Fourier vs Laplace

8

Misalkan saya memiliki jaringan RLC dalam kotak hitam, dan saya memukulnya keras di lab untuk mendapatkan respons impuls. Saya memiliki dua opsi sekarang, saya dapat mengambil transformasi Fourier atau saya dapat mengambil transformasi Laplace untuk mendapatkan respons frekuensi. Bagaimana saya tahu yang mana yang harus dipilih dan apa perbedaan fisik antara masing-masing?

Saya telah diberitahu bahwa Transformasi Laplace juga memberi Anda respon sementara atau pembusukan sedangkan Transformasi Fourier tidak. Apakah ini benar? Jika saya tiba-tiba menerapkan sinyal sinusoidal pada input, maka harus ada respon sementara untuk periode waktu singkat di mana output bukan sinusoid sampai sistem menetap. Dapatkah seseorang memberi saya contoh praktis dalam hal jaringan RLC untuk menunjukkan bagaimana ini benar?

Juga, sering di kelas sirkuit, kita mengambil Transformasi Laplace dari sirkuit di mana bagian sebenarnya $s = \sigma + j\omega$ diasumsikan nol, jadi ketika kita gunakan $\frac{1}{Cs}$ untuk menunjukkan transformasi Laplace kapasitor, diasumsikan bahwa ini setara dengan $\frac{1}{j\omega C}$ . Saya percaya bagian yang sebenarnya adalah nol karena arus yang melalui kapasitor adalah 90 derajat keluar dari fase dengan tegangan yang melintasi - apakah ini benar? Saya pikir transformasi Fourier sama dengan Transformasi Laplace $\sigma = 0$ . Namun, itu tampaknya tidak benar - pertimbangkan $x(t) = u(t)$ :

F {x (t)} = \int_{- \infty}^{\infty} u (t) e^{- j ω t} d t = π δ (ω) + \frac{1}{j ω} \neq L {x (t)} = \int_{0}^{\infty} e^{- s t} d t = \frac{1}{s}

$\mathcal{F}\{x(t)\} = \int_{-\infty}^\infty{u(t)e^{-j\omega t}}dt = \pi\delta(\omega) + \frac{1}{j\omega} \neq \mathcal{L}\{x(t)\} = \int_0^\infty{e^{-st}dt} = \frac{1}{s}$

Kita bisa melihat itu bahkan jika saya gantikan $s = j \omega$ tanpa bagian nyata pada output dari transformasi Laplace, mereka masih tidak sama. Bagaimana transformasi Fourier memiliki komponen impuls tambahan tetapi Laplace tidak? Kapan saya bisa mengganti? $s = j\omega$ dan berharap transformasi Fourier sama dengan transformasi Laplace?

Sunting: bagian terakhir dari pertanyaan saya memiliki jawaban di sini dan di sini .

laplace-transform

— hesson
sumber

12

Transformasi Fourier dan Laplace tidak sama. Pertama-tama, perhatikan bahwa ketika kita berbicara tentang transformasi Laplace, kami sangat sering berarti transformasi Laplace unilateral, di mana integral transformasi dimulai dari $t=0$ (dan tidak sama $t=-\infty$ ), yaitu dengan Transformasi Laplace kami biasanya menganalisis sinyal dan sistem sebab akibat. Dengan transformasi Fourier ini tidak selalu terjadi.

Untuk memahami perbedaan antara keduanya, penting untuk melihat wilayah konvergensi (ROC) dari transformasi Laplace. Untuk sinyal sebab akibat, ROC selalu merupakan bidang setengah kanan, yaitu tidak ada kutub (dari fungsi rasional di $s$ ) di sebelah kanan beberapa nilai $\sigma_0$ (dimana $\sigma$ menunjukkan bagian sebenarnya dari variabel kompleks $s$ ). Sekarang jika $\sigma_0<0$ , yaitu jika $j\omega$ Sumbu ada di dalam ROC, maka Anda cukup memperoleh transformasi Fourier dengan pengaturan $s=j\omega$ . Jika $\sigma_0>0$ maka transformasi Fourier tidak ada (karena sistem yang sesuai tidak stabil). Kasus ketiga ( $\sigma_0=0$ ) menarik karena di sini transformasi Fourier memang ada tetapi tidak dapat diperoleh dari transformasi Laplace dengan pengaturan $s=j\omega$ . Contoh Anda dari tipe ini. Transformasi Laplace dari fungsi langkah memiliki kutub di $s=0$ , yang terletak di $j\omega$ sumbu. Dalam semua kasus seperti itu transformasi Fourier memiliki tambahan $\delta$ impuls di lokasi tiang di $j\omega$ sumbu.

Perhatikan bahwa tidak benar bahwa transformasi Fourier tidak dapat menangani transien. Ini hanya kesalahpahaman yang mungkin berasal dari fakta bahwa kita sering menggunakan transformasi Fourier untuk menganalisis perilaku kondisi tunak sistem dengan menerapkan sinyal input sinusoidal yang didefinisikan untuk $-\infty<t<\infty$ . Silakan juga lihat jawaban ini untuk pertanyaan serupa.

