Tepatnya apa peran penahanan nol-urutan dalam sistem data analog / digital sampel hybrid?

Saya akui, saya mengajukan pertanyaan ini secara retoris. Saya ingin tahu jawaban apa yang akan keluar dari ini.

Jika Anda memilih untuk menjawab ini, pastikan Anda memahami teorema pengambilan sampel Shannon-Nyquist dengan baik. Khususnya rekonstruksi. Juga berhati-hatilah dengan "gotcha" di buku pelajaran. Gagasan rekayasa fungsi impuls dirac delta sudah cukup. Anda tidak perlu khawatir tentang semua hal "distribusi", impuls dirac sebagai fungsi delta yang baru lahir cukup baik:

$$\delta(t) = \lim_{\tau \to 0} \frac{1}{\tau} \operatorname{rect}\left(\frac{t}{\tau} \right)$$

dimana

$$\mathrm{rect}(t) \triangleq \begin{cases} 0 & \mbox{if } |t| > \frac{1}{2} \\ 1 & \mbox{if } |t| < \frac{1}{2} \\ \end{cases}$$

Masalah tentang ketepatan, lebar bit kata sampel, dan kuantisasi yang dilakukan dalam konversi tidak relevan dengan pertanyaan ini. Tapi skala dari input ke output adalah relevan.

Saya akan menulis jawaban saya sendiri pada akhirnya kecuali ada orang lain yang memberikan jawaban yang akurat dan bermanfaat secara pedagogis. Saya bahkan mungkin memberi hadiah pada ini (mungkin juga menghabiskan sedikit rep saya miliki).

Miliki itu.

Mempersiapkan

Kami menganggap suatu sistem dengan sinyal input , dan untuk kejelasan kami menyebut nilai-nilai x ( t ) sebagai tegangan, jika perlu. Periode sampel kami adalah , dan tingkat sampel yang sesuai adalah f s ≜ 1 / T .$x(t)$$x(t)$$T$$f_s \triangleq 1/T$

Untuk Fourier transform, kita memilih konvensi memberikan invers transformasi Fourier x ( t ) = F - 1 ( X ( i 2 π f ) ) ≜

$$X(i 2 \pi f) = \mathcal{F}(x(t)) \triangleq \int_{-\infty}^\infty x(t) e^{-i 2 \pi f t} \mathrm{d}t,$$ Perhatikan bahwa dengan konvensi ini,Xadalah fungsi dari variabel Laplaces=iω=i2πf. $$x(t) = \mathcal{F}^{-1}(X(i 2 \pi f)) \triangleq \int_{-\infty}^\infty X(i 2 \pi f) e^{i 2 \pi f t} \mathrm{d}f.$$ $X$$s = i \omega = i 2 \pi f$

Pengambilan sampel dan rekonstruksi yang ideal

Mari kita mulai dari pengambilan sampel yang ideal: menurut teorema pengambilan sampel Nyquist-Shannon , diberi sinyal yang tidak terbatas pada f < $x(t)$,yaituX(i2πf)=0$f < \frac{1}{2} f_s$ maka sinyal asli dapat direkonstruksi dengan sempurna darisampelx[

$$X(i 2 \pi f) = 0,\qquad \mathrm{when }\, |f| \geq \frac{1}{2}f_s,$$ , di mana n ∈ Z . Dengan kata lain, mengingat kondisi pada bandwidth sinyal (disebutkriteria Nyquist), cukup untuk mengetahui nilai sesaatnya pada titik diskrit yang berjarak sama dalam waktu.$x[n] \triangleq x(n T)$$n\in \mathbb{Z}$

