Bukti bahwa setiap rangkaian dengan dioda memiliki tepat satu solusi

11

Pertimbangkan rangkaian elektronik yang terdiri dari komponen linier ditambah sejumlah dioda ideal. Maksud "ideal" yang saya maksud adalah mereka bisa menjadi bias-maju (yaitu dan ) atau bias-terbalik (yaitu dan ). $v_D=0$ $i_D\geq 0$ $v_D\leq 0$ $i_D=0$

Sirkuit ini dapat dihitung dengan mendeklarasikan secara acak setiap dioda baik maju-bias atau mundur-bias, dan pengaturan untuk setiap dioda maju-bias dan untuk setiap dioda bias-balik. Setelah rangkaian linier yang dihasilkan telah dihitung, kita harus memeriksa apakah pada setiap dioda bias maju dan pada setiap dioda bias balik terpenuhi. Jika ya, itu solusi kami. Jika tidak, kita harus mencoba set pilihan lain untuk dioda. Jadi, untuk dioda, kita dapat menghitung sirkuit dengan menghitung paling banyak sirkuit linear (biasanya jauh lebih sedikit). $v_D=0$ $i_D=0$ $i_D\geq 0$ $v_D\leq 0$ $N$ $2^N$

Mengapa ini bekerja? Dengan kata lain, mengapa selalu ada satu pilihan yang mengarah ke solusi yang valid dan (lebih menarik) mengapa tidak pernah ada dua pilihan yang keduanya mengarah ke solusi yang valid?

Seharusnya mungkin untuk membuktikan bahwa pada tingkat kekakuan yang sama dengan yang misalnya teorema Thevenin terbukti dalam buku teks.

Tautan ke bukti dalam literatur juga akan menjadi jawaban yang dapat diterima.

circuit-analysis diodes

— Stefan
sumber

1

Karena sirkuit fisik dapat berada dalam satu keadaan pada satu waktu saja. Ini bukan mekanika kuantum ...

— Eugene Sh.

3

@EugeneSh .: Itu benar, tapi bukan itu yang diminta OP. Beberapa sirkuit dapat berada di salah satu dari sejumlah keadaan berbeda yang diberikan kondisi eksternal yang identik. Pertanyaannya adalah untuk membuktikan bahwa hanya ada satu keadaan seperti itu untuk kelas sirkuit yang digambarkan OP.

— Dave Tweed

5

@Eugene Sh .: misalnya flip flop (atau sirkuit bi-stable) adalah contoh berlawanan dari sirkuit yang memiliki lebih dari satu solusi. Jika tidak ada "kondisi inital yang sama" yang diberikan, Anda harus mengasumsikan setiap kondisi dan mencari solusi stabil yang tersedia dan kemudian Anda menemukan bahwa beberapa sirkuit hanya memiliki satu tidak peduli apa kondisi awal (misalnya sirkuit linear) dan yang lain memiliki lebih dari satu .

— Dadih

1

@EugeneSh. Intinya di sini adalah untuk membuktikan bahwa perilaku kondisi tunak rangkaian dioda tidak tergantung pada kondisi awal, hanya ada satu solusi stabil. Tidak seperti flip-flop, yang memiliki beberapa solusi stabil dan dapat digunakan sebagai elemen memori ("kondisi awal" adalah penulisan memori).

— Evan

2

@EugeneSh. Intinya bukan bahwa sirkuit non-linear dapat berada dalam keadaan terdefinisi dengan baik mengingat kondisi awal, tetapi justru sebaliknya. Teorema dimana OP merujuk jaminan bahwa hanya ada satu solusi terlepas dari kondisi awal , yang agak aneh untuk sirkuit nonlinear.

— Lorenzo Donati - Codidact.org

3

Saya berasumsi ini untuk masalah yang dibuat-buat di mana ada rangkaian dengan pasif yang diketahui dan beberapa I dan V yang diberikan dan bintik-bintik yang ditandai untuk dioda dari arah yang tidak diketahui. Jawaban saya adalah:

Semoga pencipta masalah telah membatasi diri mereka sendiri untuk contoh di mana asumsi mereka mengarah pada kesimpulan mereka.

Secara teori itu bisa tidak terpecahkan dengan memiliki dioda yang asing; pertimbangkan untuk membumikan kedua sisi dioda. Mungkin ada kasus non-sepele menggunakan alasan virtual atau tegangan yang sama lainnya yang mungkin sulit dikenali.

Pasti ada sirkuit yang valid yang hanya berbeda dengan arah dioda untuk nilai "sirkuit valid" yang mencakup dioda. Pertimbangkan memodelkan sakelar menggunakan aturan dioda ideal itu, bagaimana Anda bisa memutuskan apakah sakelar dimaksudkan untuk hidup atau mati? Semoga arus dan tegangan yang diberikan memberi petunjuk yang cukup. Dan semoga mereka tidak memberi Anda petunjuk yang bertentangan.

