Pikirkan tentang sistem mekanis sederhana seperti batang elastis atau balok yang menempel pada pegas melawan gravitasi, di dunia nyata. Setiap kali Anda memberi sistem pulsa (ke blok atau ke bar), mereka akan memulai osilasi dan segera mereka akan berhenti bergerak.
Ada beberapa cara Anda dapat menganalisis sistem seperti ini. Dua cara paling umum adalah:
Solusi lengkap = solusi homogen + solusi khusus
Respons lengkap = Resopnse alami (input nol) + respons paksa (kondisi nol)
Karena sistemnya sama, keduanya harus menghasilkan persamaan akhir yang sama yang mewakili perilaku yang sama. Tetapi Anda dapat memisahkan mereka untuk lebih memahami apa arti setiap bagian secara fisik (khususnya metode kedua).
Pada metode pertama, Anda lebih memikirkan dari sudut pandang sistem LTI atau persamaan matematika (persamaan diferensial) di mana Anda dapat menemukan solusi homogennya dan kemudian solusi khususnya. Solusi homogen dapat dilihat sebagai tanggapan sementara dari sistem Anda terhadap input tersebut (ditambah kondisi awalnya) dan solusi khusus dapat dilihat sebagai kondisi permanen sistem Anda setelah / dengan input tersebut.
Metode kedua lebih intuitif: respons alami berarti apa respons sistem terhadap kondisi awalnya. Dan respons paksa adalah respons sistem terhadap input yang diberikan tetapi tanpa kondisi awal. Berpikir dalam hal contoh balok atau balok yang saya berikan, Anda dapat membayangkan bahwa pada titik tertentu Anda mendorongnya dengan tangan dan memegangnya di sana. Ini bisa menjadi kondisi awal Anda. Jika Anda membiarkannya pergi, itu akan berosilasi dan kemudian berhenti. Ini adalah respons alami dari sistem Anda terhadap kondisi itu.
Anda juga dapat membiarkannya pergi tetapi masih terus memberikan energi ekstra ke sistem dengan memukulnya berulang kali. Sistem akan memiliki respons alami seperti sebelumnya tetapi juga akan menunjukkan beberapa perilaku ekstra karena hit ekstra Anda. Ketika Anda menemukan respons lengkap sistem Anda dengan metode kedua, Anda dapat melihat dengan jelas apa perilaku alami sistem karena kondisi awal tersebut dan apa respons sistem jika hanya memiliki input (tanpa kondisi awal). Mereka berdua bersama-sama akan mewakili semua perilaku sistem.
Dan perhatikan bahwa respons Nol Keadaan (Paksa respons) juga dapat terdiri dari bagian "alami" dan sebagian "khusus". Itu karena meskipun tanpa kondisi awal, jika Anda memberi input ke sistem, ia akan memiliki respons sementara + respons keadaan permanen.
Contoh respons: bayangkan bahwa persamaan Anda mewakili sirkuit berikut:
Yang mana output Anda (t) adalah arus rangkaian. Dan bayangkan sumber Anda adalah sumber DC +48v. Dengan cara ini, membuat penjumlahan dari tegangan elemen dalam jalur tertutup ini, Anda mendapatkan:
ϵ = VL.+ VR
Kita dapat menulis ulang tegangan induktor dan tegangan resistor dalam hal arus:
ϵ = L dsayadt+ R i
Jika kita memiliki sumber daya + 48VDC dan L = 10H dan R = 24Ohms, maka:
48 = 10 dsayadt+ 24 i
yang merupakan persamaan tepat yang Anda gunakan. Jadi, input input Anda ke sistem (RL circuit) adalah catu daya Anda +48v saja. Jadi input Anda = 48.
Kondisi awal yang Anda miliki adalah y (0) = 5 dan y '(0) = 0. Secara fisik ini menyatakan bahwa pada = 0 saat ini, arus rangkaian saya adalah 5A tetapi tidak bervariasi. Anda mungkin berpikir bahwa sesuatu terjadi sebelumnya di rangkaian yang meninggalkan arus di induktor 5A. Jadi pada saat itu (momen awal) masih ada yang 5A (y (0) = 5) tetapi tidak meningkat atau menurun (y '(0) = 0).
Memecahkannya:
pertama-tama kita menganggap respons alami dalam format:A es t
dan kemudian kita akan menemukan perilaku sistem karena kondisi awalnya, sama seperti jika kita tidak memiliki catu daya ( ) yang merupakan respons Zero-Input:ϵ = 0
10sAest+24Aest=0
Aest(10s+24)=0
s=−2,4
Begitu,
iZI(t)=Ae−2,4t
Karena kita tahu bahwa saya (0) = 5:
i(0)=5=Ae−2,4.0
A=5
iZI(t)=5e−2,4t
Perhatikan bahwa sampai sekarang semuanya konsisten. Persamaan terakhir ini mewakili respons sistem tanpa input. Jika saya meletakkan t = 0, saya menemukan i = 5 yang sesuai dengan kondisi awal. Dan jika saya memasukkan saya akan menemukan i = 0 yang juga masuk akal jika saya tidak memiliki sumber.t=+∞
Sekarang kita dapat menemukan solusi khusus untuk persamaan yang akan mewakili keadaan permanen karena keberadaan catu daya (input):
kita asumsikan sekarang bahwa mana adalah nilai konstan yang mewakili output sistem dalam keadaan permanen karena inputnya juga merupakan konstanta. Untuk setiap sistem, format output tergantung pada format input: jika input adalah sinyal sinusoidal, output juga akan menjadi. Dalam hal ini kita hanya memiliki nilai konstan yang membuat segalanya lebih mudah.i(t)=cc
Begitu,
didt=0
kemudian,
48=0.10+24c (menggunakan persamaan diferensial)
c=2
i(∞)=2
yang juga masuk akal karena kami memiliki catu daya DC. Jadi setelah respon transien menyalakan power supply DC ON, induktor akan berperilaku seperti kawat dan kita akan memiliki rangkaian resistif dengan R = 24Ohms. Maka kita harus memiliki 2A saat ini karena catu daya memiliki 48V di dalamnya.
