Pemodelan rangkaian RC secara matematis dengan input linear

Saya telah menemukan banyak dokumen dan buku yang memodelkan bagaimana tegangan melintasi kapasitor berperilaku dalam sirkuit RC transien, menggunakan persamaan berikut:

$$V_C=V_{MAX}(1-e^{-t/RC})$$

Sayangnya, saya tidak menemukan sumber daya yang membahas cara memodelkan sirkuit RC secara matematis, adalah sumber daya yang memberikan sumber tegangan yang meningkat secara linear sebagai input.

Mencoba untuk mengganti VMAX dalam persamaan di atas, untuk persamaan linear, menghasilkan persamaan yang menyatu ke arah persamaan linear, artinya arus akan berhenti setelah beberapa waktu (I = (VS-VC) / R). Ini jelas tidak benar, karena kita seharusnya melihat pendekatan saat ini nilai konstan dengan waktu, seperti yang diberikan oleh:

$$I_C=C\frac{dV}{dt}$$

Saya menyadari sepenuhnya bagaimana tegangan melintasi kapasitor akan berperilaku dengan sumber tegangan meningkat secara linear, ada banyak simulator yang menampilkan itu, dan saya bahkan dapat memikirkan penjelasan fisik untuk hasilnya. Yang ingin saya ketahui adalah bagaimana seseorang dapat secara matematis memodelkan tegangan pada kapasitor dengan sumber tegangan yang meningkat secara linear, dengan cara yang mirip dengan persamaan yang memodelkan tegangan melintasi kapasitor dalam transien.

Sayangnya, saya tidak menemukan sumber daya yang membahas cara memodelkan sirkuit RC secara matematis, adalah sumber daya yang memberikan sumber tegangan yang meningkat secara linear sebagai input.

Jawaban ini adalah semua tentang mengubah sirkuit ke fungsi transfer dalam domain frekuensi kemudian mengalikan TF dengan Transformasi Laplace dari input untuk mendapatkan domain frekuensi yang setara dengan output. Akhirnya, operasi Laplace terbalik dilakukan untuk mendapatkan formula domain waktu untuk output.

Transformasi Laplace dari filter low pass RC adalah: -

$$\dfrac{1}{1+sRC}$$

Ini adalah fungsi transfer domain frekuensi, jadi, jika Anda mengalikannya dengan domain frekuensi yang setara dengan ramp ($\dfrac{1}{s^2}$) Anda mendapatkan output domain frekuensi: -

$$\dfrac{1}{s^2(1+sRC)}$$

Menggunakan tabel transfer reverse laplace ini memiliki output domain waktu: -

$$t + RC\cdot e^{(\frac{-t}{RC})}-RC$$

Lihat item 32 di atas meja atau, jika rumus tidak memiliki entri tabel yang jelas Anda dapat menggunakan kalkulator laplace terbalik yang menyelesaikannya secara numerik seperti ini .

Kalkulator memungkinkan Anda membuat rumus dan memasukkan nilai numerik untuk RC. Saya menggunakan nilai RC 7 pada contoh di atas sehingga saya bisa melihat bagaimana angka itu disebarkan ke jawaban akhir. Rintangan terakhir adalah mengganti nilai yang diperbanyak dari 7 dengan RC. Dengan kata lain itu adalah pemecah numerik tetapi alat yang sangat berguna harus dimiliki: -

Untuk sinyal input umum dan sistem urutan pertama, Anda dapat menyelesaikan persamaan diferensial melalui faktor integrasi, $\small (IF)$, metode * atau Transformasi Laplace, antara lain. Analisis di bawah ini menggunakan$\small IF$ metode.

$^*$Lihat edit, di bawah, untuk penjelasan tentang metode faktor integrasi .

Dengan rangkaian yang Anda gambarkan, persamaan loop adalah:

$v_i=v_R+v_C$

$v_i=iR+\frac{1}{C}\int i\:dt$

Membedakan:

$\large \frac{dv_i}{dt}\small = R\large \frac{di}{dt}+\frac{i}{C}$

Mengatur ulang:

$\large \frac{di}{dt}+ \frac{i}{RC}= \frac{1}{R}\large \frac{dv_i}{dt}$

Memperhatikan itu $\small \tau=RC$:

$\large \frac{di}{dt}+ \frac{i}{\tau}= \frac{1}{R}\large \frac{dv_i}{dt}$

Dalam kasus khusus Anda, $v_i$ adalah jalan, dengan demikian: $v_i= \small Kt$dimana $\small K$ adalah kemiringan jalan.