Ini menggeser pertanyaan ke "Bagaimana Anda bisa tahu jika sebuah instance memiliki informasi yang cukup untuk menjadi unik?" Saya ingat jawabannya adalah sesuatu seperti Anda membutuhkan satu independen yang diberikan untuk setiap independen yang tidak diketahui, tetapi saya yakin saya tidak dapat membuktikannya atau membuat tes umum untuk independensi keduanya.

2

Untuk dioda ideal, mungkin ada beberapa solusi.

Contoh balik sepele: Ambil sirkuit apa pun yang berisi dioda ideal yang telah Anda pecahkan. Sekarang ganti salah satu dioda yang ideal dengan, jika melakukan maju, sepasang dioda yang terhubung secara paralel, atau jika bias-terbalik, sepasang seri, mempertahankan orientasi dalam kedua kasus. Bagaimana Anda menyelesaikan distribusi arus atau tegangan di antara keduanya? Anda tidak bisa, model dioda ideal mengarah ke cembung solusi yang sama-valid.

— Ben Voigt
sumber

1

Anda benar-benar memperluas definisi "sirkuit" di sini. Dua dioda ideal bias terbalik dalam seri membuat simpul terisolasi di antara mereka, dan dua dioda ideal maju-bias secara paralel membuat loop terisolasi. Ini tidak berguna dalam konteks pertanyaan.

— Dave Tweed

@DaveTweed: Bagaimana sirkuit pasca-modifikasi kurang dari sirkuit sebelum perubahan dilakukan?

— Ben Voigt

2

Memang tidak, tetapi modifikasi Anda tidak membuat perbedaan yang bermanfaat. Jika dua dioda ideal bergabung dengan sepasang node rangkaian, satu-satunya hal yang penting adalah total tegangan atau total arus antara node tersebut; distribusi tegangan atau arus antara dioda secara individual tidak ada konsekuensinya sama sekali. Dan melemparkan istilah yang tidak relevan seperti "convex hull" hanyalah teknokabel murni.

— Dave Tweed

Ini sangat berguna, karena menunjukkan tidak ada harapan bukti keunikan tanpa asumsi lebih lanjut. Tentu saja pertanyaan selanjutnya adalah apakah cukup untuk mengecualikan dua dioda dalam satu baris dan dua dioda secara paralel, atau jika ada contoh tandingan dari kompleksitas yang lebih besar.

— Stefan

1

Saya tidak punya bukti yang kuat, tetapi ide umumnya adalah selama komponen rangkaian memiliki kurva VI yang memiliki fungsi bernilai tunggal (ini termasuk dioda dan komponen linier), hanya ada satu solusi untuk sirkuit secara keseluruhan.

— Dave Tweed
sumber

Jenis induksi pada superposisi. Basis kasus akan menjadi sirkuit dioda tunggal, yang mudah untuk menunjukkan memiliki solusi tunggal. Kemudian langkah induksi untuk menunjukkan kombinasi dari sirkuit dasar memiliki solusi tunggal.

— Eugene Sh.

1

Namun, dioda ideal yang dibahas dalam persamaan tidak memiliki kurva IV bernilai tunggal.

— Ben Voigt

@BenVoigt: Ketika berhadapan dengan komponen-komponen ideal dan angka nol serta tak terhingga terkait, Anda harus berhati-hati. Konsep batas sangat penting: resistansi ke depan sangat kecil tetapi tidak nol, dan konduktansi sebaliknya juga sangat kecil tetapi bukan nol. Ketika dipertimbangkan dengan cara ini, persamaannya memang bernilai tunggal.

— Dave Tweed

1

Saya pikir ist cukup sederhana:

Anda dapat memperlakukan dioda ideal bias maju sebagai celana pendek dan dioda bias ideal terbalik sebagai sirkuit terbuka. Jadi bagaimanapun Anda mendapatkan sirkuit dengan hanya komponen linier (karena semua dioda baik memutuskan untuk membuka sirkuit atau celana pendek) dan sirkuit linear tersebut diketahui memiliki tepat satu solusi.

— Dadih
sumber

3

Tetapi masing-masing sirkuit akan memiliki solusi - bagaimana Anda membuktikan bahwa hanya satu yang konsisten sendiri?

— Ben Voigt

@ Ben Voigt: ok, saya mengerti. Itu belum terbukti (dan mungkin adalah pekerjaan utama)

— Curd

1

Dari entri garis beban Wikipedia

Hanya ada satu solusi unik karena sifat masalahnya. Ini paling baik digambarkan secara grafis, dalam bentuk garis beban. Dioda memiliki persamaan yang menggambarkan hubungan antara arus yang melaluinya (sumbu y), dan tegangan melintasinya (sumbu x). Di sini, sumbu x adalah tegangan melintasi dioda.

