Bukti matematis bahwa tegangan RMS dikali arus RMS memberikan daya rata-rata

10

Saya tahu ini benar karena saya membacanya di sumber yang memiliki reputasi baik. Saya juga mengerti secara intuitif bahwa daya sebanding dengan kuadrat tegangan atau arus untuk beban resistif, dan bahwa "S" dalam RMS adalah untuk "kuadrat". Saya mencari bukti matematika yang sulit.

Biarkan menunjukkan arus pada saat , dan juga menunjukkan tegangan pada saat itu. Jika kita dapat mengukur tegangan dan arus di semua instants, dan ada instants, maka daya nyata yang tampak adalah: $I_i$ $i$ $V_i$ $n$

P = \frac{1}{n} \sum_{i = i}^{n} I_{i} V_{i}

$P = \frac{1}{n} \sum_{i=i}^n I_i V_i$

Apa bukti matematis yang elegan itu

P = I_{R M S} V_{R M S}

$P = I_{RMS} V_{RMS}$

mencapai hasil yang sama untuk beban resistif?

power math rms

— Phil Frost
sumber

Jika saya ingat dengan benar, harus ada bukti yang menyatakan bagaimana RMS adalah perkiraan terdekat dari nilai aktual sinyal dalam durasi waktu yang diinginkan. Dengan menggunakan itu, kita mungkin dapat membuktikan bahwa . Sayangnya, sepertinya saya kehilangan buku yang punya bukti itu. :(

P = I_{r m s} V_{r m s} = \frac{1}{T 2 - T 1} \int_{T 1}^{T 2} V (t) I (t) d t

$P=I_{rms}V_{rms}=\frac{1}{T2-T1} \int_{T1}^{T2}V(t)I(t)dt$

— AndrejaKo

Kali RMS saat ini Tegangan RMS tidak sama dengan daya rata-rata. Itu sama dengan (jelas) kekuatan nyata. Jika Anda punya banyak muatan non-resistif, ini bisa membuat perbedaan.

— SeseorangDukungan Di Luar NegeriMonica

16

Hukum Ohm

1 : V (t) = I (t) R

$1: V(t) = I(t)R$

Disipasi daya sesaat adalah produk dari tegangan dan arus

2 : P (t) = V (t) I (t)

$2: P(t) = V(t)I(t)\\$

Ganti 1 menjadi 2 untuk mendapatkan daya sesaat melalui resistor dalam hal tegangan atau arus:

3 : P (t) = I^{2} (t) R = \frac{V^{2} (t)}{R}

$3: P(t) = I^2(t)R = \frac{V^2(t)}{R}\\$

Kekuatan rata-rata secara definitif merupakan bagian integral dari kekuatan sesaat dalam suatu periode, dibagi dengan periode itu. Ganti 3 ke dalam untuk mendapatkan daya rata-rata dalam hal tegangan dan arus.

4 : P_{a v g} = \frac{\int_{0}^{T} P (t) d t}{T} = \frac{R \int_{0}^{T} I^{2} (t) d t}{T} = \frac{\int_{0}^{T} V^{2} (t) d t}{R T}

$4: P_{avg}=\frac{\int_0^T{P(t)dt}}{T}=\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}\\$

Definisi RMS saat ini Segi dua sisi Kalikan dengan R untuk menemukan persamaan 4 untuk daya rata-rata Definisi tegangan RMS kedua sisi Dibagi dengan R untuk menemukan persamaan 4 untuk daya rata-rata Gandakan ekspresi 7 dan 10 untuk daya rata-rata Akar kuadrat dari kedua sisi

5 : I_{R M S} = \sqrt{\frac{\int_{0}^{T} I^{2} (t) d t}{T}}

$5: I_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}}\\$

6 : I_{R M S}^{2} = \frac{\int_{0}^{T} I^{2} (t) d t}{T}

$6: I_{RMS}^2 =\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}\\$

7 : I_{R M S}^{2} R = \frac{R \int_{0}^{T} I^{2} (t) d t}{T} = P_{a v g}

$7: I_{RMS}^2R =\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=P_{avg}\\$

8 : V_{R M S} = \sqrt{\frac{\int_{0}^{T} V^{2} (t) d t}{T}}

$8: V_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{T}}\\$

9 : V_{R M S}^{2} = \frac{\int_{0}^{T} V^{2} (t) d t}{T}

$9: V_{RMS}^2=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{T}\\$

10 : \frac{V_{R M S}^{2}}{R} = \frac{\int_{0}^{T} V^{2} (t) d t}{R T} = P_{a v g}

$10: \frac{V_{RMS}^2}{R}=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}=P_{avg}\\$

11 : P_{a v g}^{2} = V_{R M S}^{2} I_{R M S}^{2}

$11: P_{avg}^2=V_{RMS}^2I_{RMS}^2\\$

12 : P_{a v g} = V_{R M S} I_{R M S}

$12: P_{avg} = V_{RMS}I_{RMS}\\$ QED

— Stephen Collings
sumber

6

Bukti yang sangat sederhana (dalam kasus pengambilan sampel diskrit dalam pertanyaan) adalah dengan menggantikan E / R untuk I dalam persamaan RMS

x_{r m s} = \sqrt{\frac{1}{n} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x + \dots + x_{n}^{2})} .