Teorema pengambilan sampel juga memberikan metode eksplisit untuk melakukan rekonstruksi. Mari kita benarkan ini dengan cara yang akan membantu dalam hal berikut: mari kita perkirakan transformasi Fourier dari sinyal x ( t ) dengan jumlah Riemann dengan langkah T : X ( i 2 π f ) ∼ ∞ ∑ n n Δ t Δ t , di mana Δ t = $X(i 2 \pi f)$$x(t)$$T$

$$X(i 2 \pi f) \sim \sum_{n = -\infty}^\infty x(n \Delta t)e^{-i 2 \pi f n \Delta t} \Delta t,$$ $\Delta t = T$ . Mari kita tulis ulang ini sebagai integral, untuk menghitung kesalahan yang kita buat: di mana kami menggunakanteorema konvolusipada produk darix(t)danfungsi pengambilan sampelΣ ∞ n = - ∞ Tδ(t-nT), yang fakta bahwa transformasi Fourier dari fungsi samplingΣ ∞ n = - ∞ delta(f- $$\begin{align} \sum_{n = -\infty}^\infty x(n T)e^{-i 2 \pi f n T}T &= \int_{-\infty}^\infty \sum_{n = -\infty}^\infty x(t)e^{-i 2 \pi f t}T \delta(t - n T)\mathrm{d}t\\ &= X(i 2 \pi f) * \mathcal{F}(T \sum_{n = -\infty}^\infty \delta(t - nT)) \\ &= \sum_{k = -\infty}^\infty X(f - k/T), \tag{1} \label{discreteft} \end{align}$$ $x(t)$ $\sum_{n = -\infty}^\infty T \delta(t - n T)$ , dan melakukan integral atas fungsi delta.$\sum_{n = -\infty}^\infty \delta(f - k/T)$

Perhatikan bahwa sisi kiri persis , di mana X 1 / T ( i 2 π f T ) adalah waktu diskrit Fourier transform dari sinyal sampel yang sesuai x [ n ] ≜ x ( n T ) , dengan f T frekuensi waktu diskrit tanpa dimensi.$T X_{1/T}(i 2 \pi f T)$$X_{1/T}(i 2 \pi f T)$$x[n] \triangleq x(n T)$$f T$

Di sini kita melihat alasan penting di balik kriteria Nyquist: itu adalah persis apa yang diperlukan untuk menjamin bahwa ketentuan jumlah tidak tumpang tindih. Dengan kriteria Nyquist, jumlah di atas mengurangi ekstensi periodik spektrum dari interval ke seluruh garis nyata.$[-f_s/2, f_s/2]$

Karena DTFT di memiliki Fourier yang sama transformasi dalam interval [ - f s / 2 , f s / 2 ] sebagai sinyal asli kami, kami dapat hanya kalikan dengan fungsi persegi panjang r e c t ( f / f s ) dan dapatkan kembali sinyal aslinya. Melalui teorema konvolusi , jumlah ini untuk convolving sisir Dirac dengan Transformasi Fourier dari fungsi persegi panjang, yang dalam konvensi kita adalah F ( r e c t ( $\eqref{discreteft}$$[-f_s/2, f_s/2]$$\mathrm{rect}(f/f_s)$ manafungsi sinc yang dinormalisasiadalah

$$\mathcal{F}(\mathrm{rect}(f/f_s)) = 1/ T \mathrm{sinc}(t/T),$$ Konvolusi kemudian hanya menggantikan setiap delta Dirac di sisir Dirac dengan-fungsi sinc bergeser ke posisi delta, memberikan x ( t ) = ∞ Σ n = - ∞ x [ n ] s i n c ( t / T - n ) . Ini adalahformula interpolasi Whittaker-Shannon. $$\mathrm{sinc}(x) \triangleq \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}.$$ $$x(t) = \sum_{n = -\infty}^\infty x[n] \mathrm{sinc}(t/T - n). \tag{2} \label{sumofsinc}$$

Pengambilan sampel yang tidak ideal

Untuk menerjemahkan teori di atas ke dunia nyata, bagian yang paling sulit adalah menjamin bandlimiting, yang harus dilakukan sebelum pengambilan sampel. Untuk keperluan jawaban ini, kami menganggap ini telah dilakukan. Tugas yang tersisa adalah untuk mengambil sampel dari nilai sinyal instan. Karena ADC yang sebenarnya akan membutuhkan jumlah waktu yang terbatas untuk membentuk perkiraan sampel, implementasi yang biasa akan menyimpan nilai sinyal ke sirkuit sampel-dan-tahan-sampel, dari mana perkiraan digital terbentuk.

