktu nol dan naik ke arah positif, tetapi jatuh ke arah negatif.

$$sin(t) = -sin(-t)$$

Berikut ini pendekatan yang sedikit berbeda. Mari kita lihat fungsi periodik mana yang memiliki transformasi Fourier persis dengan frekuensi .$-1$

Ini adalah fungsi untuk t ∈ [ 0 , 1 ] .$t \mapsto e^{-2\pi \mathrm{i} t} = \cos(-2\pi t) + \mathrm{i}\sin(-2\pi t) = \cos(2\pi t) - \mathrm{i}\sin(2\pi t)$$t \in [0,1]$

Perhatikan bahwa fungsi ini memiliki bagian nyata yang sama dengan fungsi . Fungsi yang terakhir ini hanya memiliki komponen frekuensi tunggal - frekuensi 1 .$t \mapsto e^{2\pi \mathrm{i}t}$$1$

Alasan frekuensi negatif ini muncul ketika hanya mempertimbangkan sinyal nyata adalah karena mereka memberikan cara yang lebih mudah untuk menggambarkan nilai eigen yang sangat kompleks dari aksi lingkaran unit pada ruang fungsinya.

Sunting: Untuk memperluas komentar terakhir, untuk melakukan analisis frekuensi apa yang benar-benar ingin kami lakukan adalah mengambil ruang fungsi bernilai nyata pada , F ( [ 0 , 1 ] , R ) dan dapat mengekspresikan fungsi apa pun f ∈ F ( [ 0 , 1 ] , R ) dalam hal beberapa dasar alami F ( [ 0 , 1 ] , R$[0,1]$$F([0,1], \mathbb{R})$$f \in F([0,1], \mathbb{R})$$F([0,1], \mathbb{R})$ Kami setuju bahwa tidak terlalu banyak jika kita memulai periode kita adalah hingga 1 atau$0$$1$$1/2$$3/2$$f(x) \mapsto f(a+x)$

$F([0,1], \mathbb{R})$$f(x) \mapsto f(a+x)$ has complex eigenvalues. These matrices will be diagonal (in an appropriate basis) if we complexify the situation. That is why we study $F([0,1], \mathbb{C})$ instead. Introducing complex numbers has a penalty though - we obtain a concept of negative frequencies.

This is all a bit abstract but to see concretely what I am talking about consider my two favorite functions:

$$\cos(2\pi t) = \frac{1}{2}(e^{2\pi \mathrm{i} t} + e^{-2\pi \mathrm{i} t})$$ $$\sin(2\pi t) = \frac{1}{2 \mathrm{i}}(e^{2\pi \mathrm{i} t} - e^{-2\pi \mathrm{i} t})$$

Consider the shift by $\frac{1}{4}$, $s(f(x)) = f(x+\frac{1}{4})$.

$$s(\cos(2\pi t)) = -\sin(2 \pi t)$$ $$s(\sin(2\pi t)) = \cos(2 \pi t)$$
The real vector space span of $\cos(2 \pi t)$ and $\sin(2 \pi t)$ is a two dimensional vector space of functions which is preserved by $s$. We can see that $s^2 = -1$ so $s$ has eigenvalues $\pm \mathrm{i}$

This two dimensional space of functions cannot be decomposed into eigenspaces for $s$ unless we complexify it. In this case the eigenvectors will be $e^{2\pi \mathrm{i} t}$ and $e^{-2 \pi \mathrm{i}t}$.

To recap, we started with two positive frequencies but in order to diagonalize the action of $s$ we had to add in the negative frequency function $e^{-2 \pi \mathrm{i} t}$.

A great way of visualizing negative frequencies is to modulate the original signal. Say you have a sine wave with frequency $\omega_0$ (in radians):

$$x(t)=\sin(\omega_0t)$$

The spectrum of this signal has a peak at $\omega=\omega_0$ and one at the negative frequency $\omega=-\omega_0$.

By modulating the signal $x(t)$ you basically shift the original spectrum by the carrier frequency $\omega_c>\omega_0$:

$$y(t)=x(t)\cos(\omega_ct)=\sin(\omega_0t)\cos(\omega_ct)=\frac{1}{2}[\sin(\omega_c+\omega_0)t-\sin(\omega_c-\omega_0)t]$$

Now the original negative peak at $-\omega_0$ has become visible after shifting it up by $\omega_c$. It is now at $\omega=\omega_c-\omega_0$. The peak at positive frequencies is not at $\omega=\omega_c+\omega_0$.

"How do you visualize negative Frequency in Time domain ?"

I interprete this question as follows: Do negative frequencies exist in reality?

If this interpretation is correct (and meets the core of the question) my answer is simply: NO - they do not exist.

More than that (to be a bit "sophistic") - "frequencies" cannot exist because they are not a physical quantity. Instead, we have sinusoidal waves with some specific properties - and on of these properties is the number of periods per second. And that`s what we call "frequency". And this number cannot be negative.

Hence, the introduction of signals having "negative frequencies" may have a lot of advantages but it is a pure abstract and theoretical "tool" allowing simplifications of mathematical expressions/descriptions.