Apa fungsi dari Seri Fourier?

Apa itu Fourier Series? Untuk apa itu digunakan?

Seri Fourier:

$V_t = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}[a_i sin(i \omega_0 t) + b_i cos(i \omega_0 t) ]$

Istilah adalah konstan, itulah level DC. Bisa juga ditulis tanpa membaginya menjadi dua, tetapi ini adalah konvensi. Istilah-istilah dari jumlah tak terbatas adalah jumlah dari sinus tertimbang dan kosinus tertimbang dengan frekuensi yang sama. Jika Anda menggambar ini sebagai fasor dalam bidang Argand kompleks, Anda akan melihat bahwa hasilnya adalah sinus, tetapi dengan amplitudo berbeda, dan fase bergeser. Oleh karena itu persamaannya juga dapat ditulis sebagai $\dfrac{a_0}{2}$

$V_t = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}[a_i sin(i \omega_0 t + \phi_i) ]$

Jadi kita memiliki jumlah sinus, semua frekuensi berganda dari frekuensi dasar , masing-masing dengan amplitudo dan fase sendiri. $\omega_0$

Fourier membuktikan bahwa Anda dapat mendeskripsikan setiap fungsi berulang dengan cara ini. Terkadang seri ini tidak terbatas, kadang-kadang memiliki jumlah syarat yang terbatas. Kadang-kadang istilah hilang, yang berarti amplitudo mereka adalah nol.

Salah satu seri Fourier yang paling terkenal adalah gelombang persegi:

$V_t = \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\left[\dfrac{sin((2i - 1) \omega_0 t)}{2i - 1} \right]$

atau, diperluas:

$V_t = sin(\omega_0 t) + \dfrac{1}{3} sin(3 \omega_0 t) + \dfrac{1}{5} sin(5 \omega_0 t) + \dfrac{1}{7} sin(7 \omega_0 t) + ...$

Jadi ini adalah seri dengan istilah yang hilang: gelombang persegi bahkan tidak memiliki harmonik. Gambar berikut ini menunjukkan seperti apa dalam domain waktu:

Gambar atas menunjukkan jumlah dari dua suku pertama, kemudian suku ketiga dan di bagian bawah suku keempat ditambahkan. Setiap istilah tambahan akan membawa bentuk gelombang lebih dekat ke gelombang persegi, dan Anda akan membutuhkan batas seri hingga tak terbatas untuk mendapatkan gelombang persegi yang sempurna.

Terkadang sulit untuk melihat sinus mendasar di dalamnya. Ambil contoh jumlah dari sinus 3Hz dan sinus 4Hz. Bentuk gelombang yang dihasilkan akan berulang setiap detik, yaitu 1Hz. 1Hz adalah fundamental, bahkan jika amplitudo-nya adalah nol. Serial ini dapat ditulis sebagai

$V_t = 0 \cdot sin(\omega_0 t) + 0 \cdot sin(2 \omega_0 t) + sin(3 \omega_0 t) + sin(4 \omega_0 t)$

Semua istilah berikut juga memiliki amplitudo nol.

Setiap sinyal analog yang dapat direalisasikan, apa pun yang dapat Anda pikirkan atau gambar dengan benar pada grafik tegangan vs waktu dapat dinyatakan dalam istilah matematika sebagai jumlah dari jumlah tak terbatas dari gelombang sinus dari frekuensi yang berbeda - sesuatu dari bentuk ini:

any_signal(t) = A*sin(f1*t) + B*sin(f2*t) + C*sin(f3*t) ....

Sinyal yang berbeda dibangun dengan mengubah nilai-nilai A, B, Cdll dan f1, f2dan lain-lain.

Ketika seseorang merujuk ke seri Fourier, mereka merujuk pada mengekspresikan bentuk gelombang sebagai serangkaian operasi tambahan seperti di atas.

