Salah satu kolega saya bekerja dengan data yang tersebar di dua zona UTM. Sebagian besar data berada di satu zona, dengan beberapa pencilan di zona lain. Dia ingin tahu apa yang akan menjadi distorsi area outlier jika mereka berada di zona UTM utama.
Apakah ada rumus untuk menghitung distorsi areal mengetahui seberapa jauh fitur zona UTM lainnya?
Jawaban:
UTM menggunakan proyeksi Mercator transversal dengan faktor skala 0,9996 di meridian pusat. Di Mercator, faktor skala jarak adalah garis potong garis lintang (satu sumber: http://en.wikipedia.org/wiki/Mercator_projection ), di mana faktor skala area adalah kuadrat dari faktor skala ini (karena berlaku dalam semua arah, Mercator sedang menyesuaikan diri). Memahami garis lintang sebagai jarak bola ke garis khatulistiwa , dan mendekati elipsoid dengan bola, kita dapat menerapkan rumus ini untuk setiap aspek proyeksi Mercator. Demikian:
Faktor skala adalah 0,9996 kali garis potong dari (sudut) jarak ke meridian pusat. Faktor skala area adalah kuadrat dari kuantitas ini.
Untuk menemukan jarak ini, perhatikan segitiga berbentuk bola yang dibentuk oleh perjalanan sepanjang geodesik dari titik sembarang di (lon, lat) = (lambda, phi) lurus ke arah meridian pusat di garis bujur mu, di sepanjang meridian ke kutub terdekat, dan kemudian kembali sepanjang meridian lambda ke titik aslinya. Giliran pertama adalah sudut kanan dan yang kedua adalah sudut lambda-mu. Jumlah perjalanan sepanjang bagian terakhir adalah 90 derajat phi. The Bulat Hukum Sines diterapkan untuk ini negara segitiga
sin (lambda-mu) / sin (jarak) = dosa (90 derajat) / dosa (90-phi)
dengan solusi
distance = ArcSin (sin (lambda-mu) * cos (phi)).
Jarak ini diberikan sebagai sudut, yang nyaman untuk menghitung garis potong.
Contoh
Pertimbangkan UTM zona 17, dengan meridian pusat di -183 + 17 * 6 = -81 derajat. Biarkan lokasi terpencil berada di bujur -90 derajat, lintang 50 derajat. Kemudian
Langkah 1: Jarak bola dari (-90, 50) ke -81 derajat meridian sama dengan ArcSin (sin (9 derajat) * cos (50 derajat)) = 0,1007244 radian.
Langkah 2: Distorsi area sama dengan (0,9996 * dtk (0,1007244 radian)) ^ 2 = 1,009406.
(Perhitungan numerik dengan ellipsoid GRS 80 memberikan nilai sebagai 1,009435, menunjukkan bahwa jawaban yang kami hitung adalah 0,3% terlalu rendah: itu adalah urutan besarnya yang sama dengan perataan ellipsoid, menunjukkan kesalahan karena perkiraan bola.)
Perkiraan
Untuk merasakan bagaimana perubahan area, kita dapat menggunakan beberapa identitas trigonometri untuk menyederhanakan ekspresi keseluruhan dan memperluasnya sebagai deret Taylor dalam lambda-mu (perpindahan antara bujur titik dan bujur dari meridian pusat UTM). Ini berhasil
Faktor skala area ~ 0.9992 * (1 + cos (phi) ^ 2 * (lambda-mu) ^ 2).
Seperti halnya semua ekspansi semacam itu, sudut lambda-mu harus diukur dalam radian. Kesalahan kurang dari 0,9992 * cos (phi) ^ 4 * (lambda-mu) ^ 4, yang dekat dengan kuadrat perbedaan antara aproksimasi dan 1 - yaitu, kuadrat nilai setelah titik desimal .
Dalam contoh dengan phi = 50 derajat (dengan kosinus 0,642788) dan lambda-mu = -9 derajat = -0,15708 radian, perkiraan memberikan 0,9992 * (1 + 0,642788 ^ 2 * (-0,15708) ^ 2) = 1,009387. Melihat melewati titik desimal dan kuadrat, kami menyimpulkan (bahkan tanpa mengetahui nilai yang benar) bahwa kesalahannya tidak boleh lebih besar dari (0,009387) ^ 2 = kurang dari 0,0001 (dan sebenarnya kesalahannya hanya seperlima dari ukuran itu).
Dari analisis ini terbukti bahwa pada lintang tinggi (di mana cos (phi) kecil), kesalahan skala akan selalu kecil; dan pada lintang yang lebih rendah, kesalahan skala area akan berperilaku seperti kuadrat dari perbedaan pada bujur.
Alat GeographicLib, GeoConvert
http://geographiclib.sf.net/html/GeoConvert.1.html
memungkinkan tumpang tindih yang luas antara zona UTM (khususnya, konversi ke zona tetangga diperbolehkan asalkan hasil yang dihasilkan adalah dalam rentang [0km, 1000km]). GeoConvert juga dapat melaporkan konvergensi dan skala meridian dan, seperti dicatat whuber, distorsi area adalah kuadrat dari skala.
Misalnya, zona "utama" Anda adalah 42 dan Anda diberi titik
41N 755778 3503488
(Universitas Kandahar) yang berjarak sekitar 29 km barat zona 42. Untuk mengubahnya menjadi zona 42, gunakan
gema 41N 755778 3503488 | GeoConvert -u -z 42 ==> 42N 186710 3505069
Untuk menentukan konvergensi meridian dan skala di zona 42, tambahkan bendera -c
gema 41N 755778 3503488 | GeoConvert -u -z 42 -c == -1 -13405 1.0008107
Jadi distorsi area adalah 1.0008107 ^ 2 = 1,0016221.