Analisis Filter Takik Aktif Twin-T

12

Adakah yang bisa memberi saya petunjuk dalam menganalisis Twin-T Active Notch Filter? Saya mencoba transformasi delta-bintang, diikuti oleh analisis nodal, tetapi berakhir dengan persamaan yang saling bertentangan. Sebagai contoh, lihat Gambar 1 dari catatan aplikasi Texas Instruments " Kumpulan sirkuit audio, bagian 2 ":

masukkan deskripsi gambar di sini

Dalam contoh yang lebih umum yang saya pelajari, saya menghapus C4 / C5 dan R6 / R7 (dan Vcc itu) dan memperlakukan komponen pasif T sebagai konduktansi yang cocok sebagai berikut:

R1 dan R2 menjadi Y1, R3 menjadi 2Y1, C1 dan C2 menjadi Y2, C3 menjadi 2Y2, pembagi tegangan generik R4 dan R5 dengan resistansi R1 dan R2

audio operational-amplifier filter

— George
sumber

Ini terdengar seperti pertanyaan yang menurut dsp.stackexchange.com harus sesuai dengan topik di sana. Apa yang dipikirkan orang lain?

— Kellenjb

@Kellenjb - Ada di sini juga, tapi mungkin mendapat respons yang lebih baik di sana. Jika OP atau orang-orang DSP menginginkannya dimigrasi, kita bisa melakukan itu - itu pasti bisa menangani dengan sedikit perhatian lebih. Atau, buat skematis dan unggah gambar untuk menabrak ini ke halaman depan yang seharusnya mendapat perhatian lebih banyak .... tidak yakin bagaimana ia terlewatkan pertama kali.

— Kevin Vermeer

6

Transformasi Delta-Star dapat digunakan untuk menganalisis jaringan Twin-T menggunakan prosedur berikut:

Dua jaringan T dapat dikonversi menjadi jaringan Delta kembar secara paralel:
Padatkan kedua jaringan Delta ini menjadi satu jaringan Delta
Ubah jaringan Delta yang dihasilkan kembali menjadi jaringan T.
Untuk melihat perilaku takik kembar T pasif, asumsikan simpul 2 terikat ke ground, dan perlakukan jaringan Delta yang Anda dapatkan pada langkah 3 sebagai pembagi tegangan.

Anda akan menemukan fungsi transfer .
$H (s) = \frac{s^{2} + {ω_{0}}^{2}}{s^{2} + 4 s ω_{0} + {ω_{0}}^{2}}$ $H(s) =\frac{s^2 + {\omega_0}^2}{s^2 + 4s\omega_0 + {\omega_0}^2}$
Untuk melihat efek bootstrap, asumsikan bahwa simpul 2 ditahan pada tegangan α Vout, di mana α adalah beberapa faktor penskalaan antara 0 dan 1. Jaringan T masih bertindak sebagai pembagi tegangan, membagi antara Vin dan α Vout. Untuk menemukan perilaku sistem, kita perlu menyelesaikan persamaan , di mana adalah fungsi transfer tanpa umpan balik. Melakukan ini, kami menemukan fungsi transfer baru: . Perhatikan bahwa untuk (tidak ada umpan balik), kami memiliki , seperti yang diharapkan. Untuk
$v_{di luar} = α \cdot v_{di luar} + H (s) (v_{di} - α \cdot v_{di luar})$ $v_\textrm{out} = \alpha \cdot v_\textrm{out} + H(s) ( v_\textrm{in} - \alpha\cdot v_\textrm{out} )$ $H (s) = Z_{2} / (Z_{1} + Z_{2})$ $H(s)=Z_2/(Z_1 + Z_2)$ $G (s) = \frac{1}{(1 - α) \frac{1}{H (s)} + α}$ $G(s) = \frac{1}{(1-\alpha)\frac{1}{H(s)} + \alpha}$ $\alpha=0$ $G(s)=H(s)$ $\alpha=1$ , sistem menjadi tidak stabil. Merencanakan fungsi ini untuk nilai-nilai alfa antara 0 dan 1, kami menemukan peningkatan besar dalam Q takik.

Fungsi transfer yang dihasilkan adalah: .

G (s) = \frac{s^{2} + {ω_{0}}^{2}}{s^{2} + 4 s ω_{0} (α - 1) + {ω_{0}}^{2}}

$G(s) =\frac{s^2 + {\omega_0}^2}{s^2 + 4s\omega_0(\alpha - 1) + {\omega_0}^2}$

Seperti apa respons frekuensi, ketika gain umpan balik diubah: $\alpha$

Aljabar berbagai transformasi agak membosankan. Saya menggunakan Mathematica untuk melakukannya:

(* Define the delta-star and star-delta transforms *)

deltaToStar[{z1_,z2_,z3_}]:={z2 z3, z1 z3, z1 z2}/(z1+z2+z3)
starToDelta[z_]:=1/deltaToStar[1/z]

(* Check the definition *)
deltaToStar[{Ra,Rb,Rc}]

(* Make sure these transforms are inverses of each other *)
starToDelta[deltaToStar[{z1,z2,z3}]]=={z1,z2,z3}//FullSimplify
deltaToStar[starToDelta[{z1,z2,z3}]]=={z1,z2,z3}//FullSimplify

(* Define impedance of a resistor and a capacitor *)
res[R_]:=R
cap[C_]:=1/(s C)

(* Convert the twin T's to twin Delta's *) 
starToDelta[{res[R], cap[2C], res[R]}]//FullSimplify
starToDelta[{cap[C], res[R/2], cap[C]}]//FullSimplify

(* Combine in parallel *)
1/(1/% + 1/%%)//FullSimplify

(* Convert back to a T network *)
deltaToStar[%]//FullSimplify

starToVoltageDivider[z_]:=z[[2]]/(z[[1]]+z[[2]])
starToVoltageDivider[%%]//FullSimplify

% /. {s-> I ω, R ->  1/(ω0 C)} // FullSimplify

— nibot
sumber

2

Inilah salah satu cara untuk melakukannya - filter takik dengan umpan balik sedikit lebih rumit sehingga untuk saat ini saya hanya akan menguraikan cara melakukan bentuk umum filter takik kembar-T:

masukkan deskripsi gambar di sini

Untuk menyelesaikan rangkaian menggunakan analisis nodal apa yang harus dilakukan adalah mengubah sumber tegangan Vin ke sumber Norton yang setara - agak rumit karena Anda harus mengubah Vin menjadi dua sumber Norton untuk menghitung R1 dan C1 dan kemudian mengatur ulang rangkaian untuk mengkompensasi . Seperti ini:

versi sumber saat ini

Poin 1, 2, dan 3 ditunjukkan pada posisi baru mereka di sirkuit yang sama. Anda kemudian harus dapat menuliskan persamaan KCL dengan inspeksi dan membuat matriks 3 oleh 3 dalam V1, V2, dan V3 yang tidak diketahui. Anda kemudian dapat menyelesaikan untuk V2 / Vo dalam hal Vin dengan menggunakan aturan Cramer.

$Vo*\alpha$

Edit: diagram pertama dikoreksi

— Bitrex
sumber