S = VI * / 2 derivasi

Saya bertanya-tanya Di mana saya dapat menemukan derivasi untuk rumus kekuatan kompleks, S = VI * / 2, di mana S, V dan saya adalah fasor kompleks.

Saya telah melihat sejumlah verifikasi di mana orang memasukkan ke dalam persamaan untuk menunjukkan bahwa itu berhasil.

Inilah yang saya ketahui sejauh ini, Jika $V=V_{M} ∠ \phi _{V}$ dan $I=I_{M} ∠ \phi _{I}$ dan $S = V_{RMS} \cdot I_{RMS}$ ,
maka $V_{RMS}= \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V}}{\sqrt{2}}$ dan $I_{RMS}= \dfrac{I_{M} ∠ \phi _{I}}{\sqrt{2}}$ dan S = Vm∠ø_v * Im∠ø_i / 2 $S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ \phi _{I}}{2}$

power

— pengguna968243
sumber

Anda harus mendefinisikan S, V, I, dan apa pun arti "* /" yang dimaksudkan.

— Olin Lathrop

@ OlinLathrop, itu adalah I * untuk konjugat kompleks I (saat ini) dan dibagi dua, karena keduanya adalah gelombang dosa (V dan I *) sehingga keduanya memiliki konversi RMS.

— Kortuk

Biarkan V dan saya menjadi tegangan dan arus sesaat pada beban. Dari definisi daya, tegangan, dan arus, kami memiliki hubungan untuk daya sesaat:

$p(t) = v(t) \cdot i(t)$

Yang berarti bahwa daya pada diberikan instan sama dengan produk dari tegangan dan arus tepat pada instan itu. $t$

Saya akan menganggap Anda sudah familiar dengan apa arti sebenarnya representasi phasor. Singkatnya: fasor adalah singkatan matematika untuk merepresentasikan sinusoid pada frekuensi yang tidak diketahui.

Jadi, adalah singkatan untuk . Demikian pula: berarti . $V=V_{M} ∠ \phi _{V}$ $v(t) = V_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{V})$ $I=I_{M} ∠ \phi _{I}$ $i(t) = I_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{I})$

Mengalikan untuk semua , memberi kita bentuk gelombang dari daya sesaat untuk setiap . Bekerja pada perkalian itu: $v(t) \cdot i(t)$ $t$ $t$

$s(t) = v(t) \cdot i(t) = V_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{V}) \cdot I_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{I})$

Sebagai , dengandan, kita dapat menyederhanakan persamaan di atas ke: $cos(u) \cdot cos(v) = \cfrac{1}{2} \cdot [cos(u-v)+cos(u+v) ]$ $u = \omega t+ \phi _{V}$ $v = \omega t+ \phi _{I}$

$s(t) = v(t) \cdot i(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\phi _{V} - \phi _{I}) + cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

Bentuk gelombang ini cukup menarik untuk dirinya sendiri: ini adalah nilai yang konstan dijumlahkan dengan sinusoid $\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot cos(\phi _{V} - \phi _{I})$ . $\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

Ini jelas menunjukkan bahwa kekuatan sesaat tidak konstan dengan waktu.

Berdasarkan hasil itu, kita dapat melihat bahwa kekuatan rata - rata sama dengan komponen non-bervariasi (itu cukup mudah untuk membuktikan bahwa secara matematis, kita hanya perlu menyelesaikan integral $s(t)$ ) $\cfrac{1}{T}\int_{t}^{t+T}{s(t)dt}$

Termotivasi oleh hasil ini, dan oleh interpretasi geometris yang cukup manis dari , nilai tersebut telah didefinisikan sebagai kekuatan nyata , yaitu, kekuatan yang sebenarnya dikirim ke beban. Sekarang Anda tahu bahwa kekuatan nyata ini tidak lebih dari kekuatan rata-rata pada beban. $VIcos(\phi _{V} - \phi _{I})$

Menyelam ke dalam konsep ini sedikit (itu adalah kucing saya tidak bisa menggambar di sini, tapi saya akan mencoba):

Biarkan v menjadi vektor dengan magnitudo || v || dan fase , dan saya menjadi vektor dengan magnitudo || i || dan fase Jika Anda mengalikan || i || oleh Anda memiliki proyeksi i over v . Di sisi lain, dikatakan komponen i dalam quadrature dengan v $\phi_v$ $\phi_i$ $cos(\phi_v-\phi_i)$ $||i||sin(\phi_v-\phi_i)$ .

