Mengapa waktu konstan 63,2% dan bukan 50% atau 70%?

30

Saya belajar tentang sirkuit RC dan RL. Mengapa konstanta waktu sama dengan 63,2% dari tegangan output? Mengapa itu didefinisikan sebagai 63% dan bukan nilai lain?

Apakah rangkaian mulai bekerja pada 63% tegangan keluaran? Kenapa tidak 50%?

— Bala Subramanian
sumber

41

1-e ^ -1 = 0,6321 ...

— Andrew Morton

3

Itu bertepatan dengan 1 / bandwidth dan itu nilai waktu di urutan pertama lag

atau

\frac{1}{1 + j ω τ}

$\frac{1}{1+j\omega\tau}$

. Dalam peluruhan radioaktif mereka menggunakan 50% ('paruh').

\frac{1}{1 + τ s}

$\frac{1}{1+\tau s}$

— Chu

1

@AndrewMorton: Saya tidak sepenuhnya yakin apa yang dikatakan tentang saya bahwa saya kira itu akan menjadi jawaban hanya dari judulnya.

— Ilmari Karonen

4

@code_monk: semenarik

?

e^{π} - π \approx 19.999

$e^\pi - \pi \approx 19.999$

— Hewan Nominal

3

Hanya nitpick: konstanta waktu tidak didefinisikan sebagai 63%. Ini didefinisikan sebagai kebalikan dari koefisien dalam eksponen fungsi eksponensial (lihat jawaban yang sangat baik di utas ini). Itu hanya muncul sebagai konsekuensi bahwa nilai kuantitas setelah rentang waktu sama dengan konstanta waktu adalah sekitar (dengan akurasi 2 digit) 63% dari nilai awal.

— Lorenzo Donati mendukung Monica

64

Jawaban lain belum menyentuh apa yang membuat e spesial: mendefinisikan waktu konstan sebagai waktu yang diperlukan untuk sesuatu untuk turun dengan faktor e berarti bahwa pada setiap saat waktu, laju perubahan akan seperti itu-- jika itu Tingkat dilanjutkan - waktu yang diperlukan untuk meluruh menjadi tidak ada adalah satu waktu yang konstan.

Misalnya, jika seseorang memiliki tutup 1uF dan resistor 1M, konstanta waktu akan menjadi satu detik. Jika kapasitor diisi hingga 10 volt, tegangan akan turun pada kecepatan 10 volt / detik. Jika diisi hingga 5 volt, tegangan akan turun pada kecepatan 5 volt / detik. Fakta bahwa laju perubahan berkurang karena tegangan tidak berarti bahwa tegangan tidak akan benar-benar membusuk dalam satu detik, tetapi laju penurunan setiap saat dalam waktu akan menjadi tegangan saat ini dibagi dengan konstanta waktu.

Jika konstanta waktu didefinisikan sebagai unit lain (misalnya waktu paruh), maka laju peluruhan tidak lagi sesuai dengan konstanta waktu.

— supercat
sumber

3

Ini mungkin jawaban terbaik, karena menjawab pertanyaan " Mengapa? " Dengan cara yang nyata, alih-alih menunjukkan " bagaimana " menghitungnya.

— Bort

Luar biasa, saya tidak percaya saya tidak pernah belajar ini! (BTW, grafik akan membuat jawaban ini lebih dahsyat).

— Pasang kembali Monica

1

Itu wawasan intuitif yang sangat baik. +1

— Spehro Pefhany

1

"tingkat penurunan setiap saat dalam waktu akan menjadi tegangan arus" Saya kira itu sementara "arus" dalam konteks ini adalah ambigu, kedua artinya berfungsi.

— Akumulasi

11

@supercat - Saya telah menambahkan grafik contoh Anda. Jangan ragu untuk menyarankan perubahan apa pun padanya.

— Pasang kembali Monica

49

Ini dibangun ke dalam matematika peluruhan eksponensial yang terkait dengan sistem orde pertama. Jika respons dimulai pada kesatuan pada t = 0, maka setelah satu "satuan waktu", responsnya adalah . Ketika Anda melihat waktu penelitian, Anda mengurangi ini dari kesatuan, memberikan 0,63212 atau 63,2%. $e^{-1} = 0.36788$

"Unit waktu" disebut sebagai "konstanta waktu" dari sistem, dan biasanya dilambangkan τ (tau). Ekspresi penuh untuk respons sistem dari waktu ke waktu (t) adalah

V (t) = V_{0} e^{- \frac{t}{τ}}

$V(t) = V_0 e^{-\frac{t}{\tau}}$

Jadi konstanta waktu adalah jumlah yang berguna untuk diketahui. Jika ingin mengukur konstanta waktu secara langsung, Anda mengukur waktu yang diperlukan untuk mencapai 63,2% dari nilai akhir.

