Apakah buku ini salah tentang Kriteria Pengambilan Sampel Nyquist?

Apakah pernyataan berikut dari buku itu salah?

Saya pikir pengambilan sampel dengan komponen frekuensi tertinggi dua kali sinyal akan cukup untuk memulihkan sinyal sepenuhnya. Namun di atasnya dikatakan pengambilan sampel dua kali menciptakan gelombang seperti gigi gergaji. Apakah bukunya salah?

Saya pikir pengambilan sampel dengan komponen frekuensi tertinggi dua kali sinyal akan cukup untuk memulihkan sinyal sepenuhnya. Namun di atasnya dikatakan pengambilan sampel dua kali menciptakan gelombang seperti gigi gergaji. Apakah bukunya salah?

Buku itu salah, tetapi bukan karena alasan yang Anda pikirkan. Jika Anda memicingkan mata pada titik-titik yang menunjukkan sampel, itu sampling pada frekuensi dua kali lipat dari yang tertulis.

Jadi pertama-tama, Anda harus menggambar beberapa sinyal dan sampel sendiri (atau menggunakan paket matematika, jika Anda tidak cukup dengan pensil dan kertas).

Kedua, teorema Nyquist mengatakan bahwa secara teori dimungkinkan untuk merekonstruksi sinyal jika Anda sudah tahu bahwa spektrum konten sinyal benar - benar kurang dari ½ laju pengambilan sampel.

Anda merekonstruksi sinyal dengan memfilter low-pass. Sebelum memfilter, sinyal bisa terdistorsi, jadi Anda harus tahu apa yang Anda lihat untuk melihat bahwa hasilnya mungkin terlihat OK. Lebih jauh lagi, semakin dekat spektrum konten sinyal Anda dengan batas Nyquist, semakin tajam cutoff yang harus ada dalam anti-alias Anda dan filter rekonstruksi. Secara teori ini bagus, tetapi dalam praktiknya, respons filter dalam domain waktu secara kasar lebih lama sebanding dengan seberapa tajam transisi dari passband ke stopband. Jadi secara umum, jika Anda bisa, sampel Anda jauh di atas Nyquist.

Inilah gambar yang sesuai dengan apa yang seharusnya dikatakan oleh buku Anda.

Kasus A: satu sampel per siklus (sampel diperjelas)

Kasus B: dua sampel per siklus, mendarat di persimpangan - perhatikan bahwa ini adalah output yang sama dengan satu sampel per kasus siklus, tetapi hanya karena saya mencicipi sampel pertama di persimpangan.

Kasus C: Sekali lagi, dua sampel per siklus, tetapi kali ini pada ekstrem. Jika Anda mencicipi di tepat dua kali frekuensi komponen sinyal, maka Anda tidak dapat merekonstruksi. Secara teori Anda dapat mengambil sampel oh-begitu-sedikit lebih rendah, tetapi Anda akan memerlukan filter dengan respons impuls yang cukup luas dari hasil sehingga Anda dapat merekonstruksi.

Kasus D: Pengambilan sampel pada frekuensi frekuensi 4x. Jika Anda menghubungkan titik-titik Anda mendapatkan gelombang segitiga, tetapi itu tidak benar untuk melakukannya - dalam waktu sampel, sampel hanya ada "di titik-titik". Perhatikan bahwa jika Anda menempatkan ini melalui filter rekonstruksi yang layak Anda akan mendapatkan gelombang sinus kembali, dan jika Anda mengubah fase pengambilan sampel Anda maka output akan bergeser sama dalam fase, tetapi amplitudo tidak akan berubah.

Gambar B sangat salah. Ini berisi sudut yang sangat tajam pada sinyal keluaran. Sudut yang sangat tajam sama dengan frekuensi yang sangat tinggi, jauh lebih tinggi daripada frekuensi sampel.

Untuk memenuhi teorema sampel Nyquist, Anda harus menyaring low pass filter sinyal yang direkonstruksi. Setelah penyaringan low pass, sinyal B akan terlihat seperti sinyal input, tidak seperti seperti segitiga (karena semua sudut yang tajam tidak dapat melewati filter low pass).

Untuk lebih tepatnya, Anda harus memotong sinyal input dan sinyal output. Sinyal input harus difilter low pass untuk memaksimalkan setengah dari frekuensi sampel agar tidak "melipat" frekuensi lebih tinggi.

Sayangnya, itu adalah representasi yang keliru tentang cara kerja pengambilan sampel. Deskripsi yang lebih benar akan menggunakan fungsi sinc untuk rekonstruksi (saya sarankan mencari fungsi sinc).

Dalam aplikasi dunia nyata, mustahil untuk memiliki filter low pass "sempurna" (melewati semua frekuensi di bawah dan memblokir semua di atas). Ini berarti bahwa Anda biasanya akan sampel dengan frekuensi setidaknya 2,2 kali frekuensi maks yang ingin Anda reproduksi (contoh: kualitas CD sampel pada 44,1 kHz untuk memungkinkan freqency maks 20kHz). Bahkan perbedaan ini akan membuatnya sulit untuk membuat filter analog - sebagian besar aplikasi dunia nyata "oversample" seperti halnya low pass filter sebagian di area digital.

