Pelepasan daya konstan dari kapasitor yang tidak ideal

Majikan saya menjual konverter boost untuk menahan drive motor saat listrik padam. Konverter boost ini berasal dari bank kapasitor. Untuk mengukur ukuran bank-bank ini dengan benar, kita perlu memperhitungkan voltase, kapasitansi, dan ESR, untuk memastikan bahwa ada cukup energi yang tersedia dari kapasitor untuk menahan drive selama waktu tertentu dengan daya spesifik. . Saat ini kami melakukan ini dengan metode perkiraan, tetapi alangkah baiknya memiliki persamaan yang lebih tepat.

Kami mengasumsikan ESR, kapasitansi, dan daya beban konstan.

I : current P : power R_{C} : ESR C : capacitance t : time V : capacitor voltage Standard capacitor equation: I (t) = C V^{'} (t) Power out of the cap equals power into the ESR plus power into the load: V (t) I (t) = P + R_{C} I^{2} (t) Substitute: C V (t) V^{'} (t) = P + R_{C} C^{2} (V^{'} (t))^{2}

$I \text{: current}\\ P \text{: power}\\ R_{C} \text{: ESR}\\ C \text{: capacitance}\\ t \text{: time}\\ V \text{: capacitor voltage}\\ \text{Standard capacitor equation:}\\I(t)=CV'(t)\\ \text{Power out of the cap equals power into the ESR plus power into the load:}\\ V(t)I(t) = P + R_{C}I^{2}(t)\\ \text{Substitute:}\\ CV(t)V'(t) = P + R_{C}C^{2}(V'(t))^{2}\\$

Jika saya benar, ini memberi saya persamaan diferensial non-linear, yang membuat saya melewati zona nyaman matematis saya. Jika saya mengerti dengan benar, menyelesaikan persamaan diferensial non-linear baru akan memenuhi syarat sebagai kontribusi yang signifikan untuk bidang pengetahuan matematika. Mengingat itu, saya tidak mungkin menyelesaikan ini sendiri.

Apakah ada yang tahu pendekatan yang baik untuk memecahkan untuk V (t)? Adakah yang tahu kalau persamaan ini sudah diselesaikan? Apakah saya mungkin salah paham masalah? Atau haruskah saya memindahkan ini ke Stack Exchange matematika?

— Stephen Collings
sumber

Seberapa tepat Anda perlu? Jumlah daya yang hilang untuk ESR akan bervariasi secara non-linear dengan tegangan suplai, tetapi orang dapat dengan mudah menghitung batas atas dan bawah untuk jumlah energi yang dapat dipanen dari tutup karena jatuh dari satu tegangan ke tegangan yang lebih rendah; semakin kecil jatuhnya pertanyaan, semakin dekat batasnya. Jadi jika tutup dimulai pada 50 volt, seseorang dapat menghitung batas atas dan bawah untuk berapa banyak energi yang akan diperoleh karena turun dari 50 ke 40 volt. Jika perbedaan antara batas atas dan bawah terlalu besar, orang dapat menghitung energinya ...

— supercat

... karena turun dari 50 ke 45 dan kemudian dari 45 ke 40. Jika jaraknya masih terlalu jauh dengan ukuran langkah itu, bagi lagi. Jika semua parameter diketahui dengan tepat, orang mungkin tidak perlu membagi terlalu banyak untuk mendapatkan batas atas dan bawah dalam 20% atau lebih dari satu sama lain. Mengingat beberapa ketidaktepatan dalam parameter, mungkin tidak akan berguna untuk melampaui itu.

— supercat

Sungguh, saya kira kita memiliki tiga pertanyaan. Apakah ini bisa dipecahkan? Jika ya, bagaimana caranya? Jika tidak, apa pendekatan terbaik berikutnya? Kami sedang mencari solusi tepat untuk persamaan, tetapi jika tidak ada, apa yang Anda uraikan mungkin rencana cadangan yang baik.

— Stephen Collings

Anda dapat mencoba memodelkan sirkuit Anda sebagai kapasitor yang ideal, resistor ESR, dan impedansi beban semuanya secara seri. Dengan menyelesaikan untuk tegangan nodal & aliran arus (yang semuanya harus bebas linear), Anda dapat menemukan kerugian ESR vs. konsumsi daya beban. Satu-satunya stickler akan memperkirakan Z_L, meskipun saya pikir Anda harus bisa mengetahuinya dengan menghitung kembali dari apa peringkat daya dan penurunan tegangan yang dapat diterima yang Anda harapkan dari desain Anda.

— helloworld922

@Remiel: Adalah umum untuk memodelkan kapasitor dunia nyata sebagai kombinasi dari kapasitor, resistor, dan induktor yang ideal, dan model seperti itu akan lebih dekat dengan kenyataan daripada yang hanya mengharapkan topi nyata untuk berperilaku seperti yang ideal, tetapi " tutup tidak ideal ideal "masih hanya perkiraan. Dalam dunia nyata, ESR dan kapasitansi dapat bervariasi dengan voltase dengan cara non-linear yang aneh. Persamaan yang secara tepat menggambarkan perilaku model mungkin tidak lebih akurat daripada simulasi waktu diskrit dalam memprediksi perilaku aktual dari rangkaian nyata.

— supercat

Persamaan dipecahkan oleh orang lain di sini . Kecuali jika saya melewatkan tanda di suatu tempat, rumus ini memberikan waktu yang diperlukan untuk tutup untuk mencapai tegangan internal V, mulai dari tegangan $V_{0}$ , dengan ESR dan kapasitansi yang diberikan, dan pelepasan daya tetap.

t (V) = \frac{C}{4 P} (V_{0}^{2} - V^{2} + V_{0} \sqrt{V_{0}^{2} - 4 P R_{C}} - V \sqrt{V^{2} - 4 P R_{C}}) + C R_{C} (\ln (V + \sqrt{V^{2} - 4 P R_{C}}) - \ln (V_{0} + \sqrt{V_{0}^{2} - 4 P R_{C}}))

$t(V) = \frac{C}{4P} (V_{0}^2-V^2 + V_{0}\sqrt{V_{0}^2-4PR_C} - V\sqrt{V^2-4PR_C}) + CR_C(\ln\big(V+\sqrt{V^2-4PR_C}\big) - \ln\big(V_{0}+\sqrt{V_{0}^2-4PR_C}\big))$

Perhatikan bahwa karena V adalah tegangan internal, bongkar tutup, "di belakang" ESR, untuk menemukan waktu yang diperlukan tutup untuk mencapai tegangan terminal spesifik saat dimuat , kita harus menggunakan substitusi:

V = V_{m i n} + \frac{P R_{C}}{V_{m i n}}

$V=V_{min}+\frac{PR_{C}}{V_{min}}$ dimana

V_{m i n}

$V_{min}$ adalah tegangan terminal minimum yang diinginkan.

Perhitungan ini tampaknya cocok dengan metode estimasi numerik kami dengan baik.

— Stephen Collings
sumber