Sekarang Anda dapat memahami mengapa daya rata-rata memiliki interpretasi geometris yang keren: daya rata-rata adalah tegangan yang dikalikan dengan proyeksi arus di atas tegangan, pada ruang fasor.

Ini memotivasi penciptaan kekuatan kompleks S sebagai:

S = P + jQ

Dengan definisi ini, bagian sebenarnya dari vektor adalah persis daya rata-rata yang dikirim ke beban, dan bagian kompleksnya adalah daya yang dikatakan berada dalam kuadratur , disebut daya reaktif (google for Power Triangle untuk melihat interpretasi geometris dari hasil ini) .

Ok, sekarang kembali ke definisi , kita melihat bahwa $s(t)$ dan, menurut definisi, dan untuk memenuhi definisi S, sama dengan $P = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot cos(\phi_v - \phi_i)$ $Q$ $\cfrac{V_M I_M}{2} \cdot sin(\phi_v - \phi_i)$

Jadi, seperti yang ingin kami buktikan di awal:

$S = P + jQ = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot cos(\phi_v - \phi_i) + j\cfrac{V_M I_M}{2} \cdot sin(\phi_v - \phi_i)$

$S = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot [cos(\phi_v - \phi_i) + jsin(\phi_v - \phi_i) ]$

$S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ -\phi _{I}}{2}$

$S = \cfrac{V \cdot I*}{2}$

Jadi, begitulah, apa yang ingin Anda lihat;)

sunting : Apa interpretasi fisik dari Q?

Saya telah menunjukkan di atas apa interpretasi fisik dari bagian nyata dari kekuatan kompleks, P, yaitu, kekuatan rata-rata yang dikirim ke beban. Tapi apa sebenarnya T, bagaimana cara memvisualisasikannya? Ini didasarkan pada kenyataan bahwa cos dan dosa adalah ortogonal , dan prinsip superposisi dapat diterapkan pada kekuasaan jika dua bentuk gelombang yang terlibat dalam perhitungan adalah ortogonal. Mari kita masuk ke matematika, karena itulah yang paling penting.

Menggunakan hasil yang diperoleh di atas: $s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\phi _{V} - \phi _{I}) + cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

Kasus pertama: murni beban resistif, sehingga

ϕ_{V} - ϕ_{I} = 0

$\phi _{V} - \phi _{I} = 0$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [1 + cos(2(\omega t+ \phi _{V}))]$

Itu adalah sinusoid yang berpusat $\cfrac{V_{M}I_{M}}{2}$ $V_{M}I_{M}$ ). Sebut saja P

Kasus kedua: beban induktif murni, sehingga

ϕ_{V} - ϕ_{I} = \frac{π}{2}

$\phi _{V} - \phi _{I} = \cfrac{\pi}{2}$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [0 - cos(2(\omega t+ \phi _{V}) - \cfrac{\pi}{2} )]$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [sin(2(\omega t+ \phi _{V}))]$

Itu adalah gelombang murni berosilasi dengan nilai rata-rata sama dengan 0. Mari panggilan hasil ini Q .

Kasus ketiga: kasus generik

ϕ_{V} - ϕ_{I} = θ

$\phi _{V} - \phi _{I} = \theta$

Dalam hal ini, s (t) adalah persamaan umum yang kami temukan pada diskusi di atas. Tetapi kita dapat menulis ulang untuk memanfaatkan hasil dari dua kasus sebelumnya, seperti ini:

Pertama, kami menulis ulang persamaan dalam hal $\theta$ (perhatikan itu $\phi_V + \phi_I = \phi_V -\phi_V + \phi_V + \phi_I = 2\phi_V - \theta$ ): $s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\theta) + cos(2(\omega t+ \phi _{V}) - \theta)]$ Knowing that: $cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)$ , letting $x = 2(\omega t+ \phi _{V})$ and $y = \theta$

$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\theta) + cos(\theta)cos(2(\omega t + \phi_V)) + sin(\theta)sin(2(\omega t + \phi_V))]$

Rearranging the terms:

$s(t) = cos(\theta) \cdot \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [1 + cos(2(\omega t + \phi_V))] + sin(\theta) \cdot \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} sin(2(\omega t + \phi_V))$

Using the result of the two first cases above:

$s(t) = cos(\theta)P + sin(\theta)Q$

An amazing result, right? What does that mean?

