Impedansi Kompleks

10

Apa artinya memiliki impedansi yang kompleks?

Sebagai contoh, impedansi kapasitor (dalam domain Laplace?) Diberikan oleh 1 / sC (saya percaya) yang setara dengan mana transien diabaikan. Apa artinya impedansi menjadi imajiner? $\dfrac{1}{j \cdot 2 \pi \cdot f \cdot C}$

Saya saat ini sedang berada di tahun ke-2 Teknik Elektro di Universitas, jadi, jika mungkin, saya akan menghargai respons matematis yang valid dan menyeluruh jika tidak terlalu banyak masalah, dengan referensi bahan studi (sumber daya web dan kertas) yang ideal.

Terima kasih sebelumnya.

impedance

— JonaGik
sumber

7

Apakah Anda tidak mempelajari hal ini dalam kursus Anda? Tentunya Anda sudah memiliki satu atau dua buku teks yang membahas hal ini dengan sangat rinci. Ini adalah topik yang sangat luas yang sulit dijawab tanpa pertanyaan yang lebih spesifik.

— Olin Lathrop

Sumber daya tambahan

— clabacchio

Buku-buku teks yang saya anggap berasumsi ini sudah diketahui dari kursus sebelumnya (dan kami tidak diajarkan ini). Di atas semua ini, dosen saya mengocok pesanan mereka sehingga kami mungkin akan diajarkan nanti, tetapi tidak sebelum kami membutuhkannya.

— JonaGik

Tampaknya pasangan Anda meninggalkan banyak topik yang tidak tersentuh, dan sangat tidak nyaman untuk kursus teknik ...

— clabacchio

10

TL; DR Bagian imajiner dari impedansi memberi tahu Anda komponen reaktif impedansi; ini bertanggung jawab (antara lain) untuk perbedaan fase antara arus dan tegangan dan daya reaktif yang digunakan oleh rangkaian.

Prinsip yang mendasarinya adalah bahwa setiap sinyal periodik dapat diperlakukan sebagai jumlah dari (kadang-kadang) gelombang tak terbatas yang disebut harmonik, dengan frekuensi spasi yang sama. Masing-masing dapat diperlakukan secara terpisah, sebagai sinyal tersendiri.

Untuk sinyal-sinyal ini Anda menggunakan representasi yang seperti:

v (t) = V_{0} \cos (2 π f t + ϕ) = ℜ {V_{0} e^{j 2 π f t + ϕ}}

$v(t) = V_{0} \cos (2 \pi f t + \phi) = \Re \{ V_{0}e^{j 2 \pi f t + \phi} \}$

Dan Anda dapat melihat bahwa kami telah melompat dalam domain bilangan kompleks, karena Anda dapat menggunakan eksponensial kompleks untuk mewakili rotasi.

Jadi impedansi dapat aktif (resistansi) atau reaktif (reaktansi); sementara yang pertama menurut definisi tidak mempengaruhi fase sinyal ( ) reaktansi tidak, jadi menggunakan bilangan kompleks adalah mungkin untuk mengevaluasi variasi dalam fase yang diperkenalkan oleh reaktansi. $\phi$

Jadi, Anda memperoleh:

V = saya \cdot Z = saya \cdot | Z | \cdot e^{j θ}

$V = I \cdot Z = I \cdot |Z| \cdot e^{j \theta}$

dimana | Z | adalah besarnya impedansi, yang diberikan oleh:

| Z | = \sqrt{R^{2} + X^{2}}

$|Z|=\sqrt{R^2+X^2}$

dan theta adalah fase yang diperkenalkan oleh impedansi, dan diberikan oleh:

θ = Arktan (\frac{X}{R})

$\theta = \arctan \left( \frac{X}{R} \right)$

Ketika diterapkan pada fungsi sebelumnya, itu menjadi:

v (t) = ℜ {I_{0} | Z | e^{j 2 π f t + ϕ + θ}} = I_{0} | Z | \cos (2 π f t + ϕ + θ)