Secara realistis setiap sinyal analog memiliki BEBERAPA konten di setiap frekuensi - bahkan jika amplitudo .1e-67 itu masih ada. Idealnya tidak demikian - jika saya membangun gelombang persegi murni maka saya tahu pasti itu HANYA terdiri dari frekuensi yang merupakan kelipatan ganjil dari periodenya. Jadi 1Hz gelombang persegi adalah jumlah dari gelombang sinus 1Hz ditambah gelombang sinus 3Hz dan seterusnya di telepon. Untuk bentuk gelombang terkenal lainnya seperti gelombang segitiga, dan landai orang telah melakukan perhitungan seperti frekuensi apa yang ada dan pada konten apa.

Seri Fourier adalah sarana untuk mengekspresikan bentuk gelombang periodik sebagai jumlah (mungkin tak terbatas) dari bentuk gelombang sinusoidal 'harmonik'.

Ini juga digunakan untuk mengekspresikan sinyal pada interval waktu terbatas (kompak) sebagai jumlah tak terbatas dari bentuk gelombang sinusoidal.

Pada dasarnya, dengan membangun hubungan antara sinyal dalam domain waktu (yaitu, sinyal yang dinyatakan sebagai fungsi waktu) dan sinyal yang setara dalam domain frekuensi (yaitu, sinyal yang dinyatakan sebagai fungsi frekuensi), Fourier Seri memungkinkan analisis harmonik dari sinyal dan sistem, yang merupakan dasar dari teori transmisi radio, teori pengkodean, teori kontrol, teori kuantum dan banyak bidang teknik lainnya yang sangat berguna.

Sementara ekspresi deret Fourier dari sinyal tampak lebih rumit pada awalnya, yang melibatkan ekspresi kompleks dan 'jumlah tak terbatas', sebagai alat matematika, mereka memungkinkan para insinyur untuk memecahkan masalah yang tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan ekspresi bentuk-tertutup.

Sederhananya, kadang-kadang berguna untuk mengekspresikan variasi dalam ruang dan / atau waktu sebagai variasi dalam frekuensi dan fase. Khusus untuk variasi berkala. Tetapi bahkan ketika variasi tidak periodik, asalkan variasi terbatas pada beberapa interval dalam ruang dan / atau waktu, itu juga akan terbatas pada interval (bandwidth) yang sesuai dalam frekuensi.

Aplikasi Fourier Series telah berperan dalam memahami bandwidth saluran untuk sistem komunikasi, mengembangkan algoritma kompresi gambar dan meningkatkan keandalan sistem distribusi tenaga listrik.

Untuk menambahkan beberapa kepraktisan pada komentar di atas, seri time-domain Fourier dapat didekomposisi menjadi komponen domain frekuensi melalui algoritma seperti FFT (Fast Fourier Transform) dan DFT (Discrete Fourier Transform). Salah satu hasil praktis penting untuk dapat menerapkan algoritma adalah bahwa dalam R&D dan pengujian laboratorium, kita sering ingin mengukur kemurnian spektral sinyal terhadap lantai kebisingan (misalnya SNR atau Spurious Free Dynamic Range) untuk melihat seberapa murni atau seringnya, tidak terdistorsi, konten sinyal kami adalah. Jika kita memiliki output domain waktu (seperti konverter DA yang akan diproses), kita tidak dapat memastikan nilai-nilai ini hanya dengan melihat respons domain waktu, jadi sering pada sisi simulasi, kita akan menggunakan modul DFT untuk mengubah sinyal domain waktu ke dalam domain spektral (frekuensi). Di lab, di Oscilloscope, kita perlu memiliki beberapa alat yang dapat melihat sifat spektral (biasanya kita menggunakan penganalisa spektrum). Inti dari alat ini tergantung pada analisis Fourier dan metode dekomposisi spektral. Jadi di sana Anda memiliki alasan praktis tentang mengapa analisis Fourier penting dalam EE.