Mengapa induktansi (L) sebanding dengan putaran-kuadrat (N²)?

Kita mulai dari Persamaan Maxwell

$$\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} = \mu \mathbf{J} + \overbrace{\mu \epsilon \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}}^0.$$

Kami mengambil integrasi permukaan kedua sisi, untuk permukaan dalam jalur rata-rata ( ) inti.$s$$c$

$$\int_s \left( \mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} \right) \cdot d\mathbf{s} = \mu \int_s \mathbf{J} \cdot d\mathbf{s}$$

Kami menggunakan Teorema Stroke untuk menulis ulang sisi kiri; di mana berada dalam arah yang sama dengan fluks magnet .$c$$\Phi$

$$\oint_c \mathbf{B} \cdot d \mathbf{\ell} = \mu N I$$

(Integral di sisi kiri menghasilkan , karena ada kabel yang berbeda pada belitan.)$NI$$N$

Kepadatan medan magnet di dalam inti semacam ini dianggap seragam. Jadi, kita bisa menulis

$$B \ell_c \overset\sim= \mu NI \implies B = \dfrac{\mu NI}{\ell_c};$$

di mana adalah panjang jalur rata-rata inti.$\ell_c$

Kita dapat menemukan fluks magnetik dari kerapatan fluks magnetik yang telah kita temukan dengan menggunakan luas penampang inti .$A_c$

$$\Phi = BA_c = \dfrac{\mu NIA_c}{\ell_c}$$

Menurut definisi, induktansi adalah jumlah fluks magnetik yang dihasilkan per arus yang diterapkan, yaitu

$$L \overset\triangle= \dfrac{\Phi}{I}.$$

Jadi, kami menemukan induktansi sistem sebagai

$$\boxed{ L = \dfrac{\Phi}{I} = \dfrac{\dfrac{\mu NIA_c}{\ell_c}}{I} = \dfrac{\mu NA_c}{\ell_c} }.$$

Tapi, semua sumber lain ( contoh ) memberikan induktansi dari induktor seperti ini

$$L = \dfrac{\mu N^2A_c}{\ell_c}.$$

Apa kesalahan yang saya lakukan dalam derivasi saya? Tolong jelaskan secara rinci.

Anda menghitung fluks inti dengan persamaan di atas, dan induktansi mengambil jumlah semua fluks melalui setiap belokan. Fluks melalui setiap belokan adalah sama dan sama dengan fluks inti. Fluks inti proporsional dengan N, dan jumlah per putaran fluks sebanding dengan .$N^2$

Cara lain untuk menyatakan ketergantungan ini adalah dengan mengatakan: karena kopling magnetik di antara belokan.

Pikirkan induktor belok tunggal (kiri di bawah) kemudian, bayangkan belok tunggal terbelah menjadi dua kabel paralel yang dililit sangat erat sehingga mereka menempati ruang yang hampir sama (tepat di bawah).

Dua kabel paralel, untuk tegangan yang diberikan, masing-masing akan mengambil setengah arus induktor belok tunggal dan, bersama-sama mereka mengambil arus yang sama dengan putaran tunggal: -

Karena itu, masing-masing kabel paralel HARUS memiliki dua kali impedansi dari kawat tunggal dan, bersama-sama, ketika kabel paralel, menunjukkan impedansi yang sama dengan kabel tunggal. OKE sejauh ini?

Sekarang, atur kembali kedua kabel (di mata pikiran Anda) sehingga keduanya serentak satu sama lain. Impedansi berubah hingga empat kali impedansi: -

Ini berarti induktansi telah empat kali lipat untuk penggandaan belokan dan itu sepele untuk memperpanjang contoh ini ke n belokan.

Apa kesalahan yang saya lakukan dalam derivasi saya? Tolong jelaskan secara rinci.

Induktansi adalah

$$L = \frac{\lambda}{I} = \frac{N\Phi}{I}$$

di mana adalah pertautan fluks - tautan fluks magnetik N berputar.$\lambda$