$v(t) = \Re \{ I_{0}|Z|e^{j 2 \pi f t + \phi + \theta } \} = I_{0} |Z| \cos (2 \pi f t + \phi + \theta )$

Mari kita pertimbangkan kapasitor ideal: impedansinya adalah yang imajiner dan negatif; jika Anda memasukkannya ke dalam lingkar trigonometri, Anda memperoleh fase -90 °, yang berarti bahwa dengan beban kapasitif murni, tegangan akan berada 90 ° di belakang arus. $\frac{1}{j \omega C} = -\frac{j}{\omega C}$

Jadi kenapa?

Katakanlah Anda ingin menjumlahkan dua impedansi, 100 Ohm dan 50 + i50 Ohm (atau, tanpa bilangan kompleks, ). Kemudian dengan bilangan kompleks Anda menjumlahkan bagian nyata dan imajiner dan mendapatkan 150 + i50 Ohm. $70.7 \angle 45 ^\circ$

Tanpa menggunakan bilangan kompleks, masalahnya jauh lebih rumit, karena Anda dapat menggunakan cosinus dan sinus (tapi sama dengan menggunakan bilangan kompleks) atau masuk ke dalam kekacauan besaran dan fase. Terserah kamu :).

Teori

Beberapa gagasan tambahan, mencoba menjawab pertanyaan Anda:

Representasi harmonik sinyal biasanya ditangani oleh dekomposisi deret Fourier :

v (t) = \sum_{- \infty}^{+ \infty} c_{n} e^{j n t}, dimana c_{n} = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} v (t) e^{- j n t} d t

$v(t) = \sum_{- \infty}^{+ \infty} c_{n}e^{jnt} , \text{ where } c_{n} = \frac{1}{2 \pi } \int_{-\pi}^{\pi} v(t)e^{-jnt} \, dt$

Eksponensial kompleks terkait dengan kosinus juga oleh rumus Euler :

c Hai s (x) = \frac{e^{saya x} + e^{- saya x}}{2}

$cos(x) = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$

— clabacchio
sumber

Terima kasih banyak atas tanggapan Anda. Mengenai persamaan v (t) Anda, hanya untuk memperjelas, maksud Anda v (t) = v0 cos (2pi f0 t + phi) + v1 cos (2pi f1 t + phi) + ... + vn cos (2pi fn t + phi) (karena sinyal dapat direpresentasikan sebagai jumlah sinusoid yang mungkin tak terbatas dari frekuensi yang berbeda)? Lalu, apakah Anda mendapatkan istilah R (V0 exp (j2pift + phi)) dari cos (x) = 0,5 exp (ix) + 0,5 exp (-ix)? Jika ini masalahnya, kemana perginya istilah 0,5 exp (-2pift ...)? Juga, dalam persamaan hukum Ohm Anda, mungkin V (t) mengevaluasi ekspresi nyata tetapi exp (j omega) tidak, jadi bagaimana cara kerjanya? Terima kasih lagi.

— JonaGik

MMH banyak pertanyaan :). Tentang yang pertama, tidak persis: periksa representasi deret Fourier, tetapi dalam teori juga dekomposisi lain dimungkinkan; tentang eksponensial, ya, itu adalah kesetaraan Eulero. Hal yang sama berlaku untuk pertanyaan terakhir: eksponensial kompleks memberikan rotasi, tetapi kemudian diambil hanya bagian yang sebenarnya.

— clabacchio

Wow itu respons cepat! Mengapa hanya bagian yang sebenarnya diambil? Itu tampaknya tidak valid secara matematis. Terima kasih lagi.

— JonaGik

Apakah ini yang saya lewatkan? "Aexp (i omega) ... dipahami sebagai notasi singkat, mengkodekan amplitudo dan fase dari sinusoid yang mendasarinya." dari en.wikipedia.org/wiki/Phasor#Definition . Apakah gagasan bahwa representasi bilangan kompleks adalah singkatan untuk representasi sudut (fase) dan besarnya?