$x_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac1n(x_1^2+x_2^2+x+\cdots+x_n^2)}.$

dan aljabar yang sangat sederhana.

Dan ya, ini benar karena ditentukan bahwa kami memiliki beban resistif murni sehingga tidak ada masalah sudut fase dan tidak ada harmonik hadir di I yang juga tidak hadir di E.

EDIT

definisi RMS untuk poin diskrit (dari Wikipedia):

x_{r m s} = \sqrt{\frac{1}{n} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2})}

$x_{\mathrm{rms}} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \right) }$

jadi

V_{R M S} = \sqrt{\frac{1}{n} (V_{1}^{2} + V_{2}^{2} + \dots + V_{n}^{2})}

$V_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$

dan

I_{R M S} = \sqrt{\frac{1}{n} (I_{1}^{2} + I_{2}^{2} + \dots + I_{n}^{2})}

$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( I_1^2 + I_2^2 + \cdots + I_n^2 \right) }$

dan oleh Hukum Ohm substitusi:

I_{i} = V_{i} / R

$I_i = V_i/R$

I_{R M S} = \sqrt{\frac{1}{n} ((V_{1} / R)^{2} + (V_{2} / R)^{2} + \dots + (V_{n} / R)^{2})}

$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( (V_1/R)^2 + (V_2/R)^2 + \cdots + (V_n/R)^2 \right) }$

kemudian:

I_{R M S} = \sqrt{\frac{1}{n} (V_{1}^{2} / R^{2} + V_{2}^{2} / R^{2} + \dots + V_{n}^{2} / R^{2})}

$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2/R^2 + V_2^2/R^2 + \cdots + V_n^2/R^2 \right) }$

Menarik keluar 1 / R ^ 2

I_{R M S} = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{1}{n} (V_{1}^{2} + V_{2}^{2} + \dots + V_{n}^{2})}

$I_{RMS} = \frac{1}{R}\sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$

begitu:

V_{R M S} * I_{R M S}

$V_{RMS} * I_{RMS}$ adalah:

1 / R (\frac{1}{n} (V_{1}^{2} + V_{2}^{2} + \dots + V_{n}^{2}))

$1/R( \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right))$

mendistribusikan 1 / R:

(\frac{1}{n} (V_{1}^{2} / R + V_{2}^{2} / R + \dots + V_{n}^{2} / R))

$( \frac{1}{n} \left( V_1^2/R + V_2^2/R + \cdots + V_n^2/R \right))$

Menggunakan subtitusi Hukum Ohm lagi:

(\frac{1}{n} (V_{1} I_{1} + V_{2} I_{2} + \dots + V_{n} I_{n}))

$( \frac{1}{n} \left( V_1I_1 + V_2I_2 + \cdots + V_nI_n \right))$

yang mana:

\frac{1}{n} \sum_{i = i}^{n} I_{i} V_{i}

$\frac{1}{n} \sum_{i=i}^n I_i V_i$

— George White
sumber

Jika aljabarnya sederhana, dapatkah Anda menunjukkannya kepada kami? Anda dapat menggunakan markup LaTeX untuk mengeset matematika.

— Phil Frost

4

Terima kasih atas dorongannya. Saya belum pernah menggunakan LaTex sejak 1983.

— George White

0

Kuncinya adalah bahwa untuk beban resistif, tegangan dan arus berada dalam fase.

Jika tegangan dan arus keduanya , maka produk mereka diberikan oleh persamaan . Daya adalah gelombang sinus dua kali frekuensi, yang berosilasi sekitar . Ini adalah rata-rata dari waktu ke waktu ("rata-rata" dari "kotak"). Akar dari mean square adalah . Di situlah kita mendapatkan nomor ajaib itu. $\sin(t)$ $\sin^2(t) = 1/2 + 1/2 \sin(2t)$ $1/2$ $\sqrt{1/2} = 1/\sqrt{2} = \sqrt{2}/2 \approx 0.707$

Tegangan akar kuadrat atau arus adalah tegangan dan arus ekivalen DC yang akan menghasilkan disipasi daya yang sama dari waktu ke waktu . Jika disipasi daya rata-rata adalah W, maka disipasi daya tersebut dapat terus diproduksi oleh VDC dikalikan dengan A DC. $1/2$ $\sqrt{2}/2$ $\sqrt{2}/2$