Let's go back to what we are doing: calculating the power for the generic case where $\phi _{V} - \phi _{I} = \theta$ , that is, solvig the equation:

$s(t) = V_{M}cos(\omega t + \phi_V) \cdot I_{M}cos(\omega t + \phi_I)$

Can we rewrite $i(t) = I_{M}cos(\omega t + \phi_I)$ in the form of $i(t) = K_1 cos(\omega t + \phi_V) + K_2 sin(\omega t + \phi_V)$ ?

Let's try:

$\phi_I = \phi_V - \theta$ $i(t) = I_{M}cos(\omega t + \phi_V - \theta$ ) \$

Letting $\omega t + \phi_V = u$ and $\theta = v$

With the relation:

$cos(u-v) = cos(u)cos(v) + sin(u)sin(v)$

We have:

$i(t) = I_{M}cos(\theta)cos(\omega t + \phi_V) + I_{M}sin(\theta)sin(\omega t + \phi_V)$

Just what we wanted, to rewrite i(t) as a sum of two components: one in phase with v(t), and one in quadrature with v(t)!

Now the result of the case 3 can be explained: i(t) can be decomposed in two components, as shown above, and the power generated by i(t) is equal to the power generated by each one of these components individually. Whoa, just like superposition but for power! (Remember that this is only true, and it was proven above, because cos and sin are orthogonal)

So Q is the amount of power generated by the component of i(t) that's in quadrature with v(t). It is purely oscillatory and has no mean value.

P is the amount of power generated by the component of i(t) that's in phase with v(t). It is oscillatory but has a mean value that's equal the mean power delivered to the load.

Dan kekuatan kompleks S , daya total, adalah jumlah kedua komponen ini

— Castilho
sumber

Terima kasih atas penjelasannya! Saya punya beberapa pertanyaan: 1. Saya tidak mengikuti apa yang terjadi

- \frac{V_{M} I_{M}}{2} c o s (2 ω t + ϕ_{V} + ϕ_{I})

$-\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})$ . Saya pikir istilah ini akan menjadi kekuatan reaktif, Q; namun,

Q = | | i | | s i n (ϕ_{v} - ϕ_{i})

$Q = ||i||sin(\phi_v-\phi_i)$ . 2. I don't understand how you went from

S = \frac{V_{M} I_{M}}{2} \cdot [c o s (ϕ_{v} - ϕ_{i}) + j s i n (ϕ_{v} - ϕ_{i})]

$S = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot [cos(\phi_v - \phi_i) + jsin(\phi_v - \phi_i) ]$ tp

S = \frac{V_{M} ∠ ϕ_{V} \cdot I_{M} ∠ - ϕ_{I}}{2}

$S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ -\phi _{I}}{2}$ . It's as though

\cos (ϕ_{v} - ϕ_{i})

$\cos(\phi_v - \phi_i)$ is a phasor, but it's just a constant. Thanks again for your answer!

— user968243

Ya. Anda benar, itu BUKAN. Daya reaktif ditentukan hanya dalam hal perbedaan fase antara tegangan dan tegangan, dan itu adalah nilai yang secara langsung terkait dengan definisi S sebagai fasor. Itu adalah kekuatan yang akan diberikan oleh arus di quadrature dengan tegangan. Komponen yang bervariasi waktu tidak diperhitungkan, karena dalam hal ini yang benar-benar penting adalah daya rata-rata pada beban. Bagian yang bervariasi ADA, benar-benar ada (perhatikan bohlam lampu pijar, misalnya), tetapi, seiring berjalannya waktu, daya hanya terkait dengan bagian statis s (t). ;)

— Castilho

Oke, jadi apakah bagian yang berbeda ini memiliki nama khusus? Pokoknya, jadi jika saya memahaminya dengan benar, jumlah I dalam arah V adalah kekuatan nyata, dan jumlah I, tegak lurus dengan V adalah kekuatan kompleks.

— user968243

hampir itu, jumlah I dalam arah V dikalikan dengan V adalah kekuatan nyata P, jumlah I tegak lurus ke V dikalikan dengan V adalah daya REAKTIF Q, P + jQ adalah kekuatan kompleks, atau daya nyata;)

— Castilho

Oke, itu masuk akal! Sebenarnya dalam komentar saya sebelumnya, saya bertanya apa namanya untuk ini: −VMIM2cos (2ωt + ϕV + ϕI) Saya benar-benar berpikir bahwa itu adalah kekuatan reaktif ... Omong-omong, terima kasih atas reples Anda, saya berterima kasih!

— user968243