Ini adalah hasil pemetaan jalur garis lurus dari titik di AS ke Polandia menggunakan Distance Measurement Tool .
Juga, pesawat dari Asia ke AS akan melakukan perjalanan hampir di Kutub Utara.
Mengapa jalannya begitu melengkung? Saya setuju bahwa ini adalah representasi datar dari sebuah bola, jadi saya mengharapkan busur, tapi saya tidak berpikir bumi memiliki kelengkungan sebanyak ini.
Apa yang kulewatkan di sini?
Jawaban:
Lihat saja jalan di bola. Ini dia di Google Earth:
Jalur pada peta Anda sangat melengkung karena peta Anda menggunakan proyeksi dengan banyak distorsi. (Distorsi tumbuh tanpa terikat ke kutub dan jalan ini semakin dekat dengan kutub utara.)
Distorsi diperlukan untuk menjelaskan kelengkungan geodesik ini pada peta tetapi hubungan di antara keduanya tidak kentara. Lebih banyak lagi yang bisa dikatakan bermanfaat, informatif, dan elegan. Lihat apakah Anda setuju.
Peta OP menggunakan proyeksi Mercator. Sifat-sifatnya yang menonjol adalah adanya
Silindris : khususnya, garis meridian adalah garis vertikal pada peta,
Konformal : sudut mana saja di mana dua jalur melintasi bumi akan ditampilkan dengan benar di peta, dan
Loxodromic : setiap rute bantalan konstan (di bumi) diberikan sebagai segmen garis lurus pada peta.
Properti ini membuatnya mudah untuk membaca beberapa informasi penting langsung dari peta. Dalam konteks ini saya paling tertarik pada sudut yang dibuat oleh jalan mana pun dengan setiap meridian yang dilintasi. (Ini adalah bantalan yang diukur dari utara.) Misalnya, jalan yang digambarkan dalam pertanyaan dimulai di Kanada, sekitar 54 derajat lintang, membuat sudut sekitar 30 derajat dengan meridiannya.
Apa yang juga perlu kita ketahui tentang suatu titik di 54 derajat lintang adalah bahwa ia lebih dekat ke poros bumi daripada titik di sepanjang garis khatulistiwa. Bahkan, itu cos (54) * R dari sumbu, di mana R adalah jari-jari bumi. (Ini pada dasarnya adalah definisi dari cosinus. Ini membantu untuk memiliki keakraban dengan cosinus, sehingga Anda memahami bagaimana mereka berperilaku, tetapi Anda tidak benar-benar perlu mengetahui trigonometri lainnya sama sekali. Saya berjanji. Yah, satu hal lagi: yang sinus dari sudut adalah cosinus komplemen nya. Misalnya, dosa (32 derajat) = cos (90-32) = cos (58).)
Akhirnya, perhatikan bahwa bumi secara simetris berputar pada porosnya. Ini memungkinkan kita memohon Clairaut cantik
Teorema (1743): Pada lintasan di setiap permukaan halus revolusi, produk jarak ke sumbu dengan sinus bantalan adalah konstan jika dan hanya jika lintasan secara geodesi lokal.
Jadi, karena kita mulai dari garis lintang 54 derajat pada sudut 30 derajat, produk dalam teorema sama dengan cos (54) * R * sin (30) = 0,294 * R.
Bagaimana ini membantu? Nah, pertimbangkan apa yang akan terjadi jika jalan terus kira-kira lurus di peta . Cepat atau lambat ia akan naik ke garis lintang 73 derajat. Dengan menggunakan teorema Clairaut kita dapat memecahkan masalah pada garis lintang ini:
cos(73) * R * sin(bearing) = 0.294 * R;
sin(bearing) = 0.294 / cos(73) = 1;
bearing = 90 degrees.
Ini mengatakan bahwa pada saat kita mencapai garis lintang 73 derajat, kita harus melakukan perjalanan ke timur ! Yaitu, jalan, untuk menjadi geodesik, harus melengkung begitu kuat sehingga bantalan awal 30 derajat (timur utara) menjadi 90 derajat (timur utara).
