Apa nilai-nilai singular dari sistem dinamis dan bagaimana mereka dihitung dalam fungsi * sigma * di Matlab?

Menurut dokumentasi Matlab:

sigma memplot nilai singular dari respons frekuensi sistem dinamis.

bode menciptakan plot Bode dari respons frekuensi sistem dinamis.

Saya cukup akrab dengan plot Bode dan sistem dinamis tetapi saya tidak mengerti apa nilai-nilai tunggal dari sistem atau bagaimana mereka dihitung. Apakah mereka terkait dengan besarnya sistem (yang dapat dihasilkan oleh pertanda )?

Sebagai referensi, saya memiliki sistem state-space diskrit yang saya coba modelkan sebagai sistem pesanan yang dikurangi. Salah satu makalah yang telah saya gunakan untuk mencapai ini menyebutkan menggunakan fungsi sigma untuk membandingkan dua model. Makalah ini adalah 'Dekomposisi Mode Dinamis dengan Kontrol' oleh JLProctor.

Setiap bantuan dengan memahami nilai-nilai tunggal atau fungsi sigma ini akan dihargai.

— Joe
sumber

Nilai singular IMO dan pseudo-invers Moore-Penrose harus benar-benar dicakup dalam kursus Aljabar Linier, tetapi seringkali tidak. Dekomposisi nilai singular dari setiap (tidak harus kuadrat!) Matriks adalah , di mana dan adalah matriks ortogonal dan adalah matriks diagonal dari nilai Singular, yang selalu . dan adalah vektor eigen dari matriks persegi dan . Algoritma numerik untuk menghitung SVD mirip dengan algoritma untuk menemukan nilai eigen dan vektor. Lihat buku teks aljabar linier untuk lebih detail.

A

$A$

A = U Σ V^{T}

$A = U \Sigma V^T$

U

$U$

V

$V$

Σ

$\Sigma$

>= 0

$>= 0$

U

$U$

V

$V$

A^{T} A

$A^TA$

A A^{T}

$AA^T$

— alephzero

Terimakasih telah menjawab. Apakah Anda tahu bagaimana ini terkait dengan fungsi sigma ? Seperti pada, matriks mana yang sedang diuraikan ketika dikatakan 'nilai singular dari respons frekuensi sistem dinamis.'

— Joe

Untuk sistem MIMO , dengan input dan output. Pertimbangkan frekuensi tetap mana adalah konstanta matriks kompleks. Demi kesederhanaan matriks ditulis sebagai . $y(s) = G(s)d(s)$ $m$ $l$ $\omega$ $G(j\omega)$ $l \times m$ $G(j\omega)$ $G$

Singkatnya, dekomposisi nilai singular (SVD) menyatakan bahwa setiap matriks dapat didekomposisi menjadi rotasi input , matriks penskalaan dan rotasi keluaran $G$ $V$ $\Sigma$ $U$

G = U Σ V^{H}

$G = U \Sigma V^H$ di mana menunjukkan transpos konjugat atau transpos Hermitian matriks . Selanjutnya,

V^{H}

$V^H$

V

$V$

$U$ adalah matriks kesatuan vektor keluaran tunggal, ; $l \times l$ $u_i$
$V$ adalah matriks kesatuan input vektor singular, ; $m \times m$ $v_i$
$\Sigma$ adalah matriks diagonal dengan nilai singular non-negatif, . $l \times m$ $k = \min\lbrace l,m\rbrace$ $\sigma_i$

Gain dari matriks dalam arah ke - (dari input ke output ) diberikan oleh nilai singular . $G$ $i$ $v_i$ $u_i$ $\sigma_i$

Karenanya, untuk sistem SISO, nilai singular menggambarkan amplifikasi dari input ke output pada frekuensi . Informasi ini juga dapat diperoleh dari respons magnitudo Bode. $\sigma$ $\omega$

Itulah sebabnya dokumentasi MATLAB dari fungsi sigma menyatakan:

Respon nilai singular dari sistem SISO identik dengan respons magnitudo Bode-nya.

— Organisme Berbasis Kopi
sumber