Berapa tingkat "Nyquist" untuk mengambil sampel turunan dari sinyal?

Latar Belakang: Saya mengambil sampel arus melalui kapasitor. Sinyal yang menarik adalah tegangan melintasi kapasitor. Saya akan mengintegrasikan pengukuran arus secara digital untuk mendapatkan tegangan.

Pertanyaan: Mengingat bahwa tegangan melintasi kapasitor adalah bandwidth terbatas, dan saya mengambil sampel turunan dari tegangan ini, berapakah laju sampel minimum yang diperlukan untuk merekonstruksi dengan sempurna sinyal tegangan dari sampel saat ini?

Jika tidak ada jawaban kalengan untuk pertanyaan ini, apa pun yang bisa mengarahkan saya ke arah yang benar akan sangat membantu. Terima kasih sebelumnya atas bantuannya !!

dsp sampling data-acquisition

— VIANDERN
sumber

Anda ingin "merekonstruksi dengan sempurna" sinyal asli dari sampel? Bagaimana apanya?

— Elliot Alderson

Tingkat Nyquist adalah dua kali frekuensi tertinggi dalam sinyal asli.

— Peter Karlsen

@Dweerberkitty seperti yang disebutkan Dave, sinyal hanyalah sinyal :). Pada catatan yang serius, jika Anda menggunakan sistem pengukuran nyata, maka mungkin ada penundaan yang akan berdampak pada operasi turunan Anda. Jadi, jika Anda memperhitungkannya (dengan sedikit keberuntungan, jika sistemnya sederhana), Anda dapat secara analitis mendapatkan periode pengambilan sampel yang diperlukan.

— Raaja

"Tegangan kapasitor terbatas pada bandwidth". Mengapa?

— Rodrigo de Azevedo

@RodrigodeAzevedo, ini hanya asumsi untuk menyederhanakan pernyataan masalah. Pada kenyataannya, ini bukan bandwidth terbatas, tetapi rentang frekuensi yang diinginkan didefinisikan dengan baik dalam masalah ini. Terima kasih!

— VIANDERN

Jawaban:

Mengambil turunan (atau integral) adalah operasi linier - ia tidak membuat frekuensi apa pun yang tidak ada dalam sinyal asli (atau menghapusnya), itu hanya mengubah level relatifnya.

Jadi laju Nyquist untuk turunannya sama dengan untuk sinyal asli.

— Dave Tweed
sumber

Benar di dunia ideal di mana terdapat sinyal dengan bandwidth sempurna, filter lowpass ideal, dan tidak ada noise termal sama sekali.

— Rodrigo de Azevedo

Seluruh saldo SNR berubah. Komponen frekuensi tinggi kecil, yang mungkin alias, tetapi tidak berbuat banyak karena ukurannya, dapat menjadi monster yang cukup besar, pasti-penyebab-besar-frekuensi-rendah-sampel-pada-sampling.

— Scott Seidman

-1

Mengambil turunan mengalikan transformasi dengan s, yang secara efektif memutar grafik magnitudo berlawanan arah jarum jam. Jadi, mungkin komponen frekuensi yang lebih tinggi dalam turunannya. Cara yang lebih ringkas untuk menempatkan ini adalah bahwa derivasi memperkuat konten frekuensi tinggi.

$\frac{1}{s+1}$

 bode(tf(1, [ 1 1 ]))

$\frac{s}{s+1}$

bode(tf([1 0], [ 1 1 ]))

Turunannya dalam hal ini jelas memiliki komponen frekuensi yang lebih tinggi. Mungkin lebih tepat, ia memiliki komponen frekuensi tinggi yang jauh lebih besar daripada non-derivatif. Seseorang mungkin memilih untuk mengambil sampel sinyal pertama pada 200 rad / detik dengan sedikit percaya diri, karena energinya sangat kecil pada laju nyquist, tetapi aliasing akan menjadi besar jika Anda mengambil sampel turunan pada laju yang sama.

Jadi, itu tergantung pada sifat sinyal. Turunan dari sinusoid akan menjadi sinusoid dengan frekuensi yang sama, tetapi turunan dari band noise terbatas akan memiliki komponen frekuensi yang lebih tinggi daripada noise.