Meskipun ini sangat mirip dengan zero-order-hold, ini adalah proses yang berbeda: nilai yang diperoleh dari sample-and-hold memang persis nilai instan dari sinyal, hingga perkiraan bahwa sinyal tetap konstan untuk Durasi yang diperlukan untuk mengisi kapasitor yang memegang nilai sampel. Ini biasanya dicapai dengan baik oleh sistem dunia nyata.

Oleh karena itu, kita dapat mengatakan bahwa ADC dunia nyata, mengabaikan masalah bandlimiting, adalah pendekatan yang sangat baik untuk kasus pengambilan sampel yang ideal, dan khususnya "tangga" yang berasal dari sampel-dan-tahan tidak menyebabkan kesalahan dalam pengambilan sampel dengan sendirinya.

Rekonstruksi yang tidak ideal

Untuk rekonstruksi, tujuannya adalah untuk menemukan sirkuit elektronik yang mencapai jumlah total yang muncul pada . Karena sinc memiliki batas waktu yang tak terbatas, sangat jelas bahwa ini tidak dapat benar-benar direalisasikan. Lebih jauh lagi, membentuk jumlah sinyal seperti itu bahkan untuk perkiraan yang masuk akal akan membutuhkan banyak sub-sirkuit, dan dengan cepat menjadi sangat kompleks. Oleh karena itu, biasanya pendekatan yang jauh lebih sederhana digunakan: pada setiap pengambilan sampel instan, tegangan yang sesuai dengan nilai sampel adalah output, dan tetap konstan sampai contoh pengambilan sampel berikutnya (meskipun lihat modulasi Delta-sigma untuk contoh metode alternatif). Ini adalah penahanan tanpa urutan , dan sesuai untuk mengganti sinc yang kami gunakan di atas dengan fungsi persegi panjang 1 $\eqref{sumofsinc}$ . Mengevaluasi lilit ( 1 / T r e c t ( t / T - 1 / 2 ) ) * ( ∞ Σ n = - ∞ T x [ n ] δ ( t - n T ) )$1/T\mathrm{rect}(t/T - 1/2)$

$$(1/T\mathrm{rect}(t/T - 1/2))*\left(\sum_{n = -\infty}^\infty T x[n] \delta(t - n T)\right),$$ menggunakan properti mendefinisikan fungsi delta, kita melihat bahwa ini memang menghasilkan bentuk gelombang tangga waktu kontinu klasik. Faktor masuk untuk membatalkan T yang diperkenalkan pada (1) . Bahwa faktor semacam itu diperlukan juga jelas dari fakta bahwa unit-unit dari respons impuls adalah 1 / kali.$1/T$$T$$\eqref{discreteft}$

Pergeseran oleh adalah hanya untuk jaminan kausalitas . Ini hanya sebesar pergeseran output dengan 1/2 relatif sampel untuk menggunakan 1 / T r e c t ( $-1/2 T$ (yang mungkin memiliki konsekuensi dalam sistem real-time atau saatsangatsinkronisasi yang tepat untuk peristiwa eksternal yang diperlukan) , yang akan kita abaikan dalam hal berikut.$1/T \mathrm{rect}(1/T)$

Membandingkan kembali ke , kami telah mengganti fungsi persegi panjang dalam domain frekuensi, yang membuat baseband sepenuhnya tidak tersentuh dan menghapus semua salinan spektrum frekuensi yang lebih tinggi, yang disebut gambar , dengan transformasi Fourier dari fungsi 1 / T r e c t ( t / T ) . Ini tentu saja s i n c ( f / f s ) $\eqref{discreteft}$$1/T \mathrm{rect}(t/T)$

$$\mathrm{sinc}(f/f_s).$$

Perhatikan bahwa logikanya agak terbalik dari kasus ideal: di sana kami menetapkan tujuan kami, yaitu menghapus gambar, dalam domain frekuensi, dan mendapatkan konsekuensi dalam domain waktu. Di sini kami mendefinisikan cara merekonstruksi dalam domain waktu (karena itulah yang kami tahu bagaimana melakukannya), dan memperoleh konsekuensi dalam domain frekuensi.