(Tentu saja saya menemukan nilai 73 derajat dengan menyelesaikan persamaan cos (latitude) = cos (latitude) * sin (90) = cos (54) * sin (60). Untuk melakukan ini sendiri, Anda harus mengetahui bahwa (a ) sin (90) = 1 (karena sin (90) = cos (90-90) = cos (0) = 1) dan (b) sebagian besar kalkulator dan spreadsheet memiliki fungsi untuk menyelesaikan cosinus, disebut ArcCos atau inverse cosinus. Saya harap Anda tidak melihat detail kecil ini sebagai melanggar janji saya sebelumnya tentang tidak ada lagi trigonometri ...)
Setelah melakukan beberapa perhitungan seperti ini, Anda mengembangkan intuisi untuk apa yang dikatakan Teorema Clairaut. Jalur di permukaan revolusi (seperti bumi) dapat berupa geodesik (terpendek secara lokal atau "lurus") hanya ketika (a) bantalannya menjadi lebih sejajar dengan garis meridian pada titik-titik yang jauh dari sumbu dan (b) bantalannya menjadi lebih banyak tegak lurus terhadap meridian pada titik yang lebih dekat ke sumbu. Karena ada batasan seberapa tegak lurus seseorang - 90 derajat! - ada batas seberapa dekat dengan sumbu yang bisa Anda dapatkan. Penyesuaian konstan bantalan ini (= sudut ke meridian) dan garis lintang (= jarak ke sumbu) menyebabkan kelengkungan nyata geodesik pada sebagian besar peta, terutama pada mereka yang menggunakan proyeksi silindris, di mana meridian dan garis lintang diberikan masing-masing sebagai garis vertikal dan horizontal.
Berikut adalah beberapa implikasi mudah dari Teorema Clairaut. Lihat apakah Anda dapat membuktikan semuanya:
Ekuator harus berupa geodesik.
Semua meridian adalah geodesi.
Tidak ada garis lintang, selain khatulistiwa (dan kutub, jika Anda ingin memasukkannya), bisa berupa geodesik. Bahkan tidak kecil bagian dari garis lintang dapat geodesik.
Loxodromes (alias garis rhumb), yang merupakan garis bantalan konstan, tidak dapat berupa geodesi kecuali garis meridian atau garis khatulistiwa. Bahkan tidak kecil bagian dari loxodrome sebuah tersebut dapat geodesik. Dengan kata lain, jika Anda berlayar atau terbang dalam arah kompas yang tetap, maka - dengan beberapa pengecualian yang jelas - jalur Anda terus melengkung!
Poin 4 mengatakan jika Anda terbang dari Pegunungan Rocky Kanada pada posisi awal 30 derajat timur utara, Anda harus, relatif terhadap utara, untuk terus-menerus berbelok (ke kanan) agar dapat terbang lurus; Anda tidak akan pernah pergi ke utara lintang 73 derajat; dan jika Anda melanjutkan cukup jauh, Anda akan berhasil sampai ke Polandia dan akan menuju kira-kira 150 derajat timur utara ketika Anda sampai di sana. Tentu saja rinciannya - 73 derajat dan Polandia dan 150 derajat - diperoleh hanya dari pernyataan kuantitatif Teorema Clairaut: Anda biasanya tidak dapat menemukan hal semacam itu hanya dengan menggunakan ide intuitif geodesik Anda.
Patut dicatat bahwa semua hasil ini berpegang pada spheroid umum (permukaan revolusi yang dihasilkan oleh elips), bukan hanya pada bola sempurna. Dengan sedikit modifikasi, mereka menggunakan tori (permukaan bagel atau ban truk) dan banyak permukaan menarik lainnya. (Penulis sci fi Larry Niven menulis sebuah novel di mana dunia kecil berbentuk torus buatan ditampilkan. Tautan ini mencakup gambar dari sampul novel yang menggambarkan bagian dari dunia ini.)
Dalam proyeksi ini (Google Mercator), seperti itulah lingkaran lingkaran besar di antara kedua tempat itu.
Tambahan cepat:
Juga, pesawat dari Asia ke AS akan melakukan perjalanan hampir di Kutub Utara.
Di arah itu, mereka akan sering menggunakan aliran jet. