Hubungan dan perbedaan antara transformasi Fourier, Laplace dan Z

Saya menjadi sedikit bingung tentang topik ini. Mereka semua mulai terlihat sama denganku. Mereka tampaknya memiliki sifat yang sama seperti linearitas, pergeseran dan penskalaan yang terkait dengannya. Saya sepertinya tidak bisa menempatkan mereka secara terpisah dan mengidentifikasi tujuan dari setiap transformasi. Juga, yang mana dari ini yang digunakan untuk analisis frekuensi?

Saya tidak dapat menemukan (dengan Google) jawaban lengkap yang membahas masalah khusus ini. Saya ingin melihat mereka dibandingkan di halaman yang sama sehingga saya bisa memiliki kejelasan.

Transformasi Laplace dan Fourier adalah transformasi kontinu (integral) dari fungsi kontinu.

Transformasi Laplace memetakan sebuah fungsi ke fungsi dari variabel kompleks s , di mana .F ( s ) s = σ + j $f(t)$$F(s)$$s = \sigma + j\omega$

Karena turunan memetakan ke , Transformasi Laplace dari persamaan diferensial linier adalah persamaan aljabar. Dengan demikian, Transformasi Laplace berguna untuk, antara lain, menyelesaikan persamaan diferensial linier. sF(s$\dot f(t) = \frac{df(t)}{dt}$$sF(s)$

Jika kita mengatur bagian nyata dari variabel kompleks s ke nol, , hasilnya adalah transformasi Fourier yang pada dasarnya adalah representasi domain frekuensi dari (perhatikan bahwa ini hanya benar jika untuk nilai , rumus untuk mendapatkan transformasi Laplace dari ada, yaitu, ia tidak menuju tak terhingga).F ( j ω ) f ( t ) σ f ( t $\sigma = 0$$F(j\omega)$$f(t)$$\sigma$$f(t)$

Transformasi Z pada dasarnya adalah versi diskrit dari transformasi Laplace dan, dengan demikian, dapat berguna dalam menyelesaikan persamaan perbedaan , versi diskrit persamaan diferensial . Z mentransformasikan urutan ke fungsi kontinu dari variabel kompleks .F ( z ) z = r e j $f[n]$$F(z)$$z = re^{j\Omega}$

Jika kita mengatur besaran z menjadi satu, , hasilnya adalah Discrete Time Fourier Transform (DTFT) yang pada dasarnya adalah representasi domain frekuensi dari .F ( j Ω ) f [ n $r = 1$$F(j\Omega)$$f[n]$

Transformasi Laplace dapat dianggap sebagai super-set untuk CTFT. Anda lihat, pada ROC jika akar dari fungsi transfer terletak pada sumbu imajiner, yaitu untuk s = σ + jω, σ = 0, seperti yang disebutkan dalam komentar sebelumnya, masalah transformasi Laplace berkurang menjadi Continuous Time Fourier Transform. Untuk sedikit mundur, akan baik untuk mengetahui mengapa Transformasi Laplace berevolusi sejak kami memiliki Transformasi Fourier. Soalnya, konvergensi fungsi (sinyal) adalah syarat wajib bagi Transformasi Fourier (benar-benar dapat dijumlahkan), tetapi ada juga sinyal di dunia fisik di mana tidak mungkin memiliki sinyal konvergen seperti itu. Tetapi, karena menganalisisnya diperlukan, kami membuatnya konvergen, dengan mengalikan e eksponensial yang menurun secara monoton dengan itu, yang menjadikannya konvergen sesuai sifatnya. Σ + jω baru ini diberi nama baru 's', yang sering kita gantikan sebagai 'jω' untuk respons sinyal sinusoidal dari sistem LTI kausal. Dalam bidang-s, jika ROC dari transformasi Laplace mencakup sumbu imajiner, maka Transformasi Fourier akan selalu ada, karena sinyal akan bertemu. Sinyal-sinyal ini pada sumbu imajiner yang terdiri dari sinyal periodik e ^ jω = cos cost + j sin ωt (Oleh Euler's).

Dengan cara yang sama, z-transform adalah perluasan ke DTFT untuk, pertama, membuat mereka bertemu, kedua, untuk membuat hidup kita jauh lebih mudah. Sangat mudah untuk berurusan dengan az daripada dengan ae ^ jω (pengaturan r, jari-jari lingkaran ROC sebagai untiy).

Selain itu, Anda lebih cenderung menggunakan Transformasi Fourier daripada Laplace untuk sinyal yang non-kausal, karena Transformasi Laplace membuat hidup lebih mudah ketika digunakan sebagai transformasi Unilateral (Satu sisi). Anda dapat menggunakannya di kedua sisi juga, hasilnya akan sama dengan beberapa variasi matematika.

Transformasi Fourier adalah untuk mengonversi / mewakili fungsi yang bervariasi waktu dalam domain frekuensi.

Transformasi laplace adalah untuk mengonversi / mewakili fungsi yang bervariasi waktu dalam "domain integral"

Transformasi-Z sangat mirip dengan laplace tetapi merupakan konversi interval waktu yang terpisah, lebih dekat untuk implementasi digital.

Semuanya tampak sama karena metode yang digunakan untuk mengkonversi sangat mirip.

Saya akan mencoba menjelaskan perbedaan antara transformasi Laplace dan Fourier dengan contoh yang didasarkan pada rangkaian listrik. Jadi, anggap kita memiliki sistem yang digambarkan dengan persamaan diferensial yang diketahui, katakanlah misalnya bahwa kita memiliki rangkaian RLC yang sama. Juga asumsikan bahwa saklar umum digunakan untuk menghidupkan atau mematikan sirkuit. Sekarang jika kita ingin mempelajari rangkaian dalam kondisi stabil sinusoid kita harus menggunakan transformasi Fourier. Kalau tidak, jika analisis kami menyertakan sakelar HIDUP atau MATI sirkuit, kami harus mengimplementasikan transformasi Laplace untuk persamaan diferensial.

Dengan kata lain transformasi Laplace digunakan untuk mempelajari evolusi sementara dari respon sistem dari kondisi awal ke kondisi stabil akhir sinusoid. Ini tidak hanya mencakup fenomena sementara dari kondisi awal sistem tetapi juga kondisi stabil akhir sinusoid.

Alat yang berbeda untuk pekerjaan yang berbeda. Kembali pada akhir abad keenam belas para astronom mulai melakukan perhitungan jahat. Logaritma pertama kali dihitung untuk mengubah multiplikasi dan pembagian menjadi penjumlahan dan pengurangan yang lebih mudah. Demikian juga, Transformasi Laplace dan Z mengubah persamaan diferensial yang tidak menyenangkan menjadi persamaan aljabar yang Anda miliki peluang untuk memecahkannya. Seri Fourier awalnya diciptakan untuk menyelesaikan aliran panas pada batu bata dan persamaan diferensial parsial lainnya. Aplikasi untuk string bergetar, pipa organ, dan analisis deret waktu muncul kemudian.

Dalam sistem LTI apa pun untuk menghitung fungsi transfer, kami hanya menggunakan transformasi laplace alih-alih transformasi fourier atau z karena dalam fourier kami mendapatkan output terikat, tidak menuju infinity. Dan z transform digunakan untuk sinyal diskrit tetapi sistem LTI adalah sinyal kontinu sehingga kita tidak dapat menggunakan z transform .. Oleh karena itu dengan menggunakan laplace transform kita dapat menghitung fungsi transfer dari setiap sistem LTI.