Jadi hasil dari penahanan nol adalah bahwa alih-alih jendela persegi panjang dalam domain frekuensi, kita berakhir dengan sinc sebagai fungsi windowing. Karena itu:

• Respons frekuensi tidak lagi terbatas band. Melainkan meluruh sebagai , dengan frekuensi atas menjadi gambar dari sinyal asli$1/f$
• di baseband, respon sudah meluruh jauh, mencapai sekitar -4 dB pada $1/2 f_s$

Secara keseluruhan, penahanan tanpa urutan digunakan untuk memperkirakan fungsi waktu-domain sinc yang muncul dalam rumus interpolasi Whittaker-Shannon . Saat pengambilan sampel, sampel-dan-tahan yang tampak serupa adalah solusi teknis untuk masalah memperkirakan nilai sesaat dari sinyal, dan tidak menghasilkan kesalahan dalam dirinya sendiri.

Perhatikan bahwa tidak ada informasi yang hilang dalam rekonstruksi, karena kami selalu dapat memfilter gambar frekuensi tinggi setelah penahanan nol-urutan awal. Hilangnya laba juga bisa dikompensasikan dengan filter sinc invers, baik sebelum atau setelah DAC. Jadi dari sudut pandang yang lebih praktis, penahanan tanpa-urutan digunakan untuk membangun perkiraan awal yang dapat dilaksanakan untuk rekonstruksi ideal, yang kemudian dapat ditingkatkan lebih lanjut, jika perlu.

Hold zero-order memiliki peran mendekati delta dan $\mathrm{sinc}$ -functions muncul di teorema sampling, mana yang sesuai.

Untuk tujuan kejelasan, saya mempertimbangkan sistem ADC / DAC dengan sinyal tegangan. Namun, semua hal berikut ini berlaku untuk sistem pengambilan sampel apa pun dengan perubahan unit yang sesuai. Saya juga berasumsi bahwa sinyal input telah secara magis terbatas untuk memenuhi kriteria Nyquist.

Mulai dari pengambilan sampel: idealnya, seseorang akan mencicipi nilai sinyal input pada satu saat. Karena ADC yang sebenarnya membutuhkan jumlah waktu yang terbatas untuk membentuk aproksimasi mereka, tegangan sesaat didekati oleh sampel-dan-tahan (seketika didekati dengan waktu switching yang digunakan untuk mengisi kapasitor). Jadi pada intinya, penahan mengubah masalah penerapan fungsi delta pada sinyal menjadi masalah pengukuran tegangan konstan.

$$x(t) = \frac{\Delta t V_\mathrm{ref}}{2^n}\sum_k x_k \delta(t - k \Delta t),$$ $V_\mathrm{ref}$$n$$x_k$$\Delta t$$x_k$

$\Delta t$$\Delta t$$f = 0$

$$\hat{x}(0) = \int_0^{\Delta t} 1\mathrm{V}\mathrm{d}t = 1\mathrm{V} \Delta t.$$ $\Delta t$

$\mathrm{sinc}$$\mathrm{sinc}$

$$\mathrm{rect}_{\Delta t}(t) = \frac{1}{\Delta t}\mathrm{rect}\left(\frac{t}{\Delta t}\right).$$ $V_1$

$$\hat{\mathrm{rect}}_{\Delta t}(f) = \mathrm{sinc}(\pi \Delta t f).$$ $1$$\mathrm{sinc}$$1/f$

$\mathrm{sinc}$$\mathrm{sinc}$ could be compensated for by an inverse filter (and this is indeed sometimes done, see for example https://www.maximintegrated.com/en/app-notes/index.mvp/id/3853). The modest $-6\mathrm{dB/octave}$ decay of the $\mathrm{sinc}$ usually requires some form of filtering to further attenuate the images.

Note also that an imaginary impulse generator that could physically reproduce the impulse train used in the analysis would output an infinite amount of energy in reconstructing the images. This would also cause some hairy effects, such as that an ADC re-sampling the output would see nothing, unless it were perfectly synchronized to the original system (it would mostly sample between the impulses). This shows clearly that even if we cannot bandlimit the output exactly, some approximate bandlimiting is always needed to regularize the total energy of the signal, before it can be converted to a physical representation.

