Bagaimana saya bisa menghasilkan persamaan pengembalian berkurang sederhana?

Ada rumus di luar sana untuk persamaan pengembalian yang berkurang; Namun, itu biasanya melibatkan eksponensial. Apa cara lain untuk menghasilkan persamaan seperti itu? Sebagai contoh, ambil contoh uji berikut - Satu tambak menghasilkan 10 makanan, untuk setiap 10 tambak yang diproduksi, tingkat produksi turun 5%.

Untuk merumuskan persamaan pengembalian yang semakin berkurang, saya akan segera memikirkan pecahan.

Ini adalah grafik y=1/F

yakan semakin kecil karena Fsemakin besar. Ini akan memberi Anda drop-off stabil yang tidak pernah mencapai 0. Dari sini Anda dapat mengubahnya untuk mendapatkan jenis kurva yang Anda inginkan. Menggunakan angka> 0 akan selalu memberikan hasil positif yang tidak pernah 0.

Sejujurnya, saya akan merekomendasikan pergi ke WolframAlpha dan memasukkan beberapa persamaan dan melihat grafik yang ditarik untuk melihat apakah itu memberikan kurva yang Anda inginkan. Selain itu, baca persamaan linear dan kuadrat untuk dapat dengan cepat mencari tahu apa yang ingin Anda ubah dalam rumus. Ini karena memodelkan grafik melalui persamaan adalah sedikit topik besar, dan jika saya bisa menjelaskannya di sini dengan sempurna saya akan menjual penjelasan itu kepada beberapa guru matematika terlebih dahulu.

Pada dasarnya, untuk grafik linier, ingat y=mx+c. madalah gradien, dan bisa positif atau negatif tergantung pada apa yang Anda butuhkan, dan cmerupakan titik di mana ia memotong y axis. xadalah variabel input Anda dan youtput Anda.

Ini adalah grafik dari y=mx+cmana m=1danc=0

Untuk grafik kuadrat, ini menjadi sedikit lebih rumit, jadi saya akan sedikit kabur dan Anda harus membaca sendiri spesifikasinya. Khan Academy adalah sumber yang sangat bagus untuk mengajarkan ini. Ini dari bentuk umum y=ax²+bx+c. cmasih mencegat y, dan Anda dapat men-tweak untuk "mengangkat" grafik. adan bkeduanya mempengaruhi kurva sama, tetapi pada derajat yang berbeda.

Ini y=-x²+2x+10. Perhatikan -x², yang membuat kurva terbalik.

Pada dasarnya, bermain-main dengan grafik sampai Anda mendapatkan apa yang Anda inginkan, meskipun saya sangat merekomendasikan untuk membacanya lebih banyak jika Anda ingin merancang pengalaman dengan cepat dan bersih. Persamaan dasar penting untuk permainan dan sangat menarik.

Hal lain yang perlu diperhatikan adalah grafik eksponensial dan logaritmik , yaitu grafik dari y=e^xdan y=ln(x)untuk mendapatkan grafik yang bertambah dengan cepat dan menurun dengan cepat tergantung pada transformasi. Selain itu, vektor dan transformasi sangat membantu, karena vektor menggambarkan apa yang Anda lakukan pada grafik "dasar".

Pengembalian berkurang = penurunan turunan

• Karena Anda masih menginginkan beberapa pengembalian bahkan pada tingkat yang lebih tinggi berarti turunannya harus positif, jika tidak membangun lebih banyak pertanian akan mengurangi produksi makanan (yang bahkan mungkin masuk akal jika Anda memperhitungkan logistik dan biaya pemeliharaan)
• Seharusnya mendekati nol asimtotik, jika itu menuju ke nilai non-nol Anda akan berakhir dengan peningkatan konstan per tambak pada tingkat tertentu
• tergantung pada seberapa cepat ia pergi ke nol Anda dapat memiliki batas atas atau fungsi yang tidak terikat

Jadi apa yang harus Anda lakukan? Pilih fungsi yang sesuai dengan kriteria di atas dan mengintegrasikannya.
Pilihan paling sederhana untuk tugas ini adalah di g(t,n) = 1/(t+1)^nmana n=1menandai batas antara fungsi yang semakin meningkat dan dibatasi.
Integral dari g dari 0 hingga x adalah yang Anda butuhkan: f(x,n) = ((x+1)**(1-n) - 1)/(1-n)
Ini adalah bagaimana tampilannya berbedan

Dan di sini dinormalisasi dengan nilai akhir yang sama

Dengan mengubah eksponen, nAnda dapat dengan mudah menyesuaikan keseimbangan.
Catatan: Turunannya di sini adalah produksi per tambak, sedangkan integralnya adalah total produksi untuk sejumlah tambak

Secara umum, persamaan linear akan dimulai dengan y = mx + b, di mana bnilai awal Anda, dan mxbagaimana Anda menyesuaikan nilai awal dengan xkenaikan.