— JonaGik

@JonaGik ya, ini adalah representasi sinyal sinusoidal yang nyaman, seperti juga halaman wiki katakan. Saya akan mengatakan bahwa setiap objek matematika adalah singkatan untuk mewakili atau memecahkan beberapa masalah nyata ...

— clabacchio

4

Saya yakin ini tidak akan menjawab sepenuhnya pertanyaan Anda, pada kenyataannya saya berharap ini akan melengkapi jawaban yang sudah diberikan yang tampaknya diabaikan: konsep di balik penggunaan bilangan kompleks (yang, seperti telah dikatakan, hanyalah nama mewah untuk suatu jenis dari "kuantitas" matematika, jika Anda mau).

Pertanyaan utama pertama di sini yang harus kita jawab adalah mengapa bilangan kompleks. Dan untuk menjawab pertanyaan ini kita perlu memahami kebutuhan set angka yang berbeda, dari bilangan alami hingga bilangan real.

Sejak awal, angka alami memungkinkan orang untuk menghitung, misalnya apel dan jeruk di pasar. Kemudian bilangan bulat diperkenalkan untuk mengatasi konsep "dalam utang" dengan menggunakan angka negatif (ini adalah konsep yang sulit dipahami pada waktu itu). Sekarang, hal-hal menjadi lebih menarik dengan bilangan rasional dan kebutuhan untuk mewakili "kuantitas" dengan pecahan. Yang menarik tentang angka-angka ini adalah kita membutuhkan dua bilangan bulat, dan bukan hanya satu (seperti halnya bilangan asli dan bilangan bulat), misalnya 3/8. Cara mewakili "jumlah" ini sangat berguna, misalnya untuk menggambarkan jumlah irisan (3) yang tersisa dalam pai 8 iris, ketika 5 sudah dimakan :) (Anda tidak dapat melakukan ini dengan bilangan bulat!).

Sekarang, mari kita lompati angka irasional dan bilangan real dan pergi ke bilangan kompleks. Insinyur elektronik menghadapi tantangan untuk menggambarkan dan mengoperasikan berbagai jenis "kuantitas", tegangan sinusoidal (dan arus) dalam rangkaian linier (yaitu, terbuat dari resistor, kapasitor, dan induktor). Coba tebak, mereka menemukan bahwa bilangan kompleks adalah solusinya.

$\omega$ $\phi$

y (t) = SEBUAH \cdot s saya n (ω t + ϕ)

$y(t) = A \cdot sin(\omega t + \phi)$

$\omega$

$\frac{1}{j \omega C}$

MEMPERBARUI

Ada juga beberapa catatan yang sangat saya rekomendasikan untuk dibaca, "Pengantar Analisis Kompleks untuk Insinyur" oleh Michael D. Alder. Ini adalah pendekatan yang sangat ramah pada subjek. Secara khusus, saya merekomendasikan bab pertama.

— gmagno
sumber

2

Menggunakan bilangan kompleks adalah cara matematis untuk merepresentasikan komponen fasa dan komponen fasa - arus sehubungan dengan tegangan. Impedansi imajiner tidak berarti bahwa impedansi tidak ada, itu berarti bahwa arus dan tegangan berada di luar fase satu sama lain. Demikian pula impedansi nyata tidak berarti nyata dalam arti sehari-hari, hanya saja arus dalam fase dengan tegangan.

— Martin
sumber

Saya memahami ide-ide ini secara konseptual, saya hanya bertanya-tanya bagaimana sebenarnya impedansi kompleks bekerja - apa alasan matematika untuk itu menjadi kompleks dan bagaimana itu diturunkan?

— JonaGik

@JonaGik di mana jawaban saya kurang? Saya pikir itu menjawab alasan matematika ini ...