To summarize:

• in both directions, the zero-order-hold acts as an approximation to a delta function, or it's band-limited form, the $\mathrm{sinc}$ -function.
• from the frequency domain point of view, it is an approximation to the brickwall filter that removes images, and therefore regulates the infinite amount of energy present in the idealized impulse train.

---

*This is also clear from dimensional analysis: the units of a Fourier transform of a voltage signal are $\mathrm{V}\mathrm{s} = \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{Hz}},$ whereas the delta function has units of $1/\mathrm{s}$, which would cancel the unit of time coming from the integral in the transform.

Fourier Transform:

$$X(j 2 \pi f) = \mathscr{F}\{x(t)\} \triangleq \int\limits_{-\infty}^{+\infty} x(t) \ e^{-j 2 \pi f t} \ \text{d}t$$

Inverse Fourier Transform:

$$x(t) = \mathscr{F}^{-1}\{X(j 2 \pi f)\} = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} X(j 2 \pi f) \ e^{j 2 \pi f t} \ \text{d}f$$

Rectangular pulse function:

$$\operatorname{rect}(u) \triangleq \begin{cases} 0 & \mbox{if } |u| > \frac{1}{2} \\ 1 & \mbox{if } |u| < \frac{1}{2} \\ \end{cases}$$

"Sinc" function ("sinus cardinalis"):

$$\operatorname{sinc}(v) \triangleq \begin{cases} 1 & \mbox{if } v = 0 \\ \frac{\sin(\pi v)}{\pi v} & \mbox{if } v \ne 0 \\ \end{cases}$$

Define sampling frequency, $f_\text{s} \triangleq \frac{1}{T}$ as the reciprocal of the sampling period $T$.

Note that:

$$\mathscr{F}\left\{\operatorname{rect}\left( \frac{t}{T} \right) \right\} = T \ \operatorname{sinc}(fT) = \frac{1}{f_\text{s}} \ \operatorname{sinc}\left( \frac{f}{f_\text{s}} \right)$$

Dirac comb (a.k.a. "sampling function" a.k.a. "Sha function"):

$$\operatorname{III}_T(t) \triangleq \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t - nT)$$

Dirac comb is periodic with period $T$. Fourier series:

$$\operatorname{III}_T(t) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} e^{j 2 \pi k f_\text{s} t}$$

Sampled continuous-time signal:

$$\begin{align} x_\text{s}(t) & = x(t) \cdot \left( T \cdot \operatorname{III}_T(t) \right) \\ & = x(t) \cdot \left( T \cdot \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t - nT) \right) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x(t) \ \delta(t - nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x(nT) \ \delta(t - nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \delta(t - nT) \\ \end{align}$$

where $x[n] \triangleq x(nT)$.

This means that $x_\text{s}(t)$ is defined solely by the samples $x[n]$ and the sampling period $T$ and totally loses any information of the values of $x(t)$ for times in between sampling instances. $x[n]$ is a discrete sequence of numbers and is a sorta DSP shorthand notation for $x_n$. While it is true that $x_\text{s}(t) = 0$ for $nT < t < (n+1)T$, the value of $x[n]$ for any $n$ not an integer is undefined.

N.B.: The discrete signal $x[n]$ and all discrete-time operations on it, like the $\mathcal{Z}$-Transform, the Discrete-Time Fourier Transform (DTFT), the Discrete Fourier Transform (DFT), are "agnostic" regarding the sampling frequency or the sampling period $T$. Once you're in the discrete-time $x[n]$ domain, you do not know (or care) about $T$. It is only with the Nyquist-Shannon Sampling and Reconstruction Theorem that $x[n]$ and $T$ are put together.

