Mengapa integralnya nol

9

Saya ingin tahu mengapa dengan asumsi bahwa lalu ? $\omega \gg \frac{1}{T}$ $\int_{0}^{T} \sin(\omega t)dt \approx 0$

Karena integral harus seperti dari hingga dan setelah memasukkan nilai, kita akan berakhir dengan: $\frac{\cos(\omega t)}{w}$ $0$ $T$

\frac{- \cos (ω T) + 1}{ω}

$\frac{-\cos(\omega T)+1}{\omega}$

communication digital-communications detection

— pengguna59419
sumber

9

Saya memberikan suara untuk menutup pertanyaan ini sebagai di luar topik karena tidak berhubungan dengan elektronik dan merupakan pertanyaan berbasis matematika murni, dan seharusnya termasuk dalam math.stackexchange.com

— efox29

4

Benar-benar tidak. Estimasi ini digunakan di semua sistem komunikasi dan bukan pertanyaan matematika murni karena dalam hal matematika hanya integral ini tidak selalu nol

— user59419

Apakah maksud Anda ?

\frac{1}{T} \int . . .

$\frac{1}{T}\int ...$

— Chu

Tidak ada

. Jika

\frac{1}{T}

$\frac{1}{T}$

ini hadir masuk akal dan saya telah melihatnya di berbagai tempat.

\frac{1}{T}

$\frac{1}{T}$

— user59419

6

Jika Anda berbicara tentang telekomunikasi, saya berasumsi kita berbicara tentang frekuensi tinggi. Jika itu masalahnya:

$\frac{1}{T} = f$
$\omega \gg \frac{1}{T}$

berkisar dari hingga , jika Anda membaginya dengan angka besar Anda mendapatkan sekitar nol. Untuk memberi Anda ide: untuk frekuensi sekitar $−\cos(\omega T)+1$ $0$ $+2$
(yang dianggap"sangat rendah"), hasilnya akan AT MAXIMUM . $1\;\text{kHz}$ $0.002$

— FMarazzi
sumber

3

Penjelasan yang jauh lebih baik daripada pendekatan brute force saya.

— Arsenal

1

Saya tidak berpikir ini adalah jawaban lengkap: bahkan mungkin untuk nilai kecil

memuaskan

ω

$\omega$

, jika

cukup besar.

ω ≫ \frac{1}{T}

$\omega \gg \frac1T$

T

$T$

— Ilmari Karonen

1

@IlmariKaronen T tidak pernah cukup besar dalam telekomunikasi.

— FMarazzi

4

Dengan meningkatkan frekuensi, kami menempatkan lebih banyak periode osilasi dalam interval integrasi.

Karena integral dari sinus selama satu periode adalah nol, kita hanya boleh mempertimbangkan periode "tidak lengkap" pada akhir interval integrasi.

Ketika kita meningkatkan frekuensi, area periode tidak lengkap ini menjadi lebih tipis dan lebih tipis (menjelaskan dalam determinator). $\omega$

— walljam7
sumber

3

Jika saya memasukkan beberapa nilai, saya mendapatkan yang berikut:

$T = 1$

hasil $\omega \rightarrow$

$10^0 \rightarrow 0.460$

$10^1 \rightarrow 0.184$

$10^2 \rightarrow 0.001$

$10^3 \rightarrow 4.376E-04$

$10^4 \rightarrow 1.952E-04$

$10^5 \rightarrow 1.999E-05$

$10^6 \rightarrow 6.325E-08$

Sekarang aku tidak yakin urutan besarnya yang menandakan dan seberapa kecil hasilnya harus dipertimbangkan , tetapi cenderung untuk mendapatkan nol jika itu adalah jauh lebih besar. $>>$ $\approx 0$

Apa nilai khas untuk dan T yang Anda lihat? $\omega$

Pembaruan (karena komentar):

Sebagaimana FMarazzi telah menjelaskan dengan baik ada batas atas untuk kasus bahwa adalah -1, jadi Anda akan memiliki $\cos(\omega T)$ , yang merupakan maksimum absolut yang pernah Anda dapatkan untuk T. apa pun $\frac{2}{\omega}$

Jadi jika Anda memilih nilai untuk T, dengan cara Anda mendapatkan maksimum untuk diberikan tabel berubah menjadi: $\omega$

nilai maksimum yang mungkin $\omega \rightarrow$

$10^0 \rightarrow 2$

$10^1 \rightarrow 0.2$

$10^2 \rightarrow 0.02$

$10^3 \rightarrow 2E-03$

$10^4 \rightarrow 2E-04$

$10^5 \rightarrow 2E-05$

$10^6 \rightarrow 2E-06$

$\omega$ $10^7$

— Gudang senjata
sumber

Terima kasih. Pertanyaan Anda jelas masuk akal dan itulah masalah saya karena rentang T dan w tidak diberikan dan hanya syarat bahwa wT >> 1 disebutkan. Saya berpikir bagaimana jika T = 1000 dan w = 1 maka integral tidak nol.

— user59419

Jika T arbitrer, area di bawah sin (wt) umumnya tidak nol. Pasti ada kendala lain.

— Chu

@ Chu Saya tidak mengatakan bahwa itu akan menjadi 0, itu hanya cenderung sangat dekat dengan 0, begitu dekat sehingga untuk tujuan praktis dapat diabaikan (ini adalah penyederhanaan umum untuk membuat hal-hal yang dapat dipecahkan untuk manusia). FMarazzi sebenarnya telah memberikan analisis yang lebih baik dari batas atas hasilnya.

— Arsenal

1

@Arenal, tetapi Anda telah mengasumsikan nilai untuk T. Tidak ada spesifikasi seperti itu dalam pertanyaan awal - w dan T bebas berkeliaran. Jadi integral bisa jauh dari nol

— Chu

@ Chu ya itu agak picik di belakang. Saya telah memperbarui jawaban saya untuk menjelaskan maksudnya. Tidak bisa jauh dari nol untuk omegas yang lebih tinggi.

— Arsenal

0

$\omega$ $T$

Saya menduga diperlukan lebih banyak konteks untuk memahami dengan benar apa yang dimaksud.

$\approx 0$ $\approx 0$ $T$ $T$ $\omega$

— Peter Green
sumber