Tiang dan Bode Plot

Saya memiliki tiga pertanyaan yang telah lama mengganggu saya:

1. Kami mengatakan bahwa, dalam plot Bode, ada penurunan keuntungan sebesar 20 dB per dekade setiap kali ditemukan kutub. Tapi bukankah kutub didefinisikan sebagai nilai $s$ yang membuat fungsi transfer tak terhingga? Jadi mengapa keuntungan tidak naik pada titik ini alih-alih turun?

2. Secara fisik apa yang terjadi ketika kita memberi makan sistem dengan frekuensi kutub?

3. Juga, pertimbangkan fungsi transfer $1/(s+2)$ . Sistem memiliki kutub pada $s=(-2+j0)$ . Yaitu, untuk kutub, $\sigma=-2$ dan $\omega=0$ . Tetapi ketika kita menerapkan sinyal sinusoidal ke inputnya dan menggambar plot Bode, mengapa kita mengatakan bahwa ada kutub pada 2 rad / detik (meskipun, untuk kutub, $\omega=0$ dan $\sigma =-2$ )?

Bode plot bukan grafik yang memplot fungsi transfer ( ) terhadap s . H ( s ) adalah fungsi yang kompleks dan plot magnitudo-nya sebenarnya mewakili permukaan dalam sistem koordinat Cartesian. Dan permukaan ini akan memiliki puncak hingga tak terhingga di setiap kutub seperti yang ditunjukkan pada gambar:$H(s)$$s$$H(s)$

Bode plot diperoleh dengan pertama-tama mensubstitusi dalam H ( s ) dan kemudian merepresentasikannya dalam bentuk kutub H ( j ω ) = | H ( ω ) | ∠ ϕ ( ω ) . H ( ω ) memberikan plot pertanda magnitudo dan ϕ ( ω ) memberikan plot pertanda fase.$s= j\omega$$H(s)$$H(j\omega) = |H(\omega)|\angle\phi(\omega)$$H(\omega)$$\phi(\omega)$

Bode magnitude plot adalah perkiraan asimptotik dari besarnya fungsi transfer ( ) vs logaritma frekuensi dalam radian / detik ( log $|H(\omega)|$ ) dengan | H ( s ) | (dinyatakan dalam dB) pada sumbu y dan log 10 | ω | pada sumbu x.$\log_{10}|\omega|$$|H(s)|$$\log_{10}|\omega|$

Datang ke pertanyaan:

1. Di kutub, permukaan kompleks puncak hingga tak terbatas bukan | H ( ω ) | .$|H(s)|$$|H(\omega)|$

2. Ketika suatu sistem diumpankan dengan frekuensi kutub, output sponsor akan memiliki frekuensi yang sama tetapi amplitudo dan fase akan berubah. Nilai dapat ditentukan dengan mengganti frekuensi dalam radian / detik dalam dan ϕ ( ω ) masing-masing.$|H(\omega)|$$\phi(\omega)$

3. Tiang pada -2 rad / detik dan 2 rad / detik memiliki efek yang sama pada . Dan minat kami adalah pada respons frekuensi. Jadi kita hanya perlu bagian positif darinya.$|H(\omega)|$

Ketika mencoba memahami fungsi transfer, saya pikir "analogi lembaran karet" sangat berguna. Bayangkan selembar karet elastis yang menutupi bidang kompleks , dan bayangkan bahwa pada setiap nol fungsi pemindahan, selembar itu ditempelkan ke tanah, dan pada setiap kutub ada kutub tipis literal yang mendorong lembaran karet itu ke atas. Besarnya respon frekuensi tinggi dari karet lembaran sepanjang j ω sumbu.$s$$j\omega$