— clabacchio

Apakah ini benar? Apakah gagasan bahwa representasi bilangan kompleks adalah singkatan untuk representasi sudut (fase) dan besarnya? Jadi ketika kita menginterpretasikan impedansi kompleks, kita menganggapnya hanya mewakili fase penundaan dan besarnya?

— JonaGik

2

Deskripsi di bawah ini BERCARI untuk demitologisasi apa yang dimaksud dengan kuantitas "kompleks" dalam konteks RCL. Konsep komponen "imajiner" adalah metafora yang berguna yang cenderung membutakan orang terhadap realitas sederhana yang mendasar. Teks di bawah ini berbicara dalam istilah RC dan tidak menyentuh misteri LC yang sebenarnya tidak lebih misterius dalam kenyataan.
Akan lebih bermanfaat bagi Anda untuk melakukan yang terbaik untuk mengatasi sebagian besar poin yang Anda ajukan menggunakan buku teks atau mesin pencari internet sebelum mencari penjelasan dari orang lain KARENA pertanyaan ini sangat mendasar bagi dasar-dasar sirkuit AC dengan reaktif. komponen. Berurusan dengan pertanyaan-pertanyaan sulit menetapkan prioritas dengan bagaimana Anda akan menangani hal-hal serupa sepanjang pendidikan Anda dan internet mungkin memiliki jutaan halaman yang berurusan dengan subjek ini (kata Gargoyle ~ = 11 juta tetapi siapa yang tahu?). Tingkat detail dan ketelitian yang Anda minta tidak realistis dari situs seperti ini mengingat jumlah detail yang sangat besar "di luar sana". (Kecuali jika pemilik situs mencoba mereplikasi sebagian dari Wikipedia).

JADI - Saya tahu bahwa membantu Anda memahami dasar-dasar adalah ide yang baik sehingga Anda dapat mengambil dan menjalankannya dari sana. Jadi ...

Jika Anda menghubungkan terminal input ke resistor seri ke kapasitor dan kapasitor lainnya "di-ground", Anda akan mendapatkan rangkaian RC seri:
Vin - resistor - kapasitor - ground.

Jika Anda sekarang menerapkan tegangan langkah ke input, arus kapasitor akan cocok, tetapi kapasitor akan mulai mengisi daya menggunakan tegangan ini untuk menghasilkan arus dalam resistor. Peningkatan tegangan akan eksponensial karena arus yang mengalir ke kapasitor akan dilanda oleh Icharge = V / R = (Vin-Vcap) / Rseries. yaitu sebagai Vcap naik potensi di resistor jatuh dan arus berkurang. Secara teori akan membutuhkan waktu tak terbatas untuk Vcap untuk mencapai Vin tetapi dalam praktiknya lebih atau kurang "ada di sekitar 3 konstanta waktu di mana
t = RC = waktu yang diperlukan untuk jatuh ke 1 / e dari nilai awal. Apa dan mengapa istilah 1 / e sudah Anda ketahui atau akan lakukan setelah membaca referensi.

SEKARANG, jika kita menerapkan sinyal gelombang persegi, kapasitor akan mengisi seperti di atas ketika input positif dan akan dilepaskan dengan cara yang sama ketika input dibumikan atau negatif. Sementara arus kapasitor akan mengikuti Vin dan akan maksimum ketika transisi Vin tinggi / rendah atau rendah tinggi, tegangan kapasitor, karena alasan yang dijelaskan di atas akan tertinggal di belakang tegangan input. Setelah kondisi mantap tercapai, jika Anda memplot Vcap dan saya tutup, Anda akan menemukan dua bentuk gelombang diimbangi hingga hampir 90 derajat atau sesedikit hampir derajat di mana satu siklus input keseluruhan = 360 derajat. Seberapa jauh tegangan kapasitor tertinggal dari arusnya tergantung pada frekuensi input dan konstanta waktu RC.