Tetapi perhatikan bahwa jika saya hanya menambahkan kedua hasil untuk menemukan respons yang lengkap, kita akan memiliki:
i(t)=2+5e−2,4t
Sekarang saya mengacaukan semuanya dalam keadaan sementara karena jika saya menempatkan t = 0 kita tidak lagi akan menemukan i = 5 seperti sebelumnya. Dan kita harus menemukan i = 5 ketika t = 0 karena itu adalah kondisi awal yang diberikan. Ini karena respons Zero-State memiliki istilah alami yang tidak ada di sana dan juga memiliki format yang sama seperti yang kami temukan sebelumnya. Menambahkannya di sana:
i(t)=2+5e−2,4t+Best
Konstanta waktu sama sehingga hanya meninggalkan kita B:
i(t)=2+5e−2,4t+Be−2,4t
Dan kita tahu itu:
i(t)=2+5+B=5 (t = 0)
Begitu,
B=−2
Kemudian, solusi lengkap Anda adalah:
i(t)=2+5e−2,4t−2e−2,4t
Anda mungkin memikirkan istilah terakhir ini yang kami temukan sebagai istilah koreksi dari respons paksa agar sesuai dengan kondisi awal. Cara lain untuk menemukannya adalah membayangkan sistem yang sama tetapi tidak tanpa kondisi awal. Kemudian menyelesaikan semua jalan lagi, kita akan memiliki:
iZS(t)=2+Ae−2,4t
Tetapi karena kita sekarang tidak mempertimbangkan kondisi awal (i (0) = 0), maka:
iZS(t)=2+Ae−2,4t=0
Dan ketika t = 0:
A=−2
jadi respons paksa (Nol-Negara) dari sistem Anda adalah:
iZS(t)=2−2e−2,4t
Agak membingungkan tetapi sekarang Anda dapat melihat berbagai hal dari berbagai perspektif.
-Homogen / Solusi khusus:
i(t)=ip(t)+in(t)=2+3e−2,4t
Istilah pertama (2) adalah solusi khusus dan mewakili kondisi permanen. Sisa dari sisi kanan adalah respon sementara, juga disebut solusi persamaan yang homogen. Beberapa buku menyebut ini juga respons alami dan respons paksa karena bagian pertama adalah bagian yang dipaksakan (karena catu daya) dan bagian kedua adalah bagian yang sementara atau alami (karakteristik sistem). Ini adalah cara tercepat untuk menemukan respons lengkap yang saya kira, karena Anda hanya perlu menemukan kondisi permanen dan respons alami sekali. Tetapi mungkin tidak jelas apa yang mewakili apa.
Input -Nol / keadaan nol:
i(t)=iZS(t)+iZI(t)=2−2e−2,4t+5e−2,4t
perhatikan bahwa ini adalah persamaan yang sama tetapi suku kedua terbagi dua. Sekarang, dua istilah pertama ( ) mewakili respons Zero-State. Dengan kata lain, apa yang akan terjadi pada sistem jika tidak ada arus awal dan Anda menyalakan sumber daya + 48V.2−2e−2,4t
Bagian kedua ( ) mewakili respons Zero-Input. Ini menunjukkan kepada Anda apa yang akan terjadi pada sistem jika tidak ada input yang diberikan (sumber daya tetap dalam 0v). Ini hanya istilah eksponensial yang akan menjadi nol karena tidak memiliki input.5e−2,4t
Beberapa orang juga menyebut format respons Alami / Terpaksa ini. Bagian alami adalah Zero-Input dan bagian Paksa akan menjadi Zero-State, yang omong-omong disusun oleh istilah alami dan istilah tertentu.
Sekali lagi, mereka semua akan memberi Anda hasil yang sama yang mewakili seluruh perilaku situasi termasuk sumber daya dan kondisi awal. Harap perhatikan bahwa dalam beberapa kasus mungkin berguna untuk menggunakan metode kedua. Salah satu contoh yang baik adalah ketika Anda menggunakan konvolusi dan Anda mungkin menemukan respons impuls ke sistem Anda dengan Zero-State. Jadi, melanggar ketentuan-ketentuan itu dapat membantu Anda melihat sesuatu dengan jelas dan juga menggunakan istilah yang memadai untuk berbelit-belit.