EDIT: Menanggapi downvote, saya akan memalu rumah ini dengan contoh nyata. Biarkan saya mengambil gelombang sinus, dan menambahkan beberapa suara normal acak untuk itu (sepersepuluh besarnya gelombang sinus)

Fft dari sinyal ini adalah:

Sekarang, izinkan saya mengambil turunan dari sinyal:

dan fft dari derivatif

Undersampling akan, tentu saja, alias sinyal atau turunannya. Efek undersampling akan sederhana untuk sinyal, dan hasil undersampling turunannya akan sama sekali tidak berguna.

— Scott Seidman
sumber

Saya tidak yakin apa yang Anda rencanakan di sini, tetapi itu bukan sinyal terbatas-band.

— Dave Tweed

Transformasi Fourier dari sinyal, dan Transformasi Fourier dari turunannya.

— Scott Seidman

Bahasa apa itu?

— Dave Tweed

Ah. Dalam hal itu, tf()tidak mewakili sinyal, itu mewakili fungsi transfer. Jelas tidak terbatas band.

— Dave Tweed

Anda masih kehilangan titik bahwa sinyal tidak terbatas. Anda menambahkan noise yang tidak terbatas pada sinyal untuk menegaskan maksud Anda, yang berada di luar cakupan pertanyaan. Ya, itu pertimbangan praktis, tetapi pertanyaannya (seperti yang saya lihat) bersifat teoretis.

— Dave Tweed

-2

Kamu tidak bisa

Integrasi hanya akan memberi tahu Anda tentang bagaimana tegangan berubah selama waktu pengambilan sampel.

Kapasitor akan selalu mulai dengan beberapa muatan yang ada, jadi akan ada beberapa tegangan awal. Perhitungan Anda tidak dapat mengetahui tegangan itu, sehingga tidak dapat mengetahui tegangan aktual melintasi kapasitor selama waktu pengukuran Anda. Ini harus familier dari kelas matematika - Anda selalu mengintegrasikan antara dua poin.

Anda juga memiliki masalah bahwa meskipun sampel pengukuran Anda saat ini terbatas-Nyquist, arus aktual melalui kapasitor mungkin tidak. Kecuali Anda dapat menjamin bahwa arus yang melalui kapasitor memiliki filter low-pass yang keras di suatu tempat di bawah batas Nyquist, Anda tidak akan pernah dapat mengukur arus dengan cukup akurat untuk mereproduksi tegangan. Saya harus jelas bahwa ini sebenarnya secara matematis tidak mungkin, karena akan memerlukan tingkat sampel tak hingga.

Tetapi jika Anda mengetahui tegangan awal dan jika arus aktual melalui kapasitor adalah low-pass-filtered, maka DaveTweed benar bahwa batas Nyquist untuk integral adalah sama dengan untuk data sampel.

— Graham
sumber

Saya tidak melihat mengapa Anda perlu membuat perbedaan antara arus aktual melalui kapasitor dan nilai pengukuran band-terbatas. Apa yang ajaib dengan situasi ini sehingga linearitas turunan, filter, dan integrasi yang terkenal tidak berlaku lagi?

— pipa

@pipe Dalam sebuah kata, sampling. Misalkan kita mengambil sampel pada 1kHz. Sekarang anggaplah kita memiliki lonjakan arus panjang 0,5 ms. Versi sampel tidak akan pernah melihat lonjakan, tetapi tegangan kapasitor yang sebenarnya pasti akan. Kemudian Anda memiliki kesalahan residual antara setiap bentuk integrasi digital dan nilai aktual. Dan saya bahkan belum memulai sesuatu yang berhubungan dengan resolusi, yang merupakan kaleng cacing.

— Graham

Tetapi energi dalam pulsa itu akan menyebar ke pita-pita yang akan dilihat oleh sampler . Sebagai contoh: kereta pulsa dengan pulsa yang sangat pendek, setelah pembatas-band, jumlah ke level DC yang sedikit lebih tinggi. Area pulsa Anda akan tetap sama, dan mengintegrasikan versi terbatas-band berakhir dengan hasil yang sama.

— pipa