The Fourier Transform of $x_\text{s}(t)$ is

$$\begin{align} X_\text{s}(j 2 \pi f) \triangleq \mathscr{F}\{ x_\text{s}(t) \} & = \mathscr{F}\left\{x(t) \cdot \left( T \cdot \operatorname{III}_T(t) \right) \right\} \\ & = \mathscr{F}\left\{x(t) \cdot \left( T \cdot \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} e^{j 2 \pi k f_\text{s} t} \right) \right\} \\ & = \mathscr{F}\left\{ \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} x(t) \ e^{j 2 \pi k f_\text{s} t} \right\} \\ & = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \mathscr{F}\left\{ x(t) \ e^{j 2 \pi k f_\text{s} t} \right\} \\ & = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right) \\ \end{align}$$

Important note about scaling: The sampling function $T \cdot \operatorname{III}_T(t)$ and the sampled signal $x_\text{s}(t)$ has a factor of $T$ that you will not see in nearly all textbooks. That is a pedagogical mistake of the authors of these of these textbooks for multiple (related) reasons:

1. First, leaving out the $T$ changes the dimension of the sampled signal $x_\text{s}(t)$ from the dimension of the signal getting sampled $x(t)$.
2. That $T$ factor will be needed somewhere in the signal chain. These textbooks that leave it out of the sampling function end up putting it into the reconstruction part of the Sampling Theorem, usually as the passband gain of the reconstruction filter. That is dimensionally confusing. Someone might reasonably ask: "How do I design a brickwall LPF with passband gain of $T$?"
3. As will be seen below, leaving the $T$ out here results in a similar scaling error for the net transfer function and net frequency response of the Zero-order Hold (ZOH). All textbooks on digital (and hybrid) control systems that I have seen make this mistake and it is a serious pedagogical error.

Note that the DTFT of $x[n]$ and the Fourier Transform of the sampled signal $x_\text{s}(t)$ are, with proper scaling, virtually identical:

DTFT:

$$\begin{align} X_\mathsf{DTFT}(\omega) & \triangleq \mathcal{Z}\{x[n]\} \Bigg|_{z=e^{j\omega}} \\ & = X_\mathcal{Z}(e^{j\omega}) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ e^{-j \omega n} \\ \end{align}$$

It can be shown that

$$X_\mathsf{DTFT}(\omega) = X_\mathcal{Z}(e^{j\omega}) = \frac{1}{T} X_\text{s}(j 2 \pi f)\Bigg|_{f=\frac{\omega}{2 \pi T}}$$

---

The above math is true whether $x(t)$ is "properly sampled" or not. $x(t)$ is "properly sampled" if $x(t)$ can be fully recovered from the samples $x[n]$ and knowledge of the sampling rate or sampling period. The Sampling Theorem tells us what is necessary to recover or reconstruct $x(t)$ from $x[n]$ and $T$.

If $x(t)$ is bandlimited to some bandlimit $B$, that means

$$X(j 2 \pi f) = 0 \quad \quad \text{for all} \quad |f| > B$$

Consider the spectrum of the sampled signal made up of shifted images of the original:

$$X_\text{s}(j 2 \pi f) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right)$$

The original spectrum $X(j 2 \pi f)$ can be recovered from the sampled spectrum $X_\text{s}(j 2 \pi f)$ if none of the shifted images, $X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right)$, overlap their adjacent neighbors. This means that the right edge of the $k$-th image (which is $X\left(j 2 \pi (f - k f_\text{s})\right)$) must be entirely to the left of the left edge of the ($k+1$)-th image (which is $X\left(j 2 \pi (f - (k+1) f_\text{s})\right)$). Restated mathematically,

$$k f_\text{s} + B < (k+1) f_\text{s} - B$$

which is equivalent to

$$f_\text{s} > 2B$$

If we sample at a sampling rate that exceeds twice the bandwidth, none of the images overlap, the original spectrum, $X(j 2 \pi f)$, which is the image where $k=0$ can be extracted from $X_\text{s}(j 2 \pi f)$ with a brickwall low-pass filter that keeps the original image (where $k=0$) unscaled and discards all of the other images. That means it multiplies the original image by 1 and multiplies all of the other images by 0.

