Dalam kondisi apa transformasi bintang-jala tidak dapat dibalik?

Kita semua tahu dan menyukai transformasi Δ-Y (delta-wye) dan Y-Δ (wye-delta) untuk menyederhanakan jaringan tiga-resistor:

Gambar dari Creative Commons

Transformasi Δ-Y dan Y-Δ memiliki properti bagus yang always selalu dapat diubah menjadi Y, dan Y selalu dapat diubah menjadi Δ, tidak peduli nilai resistansi yang terlibat.

Ada versi umum dari transformasi Y-Δ yang disebut transformasi bintang-mesh . Ini mengkonversi "bintang" dari resistor $N$ menjadi "mesh" dari resistor N C 2 .$^{N}C_{2}$

Gambar dari Creative Commons

Wikipedia menunjukkan bahwa transformasi bintang-ke-jala akan selalu ada - tetapi transformasi terbalik, mesh-ke-bintang, mungkin tidak ada. Yakni:

Transformasi menggantikan resistor N dengan resistor N C 2 . Untuk N> 3, hasilnya adalah peningkatan jumlah resistor, sehingga transformasi tidak memiliki invers umum tanpa kendala tambahan.$^{N}C_{2}$

Apa kendala yang harus dipenuhi agar kebalikan ada?

Saya sangat tertarik dalam mengubah jaringan mesh 4-node menjadi jaringan bintang 4-resistor.

Motivasi untuk pertanyaan: Saya memiliki model sistem tenaga industri (benar-benar hanya jaringan yang sangat besar sumber tegangan konstan dan impedansi) yang mengandung ~ 2.000 node. Saya mencoba menguranginya menjadi hanya empat node yang menarik.

Edit:

Ada beberapa makalah yang diterbitkan tentang topik ini.

• Versfeld, L., "Keterangan tentang transformasi bintang-mesh dari jaringan listrik," Electronics Letters, vol.6, no.19, pp.597.599, 17 September 1970

  Dua aspek baru dari transformasi bintang-mesh yang terkenal dipelajari: (a) kondisi yang diperlukan dan cukup untuk transformasi jaringan mesh umum yang diberikan menjadi jaringan bintang yang setara; (B) ekstensi ke jaringan yang mengandung sumber.

• Bapeswara Rao, VV; Aatre, VK, "Transformasi bintang jala ," Surat Elektronik, vol.10, no.6, hlm.73,74, 21 Maret 1974

  Jaringan bintang setara ada untuk jaringan mesh tertentu jika yang terakhir memenuhi hubungan Wheatstone. Dengan menggunakan fakta ini, ditunjukkan bahwa semua kofaktor offdiagonal dari matriks penerimaan datum-node dari jaringan mesh tersebut adalah sama. Dari properti ini, hubungan sederhana antara elemen-elemen dari dua jaringan diturunkan.

Saya tidak memiliki akses IEEE Xplore jadi saya tidak bisa membacanya.

$N_b$$N_b=N_e-N_v$$N_e$$N_v$$G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$

$G_{XY}=\frac{G_XG_Y}{G_{TOT}}$$G_{TOT}=\sum_{i=1}^nG_i$$G_{XY}\ne0$$\frac{G_X}{G_Y}=\frac{G_{XZ}}{G_{YZ}}$$\frac{G_A}{G_B}=\frac{G_{AC}}{G_{BC}}=\frac{G_{AD}}{G_{BD}}\Rightarrow G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$. We get the same result from: $\frac{G_C}{G_D}=\frac{G_{AC}}{G_{AD}}=\frac{G_{BC}}{G_{BD}}$. From the last 4 equations we obtain $G_{AB}G_{CD}=G_{AD}G_{BC}$ and $G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}$ and so we finally have the $G_{AB}G_{CD}=G_{AC}G_{BD}=G_{AD}G_{BC}$ condition. So this is a necessary condition. But if the ratio between any two conductances of the mesh is known ,we can express the $G_{TOT}$ depending on only one of those, like $G_{TOT}=G_{A}+G_B+G_C+G_D=G_A(1+\beta+\gamma+\delta)$, where $\beta=\frac{G_B}{G_A}=\frac{G_{BC}}{G_{AC}}=\frac{G_{BD}}{G_{AD}}$, and so on..$\Rightarrow G_{AB}=\frac{G_AG_B}{G_{TOT}}=\frac{G_AG_B}{G_A(1+\beta+\gamma+\delta)}=\frac{G_B}{(1+\beta+\gamma+\delta)}\Rightarrow G_B=G_{AB}(1+\beta+\gamma+\delta)$. With similar calculations we can find all the 4 conductances(resistances) of the star.

I suppose all of this means the condition is also a sufficient condition.

What this is saying (whether it is true or not) is that there exists more than one way of assigning values to a star network of five resistors such that all the configurations appear indistinguishable according to all external "blackbox" measurements of resistance.

The mesh transformation is a red herring here. If the star networks were uniquely determined, then of course there would always be an inverse of any mapping from that network to any other type, back to that network.