Teorema pengambilan sampel menyatakan bahwa sinyal dapat direkonstruksi dengan sempurna jika frekuensi sampling benar-benar lebih besar daripada konten frekuensi tertinggi dalam sinyal. Tetapi rekonstruksi itu didasarkan pada penyisipan pulsa tak terbatas pada setiap sampel. Dari sudut pandang teoretis, ini adalah hasil yang sangat penting, tetapi dalam praktiknya tidak mungkin untuk mencapai secara tepat. Apa yang dijelaskan dalam halaman buku adalah metode rekonstruksi berdasarkan pada menggambar garis lurus di antara sampel, yang merupakan sesuatu yang sangat berbeda. Jadi, saya akan mengatakan buku itu benar, tetapi tidak ada hubungannya dengan teorema pengambilan sampel.

Makalah ikhtisar yang sangat bagus adalah Unser: Sampling - 50 tahun setelah Shannon . Masalah Anda muncul dari kenyataan bahwa sinyal sinus murni dan tak terbatas tidak tercakup oleh teorema pengambilan sampel Shannon. Teorema yang berlaku untuk sinyal periodik adalah teorema pengambilan sampel Nyquist sebelumnya.

The Shannon sampel teorema berlaku untuk fungsi yang dapat direpresentasikan sebagai

$x(t)=\int\limits_{-W}^WX(f)e^{i2\pi ft}\,df$

di mana X adalah fungsi persegi-integrable. Maka sinyal ini dapat secara tepat direpresentasikan dari sampel diskrit sebagai

$x(t)=\sum\limits_{k=-\infty}^\infty x(k\frac{T}2)\frac{\sin(\pi W(t-k\frac{T}2))}{\pi W(t-k\frac{T}2)}$

$T=\frac1{W}$$\frac1t$ , memotong jumlah harus menyertakan sejumlah besar istilah untuk mengurangi kesalahan.

Fungsi sinus murni tidak terkandung dalam kelas itu, karena transformasi Fourier-nya terdiri dari distribusi Dirac-delta.

Teorema pengambilan sampel Nyquist sebelumnya menyatakan (atau menginterpretasikan ulang wawasan sebelumnya) bahwa jika sinyal periodik dengan periode T dan frekuensi tertinggi W = N / T , maka itu adalah polinomial trigonometri

$x(t)=\sum\limits_{n=-N}^NX_ne^{i2\pi\frac{n}{T}t}$

dengan koefisien 2N + 1 (non-sepele) dan koefisien ini dapat direkonstruksi (dengan aljabar linier) dari sampel 2N + 1 pada periode tersebut.

Kasus fungsi sinus murni jatuh di kelas ini. Ini menjanjikan rekonstruksi sempurna jika 2N + 1 sampel dari waktu ke waktu diambil NT .

Apa yang telah dibagikan dari buku tidak mengatakan apa-apa - tentang "Kriteria Pengambilan Sampel Nyquist" - itu hanya berbicara tentang pengambilan sampel titik gelombang sinus dengan ADC hipotetis, dan kemudian (secara implisit) membangun sinyal keluaran menggunakan (tidak disebutkan) DAC sederhana yang melakukan interpolasi linier antara nilai sampel.

Mengingat konteks itu, pernyataan tesis 'GAMBAR 6.10' umumnya benar dan ditunjukkan dengan baik.

Ketika frekuensi pengambilan sampel ADC meningkat, kesetiaan sinyal digital membaik.

Jika Anda ingin berbicara tentang kesetiaan rekonstruksi yang ideal , itu masalah yang sama sekali berbeda. Setiap diskusi tentang tingkat Nyquist , menyiratkan penggunaan interpolasi tulus yang, sekali lagi, tidak disebutkan dalam gambar yang ditunjukkan.

Kelemahan nyata dalam gambar ini adalah gagasan bahwa sampel titik adalah konsep yang bermakna dalam rekayasa. Secara praktis, ADC akan dihubungkan ke komponen sensor yang bekerja dengan mengakumulasikan sinyal input dunia nyata selama beberapa periode waktu.

Akan tetapi, lucu bahwa angka itu kelihatannya salah (off oleh faktor dua) tentang frekuensi sampling spesifik yang ditunjukkan dalam diagram - meskipun "Output" yang ditampilkan hanya dipengaruhi oleh ini dalam kasus 'C'.

Dengan menggunakan pernyataan yang dikutip di atas, saya menemukan diagram yang mirip menakutkan dalam "Pendekatan Praktis untuk Pemantauan Intraoperatif Neurofisiologis" dalam sebuah diskusi tentang pemrosesan gelombang EEG. Untuk apa nilainya, diskusi itu meliputi yang berikut:

Teorema yang menggambarkan frekuensi pengambilan sampel minimum yang diperlukan untuk ADC untuk secara setia mewakili sinyal analog dikenal sebagai teorema Nyquist. Ini menyatakan bahwa frekuensi sampling dari ADC harus lebih besar dari dua kali lipat dari komponen frekuensi tercepat dari suatu gelombang.