$$\begin{align} X(j 2 \pi f) & = \operatorname{rect}\left( \frac{f}{f_\text{s}} \right) \cdot X_\text{s}(j 2 \pi f) \\ & = H(j 2 \pi f) \ X_\text{s}(j 2 \pi f) \\ \end{align}$$

The reconstruction filter is

$$H(j 2 \pi f) = \operatorname{rect}\left( \frac{f}{f_\text{s}} \right)$$

and has acausal impulse response:

$$h(t) = \mathscr{F}^{-1} \{H(j 2 \pi f)\} = f_\text{s} \operatorname{sinc}(f_\text{s}t)$$

This filtering operation, expressed as multiplication in the frequency domain is equivalent to convolution in the time domain:

$$\begin{align} x(t) & = h(t) \circledast x_\text{s}(t) \\ & = h(t) \circledast T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \delta(t-nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ (h(t) \circledast \delta(t-nT) ) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ h(t-nT)) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \left(f_\text{s} \operatorname{sinc}(f_\text{s}(t-nT)) \right) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}(f_\text{s}(t-nT)) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}\left( \frac{t-nT}{T}\right) \\ \end{align}$$

That spells out explicitly how the original $x(t)$ is reconstructed from the samples $x[n]$ and knowledge of the sampling rate or sampling period.

---

So what is output from a practical Digital-to-Analog Converter (DAC) is neither

$$\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}\left( \frac{t-nT}{T}\right)$$

which needs no additional treatment to recover $x(t)$, nor

$$x_\text{s}(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ T \delta(t-nT)$$

which, with an ideal brickwall LPF recovers $x(t)$ by isolating and retaining the baseband image and discarding all of the other images.

What comes out of a conventional DAC, if there is no processing or scaling done to the digitized signal, is the value $x[n]$ held at a constant value until the next sample is to be output. This results in a piecewise-constant function:

$$x_\text{DAC}(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{rect}\left(\frac{t-nT - \frac{T}{2}}{T} \right)$$

Note the delay of $\frac{1}{2}$ sample period applied to the $\operatorname{rect}(\cdot)$ function. This makes it causal. It means simply that

$$x_\text{DAC}(t) = x[n] = x(nT) \quad \quad \text{when} \quad nT \le t < (n+1)T$$

Stated differently

$$x_\text{DAC}(t) = x[n] = x(nT) \quad \quad \text{for} \quad n = \operatorname{floor}\left( \frac{t}{T} \right)$$

where $\operatorname{floor}(u) = \lfloor u \rfloor$ is the floor function, defined to be the largest integer not exceeding $u$.

This DAC output is directly modeled as a linear time-invariant system (LTI) or filter that accepts the ideally sampled signal $x_\text{s}(t)$ and for each impulse in the ideally sampled signal, outputs this impulse response:

$$h_\text{ZOH}(t) = \frac{1}{T} \operatorname{rect}\left(\frac{t - \frac{T}{2}}{T} \right)$$

Plugging in to check this...

$$\begin{align} x_\text{DAC}(t) & = h_\text{ZOH}(t) \circledast x_\text{s}(t) \\ & = h_\text{ZOH}(t) \circledast T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \delta(t-nT) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ (h_\text{ZOH}(t) \circledast \delta(t-nT) ) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ h_\text{ZOH}(t-nT)) \\ & = T \ \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \frac{1}{T} \operatorname{rect}\left(\frac{t - nT - \frac{T}{2}}{T} \right) \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \ \operatorname{rect}\left(\frac{t - nT - \frac{T}{2}}{T} \right) \\ \end{align}$$

The DAC output $x_\text{DAC}(t)$, as the output of an LTI system with impulse response $h_\text{ZOH}(t)$ agrees with the piecewise constant construction above. And the input to this LTI system is the sampled signal $x_\text{s}(t)$ judiciously scaled so that the baseband image of $x_\text{s}(t)$ is exactly the same as the spectrum of the original signal being sampled $x(t)$. That is

$$X(j 2 \pi f) = X_\text{s}(j 2 \pi f) \quad \quad \text{for} \quad -\frac{f_\text{s}}{2} < f < +\frac{f_\text{s}}{2}$$

The original signal spectrum is the same as the sampled spectrum, but with all images, that had appeared due to sampling, discarded.