Dalam elektronik, ini berfungsi bahwa konstanta waktu (dalam detik) sama dengan R × C di sirkuit RC atau L / R di sirkuit RL, ketika Anda menggunakan ohm, farad, dan henries sebagai satuan untuk nilai komponen. Ini berarti bahwa jika Anda mengetahui konstanta waktu, Anda dapat memperoleh salah satu dari nilai komponen jika Anda tahu yang lain.

— Dave Tweed
sumber

1

Untuk peluruhan atau kenaikan eksponensial, kita harus menggunakan respons langkah untuk mengurangi kompleksitas. Sehingga e − 1 diperhitungkan. Apakah saya benar?

— Bala Subramanian

@BalaSubramanian: ya, benar.

— Dave Tweed

Tetapi saya punya satu keraguan, misalnya dalam mendesain sirkuit RC untuk timer atau counter. Ini mengeluarkan dan mengisi pada periode waktu tertentu. Apakah periode waktunya sama dengan waktu yang konstan. Apakah IC atau perangkat yang diperlukan berhenti bekerja pada tegangan 63%?

— Bala Subramanian

2

- \ln (1 / 3) = 1.0986

$-\ln(1/3) = 1.0986$

\ln (2 / 3) - \ln (1 / 3) = 0.6931

$\ln(2/3) - \ln(1/3) = 0.6931$

11

Kerusakan sirkuit paralel RC dengan kapasitor dibebankan ke Vo

$Vo(1-e^{-t/\tau})$ $\tau$ $\cdot$

$\tau$

Dengan kata lain, konstanta waktu didefinisikan oleh produk RC (atau rasio L / R), dan tegangan yang tampaknya arbitrer adalah hasil dari definisi itu dan cara peluruhan atau pengisian eksponensial terjadi.

Peluruhan eksponensial umum terjadi pada berbagai proses fisik seperti peluruhan radioaktif, beberapa jenis pendinginan, dll. Dan dapat dijelaskan dengan Persamaan Diferensial Biasa (ODE) orde satu.

Misalkan Anda ingin tahu waktu ketika tegangan adalah 0,5 dari tegangan awal (atau tegangan akhir jika pengisian dari 0). Itu (dari atas)

$\ln(0.5)\tau$

$\tau$

— Spehro Pefhany
sumber

10

Itu adalah perkiraan yang sangat kasar.

— Arsenal

1

@Arenal, saya bisa menggunakan MATLAB dan membawanya ke beberapa ribu tempat desimal jika Anda mau.

— Spehro Pefhany

2

@Arenal, saya kira 22/7 tidak cukup baik untuk Anda juga? : D

— Wossname

3

22/7 adalah perkiraan yang mengerikan untuk e. 19/7 jauh lebih baik.

— alephzero

2

@SpehroPefhany (wrt dengan perkiraan yang Anda tautkan) Saya selalu kagum pada bagaimana orang matematika suka menghabiskan waktu mereka (well, saya kira teka-teki silang terlalu mudah bagi mereka! :-)

— Lorenzo Donati mendukung Monica

3

Sama seperti pelengkap jawaban luar biasa lainnya oleh Dave Tweed, supercat dan Spehro Phefany, saya akan menambahkan 2 sen saya.

Pertama sedikit nitpicking, seperti yang saya tulis dalam komentar, konstanta waktu tidak didefinisikan sebagai 63%. Secara formal ini didefinisikan sebagai kebalikan dari koefisien eksponen dari fungsi eksponensial. Yaitu, jika Q adalah jumlah yang relevan (tegangan, arus, daya, apa pun), dan Q meluruh dengan waktu seperti:

Q (t) = Q_{0} e^{- k t} (k > 0)

$Q(t) = Q_0 \; e^{- k t} \qquad (k>0)$

$\tau = 1 / k$

$t = \tau$

\frac{Q (τ)}{Q_{0}} = e^{- 1} \approx 0,367 = 36.7 %

$\frac{Q(\tau)}{Q_0} = e^{-1} \approx 0.367 = 36.7 \%$

Apa jawaban lain yang hanya sedikit disentuh adalah mengapa pilihan itu telah dibuat. Jawabannya adalah kesederhanaan : konstanta waktu memberikan cara mudah untuk membandingkan kecepatan evolusi dari proses yang sama. Dalam elektronik sering kali konstanta waktu dapat diartikan sebagai "kecepatan reaksi" dari suatu rangkaian. Jika Anda mengetahui konstanta waktu dari dua sirkuit, mudah untuk membandingkan "kecepatan relatif" mereka dengan membandingkan konstanta tersebut.

$\tau = 1 \mu s$ $3\tau=3\mu s$ $5\tau=5\mu s$ $3\tau$ $5\tau$

Dengan kata lain, konstanta waktu adalah cara yang mudah dan dapat dipahami untuk menyampaikan skala waktu di mana suatu fenomena terjadi.

— Lorenzo Donati mendukung Monica
sumber

-1

$e$ $1-e^{-1} \approx 0.63$

— Matthijs Huisman
sumber