Bagi yang belum tahu ini mungkin terlihat seperti sulap (atau penggunaan tiotimolin *), dengan bentuk gelombang saat ini terjadi hingga 1/4 siklus sebelum tegangannya TETAPI ini hanya karena alasan logis untuk ini, seperti dijelaskan di atas, bukan tentu secara intuitif jelas pada inspeksi.

Jika Anda mulai menyisir kapasitor dan resistor dan induktor dengan berbagai cara, Anda harus dapat menangani secara matematis dengan fase relatif dari berbagai bentuk gelombang. [Pada pengantar pertama mungkin tampak bahwa fasor diatur ke setrum].

Beberapa perhitungan yang kompeten, atau melihat sekilas 10 juta halaman web tentang subjek tersebut, akan menunjukkan bahwa di mana Anda memiliki dua bentuk gelombang yang bervariasi dalam hubungan fase satu sama lain dan yang didasarkan pada hubungan eksponensial bersama, maka setiap gelombang dapat diwakili oleh representasi kutub dari bentuk [R, Theta] yang dalam istilah dapat direpresentasikan sebagai bilangan kompleks yang memiliki komponen X dan Y yang mencerminkan bentuk kutub.

"Vektor" Polar yang merepresentasikan hubungan tegangan dan arus dalam situasi tertentu menggunakan "metafor" lengan vektor berputar yang memberikan panjang lengan dan sudut fase relatif terhadap referensi. "Metafora" ini dapat digantikan oleh komponen X dan Y di mana besarnya bentuk kutub diberikan oleh R = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) dan yang sudut tetanya diberikan oleh tan ^ -1 (X / Y ). Ini bisa dilihat dalam bentuk diagram di bawah ini.

masukkan deskripsi gambar di sini

Dari sini

PERINGATAN - jangan tertipu oleh terminologi.

Perhatikan bahwa istilah "bilangan kompleks" hanyalah Jargon. Penggunaan sqrt (-1) adalah bagian yang berguna dari metafora yang memungkinkan aritmatika bekerja TETAPI jumlah aktual yang terlibat sepenuhnya nyata dan "biasa". Ketika elemen reaktif seperti induktor dan kapasitor digunakan daya tidak akan lagi hanya produk dari besaran besarnya dalam vektor tegangan dan arus. yaitu Kekuatan dari V.sin (fred) x I.sin (Josepine) tidak (biasanya) = VI. Ini tidak menyiratkan sesuatu yang istimewa atau magis atau kompleks atau imajiner tentang variabel yang terlibat - hanya saja mereka varian waktu dan besaran puncaknya biasanya tidak akan bersamaan.

Bacaan ekstra - sangat dianjurkan:

Impedansi listrik

Sirkuit RC

Sirkuit LC

Kalkulator impedansi kompleks

Saya Asimov.

— Russell McMahon
sumber

@ Kruk - Sebagian besar di atas telah ditulis sebelum jawaban tertulis awal saya, tetapi saya tidak pada tahap itu mempostingnya, tetapi mungkin telah ditambahkan pada waktunya ketika diperiksa lebih baik. Seperti yang Anda ketahui, saya cukup sering menambahkan tahapan materi yang besar ke posting awal. Dalam kasusnya pendekatan wortel dan tongkat Anda (tanpa wortel) agak bersifat demotivasi, tetapi tampaknya memalukan untuk membiarkan gaya motivasi yang salah arah mencapai efek paling normal. Beberapa memang merespons dengan cukup baik terhadap borgol lembut di sekitar telinga, tetapi tidak sebagian besar, saya temukan. Beberapa di sini tidak setuju :-).

— Russell McMahon

1

Mengekspresikan kapasitansi dan induktansi sebagai resistensi imajiner memiliki keuntungan bahwa Anda dapat menggunakan metode penyelesaian masalah linear dengan resistor untuk memecahkan masalah linier dengan resistor, kapasitor, dan induktor.