Jika arus dan tegangan di luar fase 90 derajat (beban reaktif murni), maka kita dapat menganggap satu sebagai dan yang lainnya . Kesetaraan yang berlaku adalah . Bentuk gelombang daya tidak lagi "bias" berosilasi sekitar ; rata-ratanya adalah nol: daya mengalir masuk dan keluar dari beban pada setengah siklus alternatif, saat gelombang daya berayun positif dan negatif. $\cos(t)$ $\sin(t)$ $\sin(t)\cos(t) = 1/2 \sin(2t)$ $1/2$

Jadi untuk menjawab pertanyaan, tegangan dan arus RMS ditentukan berdasarkan daya rata-rata: masing-masing berasal dari akar kuadrat dari daya rata-rata. Mengalikan dua nilai bersama yang diperoleh dari akar kuadrat dari daya rata-rata, memulihkan daya rata-rata.

— Kaz
sumber

Saya pikir jawaban Stephen Colling adalah yang terbaik. Itu tidak bergantung pada rincian bentuk gelombang dan mencakup kasus kontinu. Juga, "Akar kuadrat tegangan atau arus adalah tegangan dan arus ekivalen DC yang akan menghasilkan disipasi daya yang sama dari waktu ke waktu" tampaknya menjawab pertanyaan dengan mengasumsikan jawabannya dan kemudian berputar-putar untuk mendapatkan jawaban.

— George White

-2

Mari kita lebih menyederhanakan masalah ini tanpa matematika. Ambil rangkaian sederhana ini yang menghasilkan bentuk gelombang persegi dengan periode 10 detik.

masukkan deskripsi gambar di sini

Tegangannya seperti ini

masukkan deskripsi gambar di sini

dan saat ini

masukkan deskripsi gambar di sini

Maka bentuk gelombang daya akan

masukkan deskripsi gambar di sini

Ketika sakelar terbuka, tidak ada daya yang dikirim ke resistor sehingga energi totalnya adalah 10 watt X 5 detik = 50 Joule, dan itu sama seperti kita menerapkan 5 watt dalam 10 detik masukkan deskripsi gambar di sini

dan ini adalah kekuatan rata-rata. Tegangan rata-rata adalah 5 volt dan arus rata-rata adalah 0,5 ampere. Melakukan perhitungan sederhana, hasil rata-rata daya 2,5Watt atau 25 Joule yang tidak benar.

Jadi mari kita buat trik ini DENGAN PESANAN INI:

Kuadrat pertama tegangan (dan arus)
Kedua, ambil rata-rata bujur sangkar
Kemudian ambil akar kuadrat dari rata-rata

Kuadrat dari bentuk gelombang tegangan akan

masukkan deskripsi gambar di sini

Dan rata-rata adalah 50V ^ 2 (bukan 50 ^ 2 volt). Dari titik ini lupakan tentang bentuk gelombang. Hanya nilai. Akar kuadrat dari nilai di atas adalah 7.071 ... volt RMS. Melakukan hal yang sama dengan arus akan ditemukan 0,7071..A RMS Dan daya rata-rata 7,071V x 0,7071A = 5 Watt

Jika Anda mencoba untuk melakukan hal yang sama dengan kekuatan RMS hasilnya akan menjadi rata-rata 7.071Watt.

Jadi satu-satunya kekuatan pemanasan yang setara adalah daya rata-rata dan satu-satunya cara untuk menghitung adalah dengan menggunakan nilai rms dari tegangan dan arus

— GR Tech
sumber

Tidak bisakah kita menghitung daya rata-rata yang dihamburkan dalam sebuah resistor sebagai rata-rata daya sesaat? Di mana bukti matematis yang diminta OP?

— Joe Hass

Untuk beberapa bentuk gelombang kompleks tentunya kita harus mengintegrasikannya menggunakan interval waktu mendekati nol untuk nilai rata-rata yang tepat. Saya menghindari menggunakan matematika sama sekali, itu sebabnya saya menggunakan gelombang persegi yang sangat mudah untuk melihat arti rata-rata. RMS juga merupakan nilai rata-rata.

— GR Tech

Tampak bagi saya bahwa Anda menunjukkan bahwa daya rata-rata aktual adalah 5 watt dan bahwa RMS V * RMS I = 5 watt menunjukkan, untuk kasus ini, bahwa OP benar. Anda juga menunjukkan bahwa, dalam hal ini, rata-rata V * rata-rata I = 2,5 watt.

— George White

Baik, saya mengerti. Masalah bahasa lagi. Apa yang saya coba katakan adalah bahwa perhitungan Vavg x Iavg tidak benar. Terima kasih telah mencegah saya!

— GR Tech

Jika "RMS juga merupakan nilai rata-rata" maka mengapa tidak nilai RMS dari tegangan saluran listrik sama dengan 0,0V seperti nilai rata-rata?

— Joe Hass