The transfer function of this LTI system, which we call the Zero-order hold (ZOH), is the Laplace Transform of the impulse response:

$$\begin{align} H_\text{ZOH}(s) & = \mathscr{L} \{ h_\text{ZOH}(t) \} \\ & \triangleq \int\limits_{-\infty}^{+\infty} h_\text{ZOH}(t) \ e^{-s t} \ \text{d}t \\ & = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} \operatorname{rect}\left(\frac{t - \frac{T}{2}}{T} \right) \ e^{-s t} \ \text{d}t \\ & = \int\limits_0^T \frac{1}{T} \ e^{-s t} \ \text{d}t \\ & = \frac{1}{T} \quad \frac{1}{-s}e^{-s t}\Bigg|_0^T \\ & = \frac{1-e^{-sT}}{sT} \\ \end{align}$$

The frequency response is obtained by substituting $j 2 \pi f \rightarrow s$

$$\begin{align} H_\text{ZOH}(j 2 \pi f) & = \frac{1-e^{-j2\pi fT}}{j2\pi fT} \\ & = e^{-j\pi fT} \frac{e^{j\pi fT}-e^{-j\pi fT}}{j2\pi fT} \\ & = e^{-j\pi fT} \frac{\sin(\pi fT)}{\pi fT} \\ & = e^{-j\pi fT} \operatorname{sinc}(fT) \\ & = e^{-j\pi fT} \operatorname{sinc}\left(\frac{f}{f_\text{s}}\right) \\ \end{align}$$

This indicates a linear phase filter with constant delay of one-half sample period, $\frac{T}{2}$, and with gain that decreases as frequency $f$ increases. This is a mild low-pass filter effect. At DC, $f=0$, the gain is 0 dB and at Nyquist, $f=\frac{f_\text{s}}{2}$ the gain is -3.9224 dB. So the baseband image has some of the high frequency components reduced a little.

As with the sampled signal $x_\text{s}(t)$, there are images in sampled signal $x_\text{DAC}(t)$ at integer multiples of the sampling frequency, but those images are significantly reduced in amplitude (compared to the baseband image) because $|H_\text{ZOH}(j 2 \pi f)|$ passes through zero when $f = k\cdot f_\text{s}$ for integer $k$ that is not 0, which is right in the middle of those images.

Concluding:

1. The Zero-order hold (ZOH) is a linear time-invariant model of the signal reconstruction done by a practical Digital-to-Analog converter (DAC) that holds the output constant at the sample value, $x[n]$, until updated by the next sample $x[n+1]$.

2. Contrary to the common misconception, the ZOH has nothing to do with the sample-and-hold circuit (S/H) one might find preceding an Analog-to-Digital converter (ADC). As long as the DAC holds the output to a constant value over each sampling period, it doesn't matter if the ADC has a S/H or not, the ZOH effect remains. If the DAC outputs something other than the piecewise-constant output (such as a sequence of narrow pulses intended to approximate dirac impulses) depicted above as $x_\text{DAC}(t)$, then the ZOH effect is not present (something else is, instead) whether there is a S/H circuit preceding the ADC or not.

3. The net transfer function of the ZOH is

   $$H_\text{ZOH}(s) = \frac{1-e^{-sT}}{sT}$$ and the net frequency response of the ZOH is $$H_\text{ZOH}(j 2 \pi f) = e^{-j\pi fT} \operatorname{sinc}(fT)$$ Many textbooks leave out the $T$ factor in the denominator of the transfer function and that is a mistake.

4. The ZOH reduces the images of the sampled signal $x_\text{s}(t)$ significantly, but does not eliminate them. To eliminate the images, one needs a good low-pass filter as before. Brickwall LPFs are an idealization. A practical LPF may also attenuate the baseband image (that we want to keep) at high frequencies, and that attenuation must be accounted for as with the attenuation that results from the ZOH (which is less than 3.9224 dB attenuation). The ZOH also delays the signal by one-half sample period, which may have to be taken in consideration (along with the delay of the anti-imaging LPF), particularly if the ZOH is in a feedback loop.