— Matt L.
sumber

Bisakah Anda menjelaskan mengapa dalam analisis rangkaian biasanya Transformasi Laplace digunakan tetapi akhirnya bagian nyata dari s diatur ke 0?

— anhnha

5

Ok, jadi Anda menggedor kotak hitam yang terbuat dari komponen RLC dan Anda mengukur respons - respons impuls. Sekarang Anda ingin mengetahui respons frekuensi, artinya respons terhadap sinusoidal apa pun.

Pertama-tama, Anda tidak dapat benar-benar membangkitkan sistem Anda dengan sinusoidal murni. Sudah terlambat, Anda harus mulai dengan big bang. Yang terbaik yang dapat Anda lakukan adalah menggunakan sinusoidal kausal, yang memiliki komponen frekuensi ekstra.

Tetapi katakanlah apa yang ingin Anda ketahui adalah respons sistem terhadap input sewenang-wenang dalam domain waktu. Anda tidak benar-benar membutuhkan Fourier atau Laplace untuk mengetahui hal ini. Konvolusi akan berhasil.

Apa yang ada di tangan, sungguh? Anda mengukur respons impuls. Entah bagaimana Anda merencanakannya, katakanlah terus menerus, sebagai lawan dari ADC yang mengambil sampel sinyal - yang biasanya apa yang terjadi, dan Anda akan bertanya tentang Z-transform vs FFT sebagai gantinya. Mari kita juga berasumsi bahwa ledakan yang Anda berikan itu adalah delta yang bagus: kuat tetapi pendek.

Karena sistem Anda adalah RLC, itu linier, jadi prinsip superposisi berfungsi (toh kita tidak akan membicarakan hal ini sebaliknya). Setiap input dapat dibangun dengan menambahkan impuls yang dilemahkan dalam waktu (semacam - itu adalah hal yang membatasi). Jadi total respon hanyalah menambahkan semua respon individual ini bersama-sama. Tambahan ini persis seperti yang dilakukan oleh input konvolusi (t) * impulseResponse (t). Anda dapat mempertimbangkan sistem RLC sebagai "konvolusi perangkat keras". Ini mungkin cara paling akurat untuk memprediksi respons terhadap input yang berubah-ubah.

Sekarang saya ingin mengklarifikasi sesuatu, yaitu bagaimana Laplace berhubungan dengan Fourier. Domain kami adalah fungsi kausal, karena tidak masuk akal untuk membandingkan Laplace unilateral dengan Fourier sebaliknya. Selain itu, semua sinyal nyata bersifat kausal. Secara matematis, Transformasi Laplace hanyalah Transformasi Fourier dari fungsi yang telah dikalikan dengan eksponensial yang membusuk. Sesederhana itu. Jadi jika transformasi Fourier tidak ada karena integralnya tidak terbatas, Laplace mungkin masih ada jika eksponensial yang membusuk cukup kuat, karena integrasi fungsi 'dilemahkan' akan menyatu. Dari sudut pandang matematika, ini bisa sangat berguna dalam kasus-kasus tertentu.

Tetapi yang Anda benar-benar inginkan adalah membuat sistem kontrol untuk pabrik Anda. Dalam hal itu, apa yang Anda lakukan adalah memeriksa respons dan kemudian memperkirakannya dengan model pesanan 1 atau 2 ditambah penundaan kelompok. Jadi itu tidak akan tepat, tetapi dengan melakukan ini Anda membuang semua detail kecil dari respon aktual, dan mendapatkan keuntungan luar biasa karena dapat menyambungkan model ini ke persamaan kontrol dan algoritma dan puluhan buku pengetahuan teori kontrol. dan merancang dan mensimulasikan sistem kontrol Anda. Jika demikian, Anda akan menggunakan model Laplace, karena segera dapatkan kutub dan nol yang dapat digunakan untuk analisis stabilitas.

— apalopohapa
sumber

2

Jawaban yang bagus. Namun, pernyataan Anda "Laplace lebih umum daripada Fourier" tidak benar. Dalam teori sistem, akan sangat berguna, juga untuk tujuan praktis, untuk mempelajari sistem ideal dan / atau sinyal ideal. Dalam kasus ini biasanya Transformasi Fourier yang ada, sedangkan Transformasi Laplace tidak. Pertimbangkan sebagai contoh respons impuls dari filter tembok-bata yang ideal. Transformasi Laplace mereka tidak ada, tetapi Transformasi Fourier mereka tidak ada. Hal yang sama tentu saja berlaku untuk transformasi sinyal ideal, seperti sinusoid (dinyalakan pada big bang ...).

— Matt L.

@apalopohapa: mengapa "Anda tidak dapat benar-benar membangkitkan sistem Anda dengan sinusoidal murni"?

— anhnha