Masalah linear semacam itu dan metode mereka yang terkenal misalnya

Masalah: menghitung resistansi dua resistor secara seri
Metode: R = R1 + R2
juga dapat digunakan untuk menghitung impedansi resistor / kapasitor / induktor secara seri dengan resistor / kapasitor / induktor lain
Masalah: menghitung resistansi dua resistor secara paralel
Metode: R = R1 * R1 / (R1 + R2)
juga dapat digunakan untuk menghitung impedansi resistor / kapasitor / induktor secara paralel dengan resistor / kapasitor / induktor lain
Masalah: menyelesaikan jaringan yang mengandung resistor, tegangan DC dan sumber arus DC
Metode: menyelesaikan sistem persamaan linear secara simultan
juga dapat digunakan untuk menyelesaikan jaringan yang mengandung resistor, kapasitor, induktor, tegangan AC atau DC dan sumber arus AC atau DC
dll.

Semua formula / metode yang bekerja dengan nilai resistansi nyata (hanya resitor) dan sumber DC bekerja sama baiknya dengan nilai kompleks (resistor, induktor, kapasitor) dan sumber AC.

— Dadih
sumber

0

Meskipun tidak selalu ada alasan intuitif mengapa menggunakan bilangan kompleks untuk mewakili kombinasi sinyal in-phase dan out-of-phase harus berguna, ternyata aturan aritmetika untuk bilangan kompleks sangat cocok dengan perilaku aktual dan interaksi resistor, kapasitor, dan induktor.

Bilangan kompleks adalah jumlah dari dua bagian: bagian nyata dan bagian "imajiner", yang dapat diwakili oleh bilangan real dikalikan dengan i , yang didefinisikan sebagai akar kuadrat dari -1. Bilangan kompleks dapat ditulis dalam bentuk A + Bi , dengan A dan B adalah bilangan real. Seseorang kemudian dapat menggunakan aturan aritmatika polinomial untuk bertindak pada bilangan kompleks dengan memperlakukan i sebagai variabel, tetapi kita juga dapat mengganti i² dengan -1 (jadi misalnya produk Pi × Qi adalah -P × Q).

Pada frekuensi tertentu, seseorang dapat menentukan bagaimana jaringan resistor, induktor, dan kapasitor akan berperilaku dengan menghitung impedansi efektif setiap item dan kemudian menggunakan hukum Ohm untuk menghitung resistensi efektif kombinasi seri dan paralel, dan tegangan dan arus melalui mereka. Lebih lanjut, karena resistor, kapasitor, dan induktor semuanya adalah perangkat linier, orang dapat menghitung bagaimana jaringan akan berperilaku ketika kombinasi frekuensi disuntikkan dengan menghitung apa yang akan mereka lakukan dengan setiap frekuensi tertentu dan kemudian menambahkan bersama hasilnya. Aritmatika kompleks dapat sangat berguna ketika mencoba menganalisis perilaku hal-hal seperti filter, karena memungkinkan seseorang untuk menghitung output filter sebagai fungsi dari input. Memberi sinyal input sejumlah bilangan real vvolt pada beberapa frekuensi f , seseorang dapat menghitung tegangan atau arus pada simpul tertentu; bagian nyata akan berada dalam fase dengan bentuk gelombang yang disuntikkan, dan bagian imajiner akan 90 derajat keluar dari fase. Alih-alih harus menggunakan persamaan diferensial mewah untuk menyelesaikan perilaku rangkaian, kita dapat menghitung aritmatika dasar dengan bilangan kompleks.

— supercat
sumber

-2

Bilangan kompleks digunakan dalam teknik listrik untuk jumlah yang memiliki magnitudo dan fase. Impedansi listrik adalah rasio dari arus ke tegangan. Untuk arus dan tegangan AC, bentuk gelombang arus dan tegangan mungkin tidak dalam fasa; fase impedansi memberi tahu Anda perbedaan fase ini.

— nibot
sumber

Mengapa memilih?

— nibot