Mengapa menggunakan bilangan kompleks untuk mewakili amplitudo dan fase AC

36

Mengapa di sirkuit AC, gelombang sinus direpresentasikan sebagai bilangan kompleks dalam bentuk kutub? Saya tidak mengerti secara logis dari perspektif fisik mengapa ada bagian imajiner sama sekali. Apakah ini murni dari sudut pandang matematika untuk membuat analisis rangkaian lebih mudah?

ac circuit-analysis

— Sebelumnya
sumber

Kemungkinan rangkap: electronics.stackexchange.com/questions/28285/…

— clabacchio

8

Kutipan: "Apakah ini murni dari sudut pandang matematika untuk membuat analisis sirkuit lebih mudah?"

Saya tidak yakin apakah bagian dari pertanyaan ini sudah dijawab dengan cukup. Oleh karena itu: Ya - menggunakan matematika kompleks untuk menggambarkan sinyal sinusoidal tidak memiliki relevansi fisik langsung. Itu hanya untuk "membuat analisis lebih mudah".

Sebagai contoh: Memperkenalkan formula terkenal Euler untuk sinyal sinus ke dalam seri Fourier mengarah ke frekuensi negatif (simetris ke frekuensi positif). Oleh karena itu, timbul pertanyaan: Apakah frekuensi negatif ada dalam kenyataan? Jawabannya adalah tidak! Ini hanyalah alat matematika yang bermanfaat.

— LvW
sumber

Itulah tepatnya yang saya pikirkan.

— Prevost

83

Sebenarnya motivasinya cukup sederhana.

Ketika Anda memiliki rangkaian linier dan Anda menstimulasinya dengan hanya satu frekuensi, di mana pun Anda melihatnya, Anda akan selalu menemukan frekuensi yang sama, hanya amplitudo dan fase gelombang yang Anda ukur berubah.

Apa yang Anda lakukan kemudian katakan baik mari kita lupakan frekuensi, jika saya melacak amplitudo dan fase tegangan dan / atau arus di sekitar rangkaian itu akan lebih dari cukup. Tetapi bagaimana Anda bisa melakukan itu? Apakah tidak ada alat matematika yang memungkinkan Anda untuk melacak amplitudo dan fase? Ya, Anda sudah mendapatkannya: vektor. Vektor memiliki amplitudo, yaitu panjangnya, dan fase, yaitu sudut yang dibentuknya dengan sumbu x, arah ccw adalah positif.

Sekarang Anda dapat menolak vektor ok, tapi bukankah lebih keren? Dan mengapa kita perlu menggunakan unit imajiner?

Jawaban untuk pertanyaan kedua mudah: membuat perhitungan dengan vektor cukup menyakitkan, sakit notasi:

(\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 \\ 7 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 10 \end{matrix})

$\pmatrix{2\\3}+\pmatrix{1\\7}=\pmatrix{3\\10}$

Dan itu tambahan saja! Nah itu hanya masalah notasi, jika kita memilih pangkalan lain hal mungkin lebih baik ... Dan pangkalan ini kebetulan ada, tetapi membutuhkan unit imajiner . Kekacauan sebelumnya menjadi: Jauh lebih mudah, bukan? $\mathbb{R}^2$ $j$

2 + 3 j + 1 + 7 j = 3 + 10 j

$2+3j+1+7j=3+10j$

Ok tapi apa yang memiliki vektor imajiner yang sama dengan tegangan? Nah coba bayangkan bidang Gauss, sumbu x adalah sumbu nyata, sumbu y adalah yang imajiner.

$\omega$

fasor yang bagus

Bam. Itulah yang kami sebut fasor , dan lelaki kecil itu adalah senjata terkuat yang Anda miliki melawan sirkuit yang sulit.

v_{1} (t) = V_{1} \cos (2 π f_{0} t + θ_{1}) v_{2} (t) = V_{2} \cos (2 π f_{0} t + θ_{2})

$v_1(t)=V_1\cos(2\pi f_0t+\theta_1)\\ v_2(t)=V_2\cos(2\pi f_0t+\theta_2)$

masukkan deskripsi gambar di sini

Dan yang terbaik adalah bahwa semua analisis rangkaian nyata yang telah Anda pelajari sampai sekarang tetap bekerja dengan fasor dan impedansi kompleks. Yaitu: Hukum Ohm berlaku dengan fasor dan impedansi kompleks , dan itu bagus karena kami memiliki banyak alat untuk menyelesaikan sirkuit yang dibangun di atas hukum Ohm dan Kirchhoff, dan kita masih bisa menggunakannya.

Dengan mengambil fasor turunan / integrasi juga sangat mudah: seperti yang Anda tahu, karena kita berbicara tentang sinus dan cosinus semua pada frekuensi yang sama, itu hanya masalah pergeseran fasa, dan itu-kejutan - sangat jelas jika Anda menggunakan representasi eksponensial yang kompleks.

TL; DR: Sinusoid direpresentasikan sebagai vektor yang berputar pada bidang kutub, ini hampir sama dengan menghentikan waktu ketika mereka berputar dan mengambil foto, yaitu menghitung hubungan fase dan amplitudo. Lihat saja halaman phasor di wikipedia. Dan periksa ini jawabannya lebih ringkas lain juga.