1. Dari analogi di atas, tentu saja gain naik ke kutub. Tetapi menjauh dari kutub, kontribusi kutub membuat fungsi transfer turun (misalnya pergi ke nol berikutnya). Bayangkan sistem sederhana yang Anda berikan sebagai contoh dalam pertanyaan ketiga Anda. Ia memiliki kutub bernilai nyata pada , dan - karena kutub ini - ia juga memiliki nol pada s 0 = ∞ . Jadi menjauh dari kutub dengan frekuensi yang meningkat, fungsi transfer turun karena lembaran karet ditempelkan ke tanah tanpa batas. Secara matematis, ini juga mudah dilihat: H ( s ) = $s_{\infty}=-2$$s_0=\infty$ Dalam desibel kita mendapatkan 10log10| H(jω)| 2=-10log10(4)-10log10[(

   $$H(s)=\frac{1}{s+2}\Longrightarrow \left|H(j\omega)\right|^2=\frac{1}{\omega^2+4}=\frac14\frac{1}{\left(\frac{\omega}{2}\right)^2+1}$$ $$10\log_{10}\left|H(j\omega)\right|^2=-10\log_{10}(4)-10\log_{10}\left[\left(\frac{\omega}{2}\right)^2+1\right]\tag{1}$$ $\omega\gg 2$ $$-10\log_{10}\left(\frac{\omega}{2}\right)^2=-20\log_{10}(\omega/2)$$ $-20\,\text{dB}$

2. $H(s)=\frac{1}{s+2}$ dengan sinyal input $x(t)=e^{-2t}$, maka hasilnya akan menjadi $y(t)=te^{-2t}$, dimana faktornya $t$sesuai dengan "amplifikasi" sistem dari sinyal input. Namun, faktor eksponensial akan membuat pendekatan sinyal$0$ untuk nilai besar $t$.

3. Singkatnya, kita tidak mengatakan bahwa ada tiang di $2$rad / s, karena tidak ada. Apa yang memang terjadi adalah bahwa frekuensi cut-off ditentukan oleh bagian nyata dari kutub, yaitu titik awal garis dengan kemiringan negatif dalam plot Bode ditentukan oleh nilai$2$. Ini adalah contoh yang saya berikan pada poin 1 di atas, di mana perkiraan garis lurus dengan$-20$ dB per dekade berlaku untuk $\omega\gg 2$. Nilai$2$ tidak ditentukan oleh frekuensi kutub (yang nol) tetapi oleh bagian nyata kutub.

Grafik menunjukkan perbedaan antara frekuensi alami di kompleks $s$-plane (infinite) dan puncak magnitudo yang sesuai di sepanjang $j\omega$ sumbu yang dapat diamati selama pengukuran: Grafik milik frekuensi alami $\omega_p=1000$ rad / s dan faktor kualitas tiang $Q_p=1.3$(Yang merupakan ukuran dari puncak kenaikan yang diamati). Plot ini memvisualisasikan karakteristik Chebyshev urutan ke-2 dengan riak 3 dB di passband.

"S" dalam persamaan Anda adalah konstanta dalam fungsi exp (s * t). Jadi, ketika s adalah bilangan real, fungsi waktu ini adalah fungsi yang tumbuh atau turun secara eksponensial. Contoh Anda dengan s = -2 adalah fungsi yang jatuh secara eksponensial. Untuk setiap "nomor" kutub, output akan tumbuh ketika Anda menerapkan input pada "angka" itu. Jika Anda menerapkan sinyal jatuh secara eksponensial ke sirkuit contoh Anda, sinyal output akan pergi hingga tak terbatas. (Namun, perhatikan bahwa tidak mungkin untuk menghasilkan sinyal yang selalu jatuh secara eksponensial, karena sinyal seperti itu sangat besar pada waktu di masa lalu). Ketika Anda berbicara tentang frekuensi seperti 2 radian / detik, Anda berbicara tentang kutub pada j * 2, bukan 2, sehingga sinyal-sinyal tersebut sinusoidal. Dimungkinkan untuk menghasilkan sinyal yang merupakan gelombang sinus (setidaknya untuk waktu yang cukup lama).