Lihat apa yang terjadi pada arus melintasi resistor saat tegangan melintasi perubahan dioda. Jika tegangan Vdd melintasi dioda, maka tidak akan ada drop tegangan di resistor, karena tegangan melintasi resistor dan dioda harus dijumlahkan ke Vdd), dan dengan demikian akan ada arus nol melintasi resistor (Hukum Ohm). Demikian pula, jika ada penurunan tegangan nol di dioda, akan ada Vdd di resistor, dan arus yang melalui resistor akan Vdd / R.

Sekarang, kita tahu itu menjadi situasi yang tidak realistis, karena arus di dioda dan resistor harus sama. Mengingat persamaan untuk resistor (linier) dan persamaan untuk dioda (non-linear, tetapi meningkat monoton), kita dapat melihat pada grafik bahwa ini hanya dapat terjadi pada satu titik unik, yaitu perpotongan dua kurva.

Dengan demikian, solusi simultan dari tiga persamaan (resistor, dioda, dan fakta bahwa kedua arus harus sama) memberikan penggunaan satu solusi unik.

Metode ini akan bekerja untuk semua elemen rangkaian.

Ini sedikit berbeda untuk dioda arus balik, karena arus resistor menuju ke arah lain, dan kuadran perlu ditambahkan ke grafik.

— Scott Seidman
sumber

Kurva dioda IV yang Anda tampilkan bukan kurva IV dari dioda ideal .

— Dadih

@ Curd: Mengingat kurangnya faktor skala, itu cukup dekat. Lihat komentar saya untuk Ben Voigt.

— Dave Tweed

1

Ini adalah penjelasan yang baik untuk kasus dengan satu dioda, tetapi masalah saya yang sebenarnya adalah kasus dengan beberapa dioda.

— Stefan

1

'Bukti' ini hanya akan bekerja untuk sirkuit tertentu. Jika Anda memiliki beberapa gain dan satu-satunya elemen nonlinear adalah dioda itu sendiri, Anda dapat memiliki beberapa kemungkinan status. Misalnya (mungkin bukan contoh yang paling sederhana).

Sirkuit ini akan bekerja dengan op-amp linear sempurna ideal dan output tidak pernah mati hingga tak terbatas atau jenuh, namun dengan 0V di dalamnya dapat sekitar +6 atau sekitar -6 pada output, dengan satu pasangan atau yang lain dari dioda melakukan . Ini juga akan bekerja dengan dioda 'hampir ideal' yang memiliki drop maju ketika diaktifkan dan tidak ada nonalitas lainnya.

skema

(dan tentu saja dioda terowongan adalah kasus khusus dengan kurva IV non-monotonik).

Buktinya mungkin harus hanya memerlukan elemen pasif seperti resistor (tidak ada sumber arus atau tegangan tergantung). Atau mungkin hanya dengan dioda ideal dengan 0V Vf.

— Spehro Pefhany
sumber

Bukankah sudah jelas bahwa kelas sirkuit yang kita bicarakan di sini tidak termasuk apa pun dengan penguatan, seperti perangkat 3-terminal atau perangkat negatif lainnya?

— Dave Tweed

@ DaveTweed Tidak. Pertanyaan aslinya mengatakan 'komponen linier' yang tidak cukup ketat, setidaknya untuk dioda dengan drop maju. Pertanyaan umum pada buku teks hanya memiliki sumber dan resistor tegangan dan arus bebas dan dioda ideal atau agak ideal. Sirkuit nyata dan bermanfaat biasanya melibatkan op-amp, IME.

— Spehro Pefhany

Maksud saya apa yang Anda gambarkan sebagai pertanyaan buku teks biasa.

— Stefan

1

Anda benar, pertanyaannya harus mengatakan "pasif" jika itu berarti mengecualikan elemen aktif-tetapi-linier.

— Ben Voigt

0

Ini bukan bukti lengkap, tapi mungkin itu akan membuat Anda di jalur:

Jika ada beberapa solusi, setidaknya ada satu dioda yang bisa maju atau mundur yang bias. Pertimbangkan satu dioda seperti itu. Dalam solusi yang diberikan, itu bias maju atau mundur. Mari kita tentukan tegangan pada terminalnya, Va dan Vb, sehingga jika bias maju, Va> = Vb, dan jika itu bias balik, Vb> = Va. Dalam kasus bias maju atau mundur, sisanya dari Sirkuit (RotC) menghasilkan tegangan ini di terminal dioda.

Karena Anda menyatakan bahwa rangkaian terdiri dari elemen linier dan dioda, baik RotC adalah jaringan yang murni linier, atau termasuk lebih banyak dioda.

Jika RotC adalah murni jaringan linear, ia hanya memiliki satu solusi, dan satu-satunya solusi untuk kendala Va> = Vb dan Vb> = Va adalah bahwa Va = Vb.

Jika RotC menyertakan lebih banyak dioda dengan beberapa solusi yang mungkin, pertimbangkan dioda tersebut berikutnya. Sekali lagi, itu terhubung ke jaringan linear, atau jaringan dengan lebih banyak dioda dengan beberapa solusi yang mungkin.

Jika kita asumsikan ada sejumlah dioda dalam rangkaian ...

— PProteus
sumber