Jadi, bagian pertama dari persamaan Anda, adalah b, 10karena Anda ingin peternakan mulai dari 10 makanan.

y = mx + 10

Selanjutnya, dalam kasus Anda, Anda ingin menyesuaikan makanan dengan diproduksi oleh setiap sepuluh peternakan. Jadi, Anda harus membaginya dengan sepuluh untuk mendapatkan persamaan yang bekerja untuk setiap sepuluh peternakan (dengan asumsi bahwa x / 10mengembalikan bilangan bulat, yaitu 13 / 10 = 1:

y = m * (x / 10) + 10.

Jadi akhirnya, kita perlu mencari tahu bagaimana kita ingin makanan berubah untuk setiap x / 10peternakan. Dalam kasus Anda, Anda ingin mengurangi 0,5 (5% dari 10), yang linear. Jadi kita dapatkan:

y = -0.5 * ( x / 10 ) + 10.

Jadi untuk pertanian x = 5, kita dapatkan 5 / 10 = 0, 0 * -0.5 = 0, 0 + 10 = 10. Untuk pertanian yang x = 11kita dapatkan 11 / 10 = 1, 1 * -0.5 = -0.5, -0.5 + 10 = 9.5, untuk pertanian 23, kita akan mendapatkan 9.0.

Maka Anda hanya perlu menghitung total makanan untuk semua peternakan.

y = 0
for( x = 0; x < totalFarms; x++ )
{
    y += -5 * ( x / 10 ) + 10;
}

Tapi mungkin Anda 5%, Anda ingin berkurang 5% dari nilai sebelumnya. Yaitu, 10, 10 * 0.95 = 9.5, 9.5 * 0.95 = 9.025(dalam hal ini, jumlah yang kami kurangi semakin sedikit). Jadi mari kita modifikasi persamaannya. 5%adalah peningkatan tipe eksponensial, dan rumus eksponensial adalah y = b*m^x.

Kami masih punya b = 10, dan kami perlu melakukan pembagian dengan 10 trik. Jadi kita punya y = 10*m^(x/10). madalah 0.95, karena kami ingin mengambil 95% dari nilai setiap kali. Jadi persamaan untuk pertanian xadalah y = 10*0.95^(x/10).

Akankah pengembalian linear berkurang dilakukan? produksi per tambak = (1 - (0,05 * (f / 10))) * tingkat produksi. Ini memberikan total produksi (tingkat * # pertanian) puncak pada f = 100.

Anda mungkin ingin mempertimbangkan solusi algoritmik yang cocok dengan situasi tersebut.

Artinya, pertimbangkan mengapa ada pengembalian yang semakin berkurang dalam situasi gim Anda, dan modelkan itu.

Beberapa fasilitas dengan tipe yang sama mungkin memiliki pengembalian yang semakin berkurang adalah bahwa mungkin ada sumber daya atau fasilitas lain yang menjadi sandarannya, atau yang mengakibatkan kemacetan, atau situasi terbatas lainnya, seperti jaringan jalan, atau pekerja yang tersedia atau transportasi atau air bersih atau listrik atau apa pun.

Satu peternakan dapat menghasilkan 10 makanan per hari dalam kondisi ideal, tetapi itu juga membutuhkan dua petani-jam per hari. Itu juga membutuhkan satu air segar per makanan per hari, dan sumurnya sendiri hanya menyediakan hingga 5 air per hari. Sisanya harus diambil dari aliran atau sungai yang berdekatan atau dibawa dengan transportasi. Dan membawa makanan ke tempat yang diperlukan agar bermanfaat juga bisa menjadi masalah. Dll Hapus beberapa atau tambahkan lebih banyak tergantung pada apa yang ingin Anda wakili, tetapi ini bisa menjadi alasan yang jauh lebih menarik dan bermakna, yang menambah minat dan nilai pada sistem gim Anda yang lain, sebagai lawan dari rumus matematika buatan yang tidak didasarkan pada elemen gim lain .

Jika Anda ingin persamaan umum untuk dipusingkan, Anda bisa menggunakan grafik cosinus: A * cos (Bx + C) + D

Tetapi memodifikasinya menjadi setengah periode, sehingga akan mencakup kenaikan eksponensial semu di awal, kemudian periode singkat peningkatan linear, ke titik pengembalian yang akhirnya berkurang. Satu-satunya masalah dengan ini adalah bahwa itu perlu untuk membuat langit-langit yang tidak bisa dilewati. Jadi setelah jumlah pertanian tertentu Anda tidak akan melihat peningkatan.

Gambar di bawah ini adalah grafik peningkatan kecepatan selama 30 menit berjalan, melakukan latihan yang sama persis dalam persiapan. Ini jelas tidak sempurna, tetapi Anda mungkin bisa mengatasi ini untuk menemukan apa yang Anda cari.