Karenanya $\large \frac{dv_i}{dt} = \small K$, dan persamaan yang harus dipecahkan oleh $\small IF$ metode adalah:

$\large \frac{di}{dt}+ \frac{i}{\tau}= \frac{K}{R}$

Itu $\small IF$ adalah:

$\small IF=\large e^{\int \frac{1}{\tau}dt}=e^{\frac{t}{\tau}}$

Karena itu:

$i\:e^{\frac{t}{\tau}} =\int \frac{K}{R}e^{\frac{t}{\tau}}dt +A$

$i\:e^{\frac{t}{\tau}} =\small KC\: \large e^{\frac{t}{\tau}} +\small A$

$i =\small KC\: +\small A \large \large e^{-\frac{t}{\tau}}$

Dengan asumsi kondisi awal adalah nol, $\small A=-KC$, karenanya:

$i =\small KC\:(1-\large e^{-\frac{t}{\tau}})$

dan

$v_c =\small K\:(t-\tau + \tau e^{-\frac{t}{\tau}})$

.................................................. .................................................. ..................................................

Sunting: Memecahkan persamaan diferensial biasa orde 1 (ODE) oleh Integrating Factor (1)$\small IF$) metode:

Untuk ODE:

$\frac{dy}{dt}\small +Py=Q$dimana $\small P$ dan $\small Q$ adalah fungsi dari $\small t$ (yang mungkin konstanta), kami mengikuti langkah-langkah:

1. Tentukan faktor pengintegrasian: $\small IF= \large e\small ^ {\int P\:dt}$

2. Solusi umum kemudian ditemukan dengan memecahkan: $\small y. IF=\large \int \small Q.IF\: dt + A$, where $\small A$ is an arbitrary constant.

3. Determine $\small A$ from the initial condition or a boundary condition, if known.

For example, the ODE: $\frac{dy}{dt}+2y=3$, with $\small y(0)=5$

Solution: we identify $\small P=2,\:Q=3$

Therefore

$\small IF= e^ {\int 2\:dt} = e^{2t}$

Hence

$\small y\: e^{2t}=\large \int \small 3\:e^{2t}\: dt + A$

$\small y\: e^{2t}= \frac{3}{2}\:e^{2t}\: + A$

Dividing through by $\small e^{2t}$

$\small y= 1.5 + Ae^{-2t}$

Applying the initial condition:

$\small y(0)=5= 1.5 + A$; hence $\small A=3.5$

Giving: $y= 1.5 + 3.5e^{-2t}$

May as well add another approach based upon Chu's recommendation:

The standard form for a first order linear differential equation is:

$$\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t} + P_x\cdot y = Q_x$$

If you can set things up like that, then your integrating factor (which is a nifty way to solve these) is:

$$\mu=e^{\int P_x\; \textrm{d}x}$$

Then then the solution is:

$$y=\frac{1}{\mu}\int \mu\cdot Q_x\;\; \textrm{d}x$$

Suppose the following circuit:

^{simulate this circuit – Schematic created using CircuitLab}

Then from nodal, you get:

$$\begin{align*}\frac{V\left(t\right)}{R}+\frac{\text{d}V\left(t\right)}{\text{d}t}C&=\frac{V_s\left(t\right)}{R}\\\\\frac{\text{d}V\left(t\right)}{\text{d}t}+\frac{1}{R\,C}V\left(t\right)&=\frac{V_s\left(t\right)}{R\,C}\end{align*}$$

Which is in standard form, now.

So, $P_t=\frac{1}{R\,C}$ and $Q_t=\frac{1}{R\,C}\cdot V_s\left(t\right)$. Thus, the integrating factor is: $\mu=e^{^\frac{t}{R\,C}}$ and:

$$\begin{align*}V\left(t\right)&=e^{^\frac{-t}{R\,C}}\int e^{^\frac{t}{R\,C}}\frac{1}{R\,C}\cdot V_s\left(t\right)\:\text{d} t\\\\&=\frac{1}{R\,C}\cdot e^{^\frac{-t}{R\,C}}\int V_s\left(t\right)\,e^{^\frac{t}{R\,C}}\:\text{d} t\end{align*}$$

You should be able to readily perform the above given a sufficiently simple $V_s\left(t\right)$. (Don't forget your constant of integration.)

what you wrote as Vmax can be changed for your voltage that changes over time as long as it is not too much faster than the time constant of the capacitor it should give you a decent model.

If you want a more precise answer, you can Fourier/Laplace transform your input voltage and calculate the reactance for the capacitor at every frequency that you get, solve each and add them together which will give you the final voltage.

The second option that gives a much more accurate solution is quite more complex that the simple first thing I suggested, which can only give an accurate solution if the voltage rises much more slowly than the charging of the capacitor.

edit: as some of the comments mentioned it is also possible to solve the differential equation for a ramp instead of a step.