Mengapa kita menggunakan dalam analisis AC alih-alih ?

Dalam analisis AC, ketika kita berurusan dengan atau . Tetapi untuk transformasi Laplace, .$s=j\omega$$sL$$1/sC$$s=\sigma+j\omega$

Maaf karena ambigu, tetapi saya ingin menghubungkan pertanyaan di bawah ini:

• Mengapa sigma sama dengan nol?
• Apakah frekuensi neper terhubung ke ini?
• Apakah sigma sama dengan nol karena sinyal input adalah sinusoid dari konstanta ?$\pm V_{max}$

Tentu saja, , menurut definisi. Apa yang terjadi adalah bahwa diabaikan karena dianggap nol. Alasannya adalah bahwa kita sedang melihat respons sistem terhadap sinyal sinusoidal periodik (dan karenanya tidak membusuk), di mana Laplace dengan mudah mereduksi menjadi Fourier di sepanjang sumbu imajiner. Sumbu nyata dalam domain Laplace mewakili faktor peluruhan / pertumbuhan eksponensial yang tidak dimiliki sinyal murni, dan yang Fourier tidak modelkan.$s = \sigma + j\omega$$\sigma$

Untuk analisis AC, diasumsikan bahwa rangkaian memiliki sumber sinusoidal (dengan frekuensi sudut yang sama ) dan bahwa semua transien telah membusuk. Kondisi ini dikenal sebagai kondisi tunak sinusoidal atau kondisi tunak AC .$\omega$

Ini memungkinkan sirkuit dianalisis dalam domain phasor .

Menggunakan formula Euler, kami memiliki:

$v_A(t) = A \cos(\omega t + \phi) = \Re(Ae^{j\phi}e^{j\omega t})$

Phasor yang terkait dengan adalah yang merupakan konstanta kompleks yang berisi informasi fase dan fase dari sinyal domain waktu.→ V a = A e j $v(t)$$\vec V_a = Ae^{j\phi}$

Oleh karena itu, dalam kondisi ini, kita dapat menganalisis rangkaian dengan melacak voltase dan arus fasor dan menggunakan hubungan berikut:

$\dfrac{\vec V_l}{\vec I_l} = j\omega L$

$\dfrac{\vec V_c}{\vec I_c} = \dfrac{1}{j\omega C}$

$\dfrac{\vec V_r}{\vec I_r} = R$

Kami kemudian memulihkan solusi domain waktu melalui rumus Euler.

Sekarang, ada hubungan yang mendalam antara analisis fasor dan analisis Laplace tetapi penting untuk mengingat konteks penuh analisis AC yang, sekali lagi:

(1) sirkuit memiliki sumber sinusoidal (dengan frekuensi yang sama )$\omega$

(2) semua transien telah membusuk

Alasan mengapa dipilih untuk mengevaluasi sinyal AC adalah karena ia memungkinkan untuk mengubah Transformasi Laplace menjadi Transformasi Fourier.$S=j\omega$

Alasannya adalah bahwa sementara S adalah variabel kompleks, apa yang digunakan dalam representasi Fourier hanyalah komponen rotasi (imajiner), maka .$\sigma=0$

Anda dapat menemukan lebih banyak di halaman Stanford ini .

Analisis Laplace transform transfer function (TF) memberikan respons lengkap terhadap sinyal input sinusoidal dari t = 0. Solusinya umumnya berisi istilah transien, yang meluruh ke nol secara eksponensial, dan syarat mapan yang tetap setelah eksponensial menghilang. Ketika kita memiliki kutub dan nol dari TF, misalnya s = -a + jw, bagian '-a' memberikan respon eksponensial (e ^ -at), dan bagian jw memberikan respon kondisi tunak sinusoidal: (e ^ jwt) = cos (wt) + jsin (wt). Jika kita hanya tertarik pada bagian steady-state dari respon (seperti halnya dalam analisis respon frekuensi) maka kita bisa menggunakan substitusi s = jw di TF.

Perhatikan bahwa e ^ jx = cos (x) + jsin (x) adalah 'Identitas Euler' dan merupakan salah satu hubungan paling penting dan berguna dalam sains dan teknik.

Ini hanya digunakan untuk "Sin" dan "Cos" yang merupakan kasus sinyal AC. Catatan: Laplace trasnform of sin (at) atau cos (at) "1 / jw + a" atau "jw / jw + a" yang dapat dibuktikan menggunakan identitas dosa dan cos menggunakan identitas Euler yang pada dasarnya hanya 2 eksponensial, dan pangkuan eksponensial hanya memiliki bagian imajiner "jw".

Saya akan menuliskan buktinya dan mempostingnya di sini. :)

Jika Anda melihat rumus transformasi Fourier dan Laplace, Anda akan melihat bahwa 's' adalah transformasi Laplace digantikan oleh 'jw' dalam transformasi Fourier. Itulah sebabnya Anda bisa mendapatkan transformasi Fourier dari Transformasi Laplace dengan mengganti 's' dengan 'jw'.