— Vladimir Cravero
sumber

7

Gambar bagus pwretty saya suka +1

— Andy alias

Hal lain yang menyenangkan tentang representasi kompleks: Turunan dari eksponensial kompleks hanyalah eksponensial kompleks lain dengan pergeseran fasa. Karenanya tidak perlu melacak apakah Anda menggunakan sinus atau cosinus. (Itu tentu saja tersirat dalam poin Anda tentang sirkuit yang didorong oleh frekuensi tunggal, tapi saya pikir itu titik yang baik untuk secara eksplisit.)

— Semiclassical

Anda mengabaikan hal yang sangat keren yang membuat bilangan kompleks lebih baik daripada vektor: E = IR bekerja dengan bilangan kompleks.

— supercat

Itu tepat di atas bagian tldr ...

— Vladimir Cravero

Bagus (+1). Bisakah Anda menambahkan dua ujung phasor ke ujung untuk menunjukkan modulasi amplitudo, dan kemudian melakukan fase 90 derajat bergeser untuk FM? (Saya lebih suka melihat diagram fasor FM pada indeks modulasi tinggi. Saya kesulitan memvisualisasikannya.)

— George Herold

1

Hal utama yang perlu diperhatikan adalah bahwa sinyal periodik apa pun (dengan beberapa batasan analitik dasar yang berlaku dalam praktik atau berlaku pada tingkat arbitrer jika tidak tepat) dapat direpresentasikan sebagai jumlah sinyal sinus dan kosinus dengan frekuensi yang merupakan kelipatan dari periode sinyal.

Sekarang setelah Anda meninggalkan pemerintahan respons langsung (seperti resistor), energi dapat disimpan dan diambil. Kumparan menyimpan energi magnetik (menerapkan tegangan dan arus hanya dimulai secara bertahap tetapi terus berjalan ketika tegangan rusak), kapasitor menyimpan energi listrik (menerapkan arus dan tegangan hanya dimulai secara bertahap tetapi terus berjalan ketika arus rusak), massa mengubah kekuatan secara bertahap menjadi impuls , pegas secara bertahap mengubah impuls menjadi kekuatan dan sebagainya.

Banyak bentuk kekuatan pada dasarnya adalah kuadrat dari beberapa ukuran eksitasi. Sekarang ternyata jumlah kuadrat dari sinus dan kosinus dari argumen yang sama adalah 1. Konstanta. Jadi Anda sangat kaya menggambarkan konversi energi periodik menggunakan sinus dan cosinus.

Ternyata aljabar yang menggunakan sinus dan cosinus lemah. Jika Anda menambahkan semacam istilah imajiner yang mewakili bentuk energi dari sinyal periodik Anda yang tidak Anda minati, dan membuang bagian imajiner apa pun yang tersisa setelah Anda selesai, manipulasi aljabar menjadi jauh lebih mudah dengan biaya variabel aktual menjadi kompleks .

— pengguna53147
sumber

1

$v(t) = Vcos(\omega t + \phi)$ $L$

v (t) = R e {V e^{j (ω t + ϕ)}} = L. \frac{d saya}{d t} R e {V e^{j (ω t + ϕ)}} d t = L. d saya \int R e {V e^{j (ω t + ϕ)}} d t = L. \int d saya R e {\int V e^{j (ω t + ϕ)} d t} = L. saya (t) R e {\frac{1}{j ω} V e^{j (ω t + ϕ)}} = L. saya (t) saya (t) = R e {\frac{1}{j ω L.} V e^{j ϕ} e^{j ω t}}

$v(t) = Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\} = L\frac{di}{dt}\\ Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\}\ dt = L\ di\\ \int Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\}\ dt = L \int \ di\\ Re\{\int Ve^{j(\omega t + \phi)}\ dt\} = L i(t)\\ Re\{\frac{1}{j\omega}Ve^{j(\omega t + \phi)}\} = Li(t)\\ i(t) = Re\{\frac{1}{j\omega L}Ve^{j\phi}e^{j\omega t}\}$

$j\omega L$ $v(t)$ $v_o = Ve^{j\phi}$ $i_o = \frac{v_o}{R} = \frac{v_o}{j\omega L}$ $i(t)$ $i_o$ $e^{j\omega t}$

— Veritas
sumber

0

Saya berasumsi kita sepakat bahwa mereka adalah dua potong informasi untuk mewakili sinyal AC pada setiap saat, amplitudo dan fase, sedangkan mereka hanya amplitudo untuk DC.

Bukan hanya analisis di mana kita perlu memanipulasi informasi tetapi juga desain sirkuit. Komponen memiliki impedansi, dan efek sinyal AC. Jadi ketika kita merancang, kita harus dapat menghitung impedansi untuk merancang rangkaian dengan sifat AC tertentu.

Bilangan kompleks mudah untuk mewakili dan menghitung sinyal AC dan impedansi. Dua dimensi, panjang dan sudut, memungkinkan kita untuk menghitung amplitudo dan fase bersama-sama, dan tetap konsisten.

— gelandangan
sumber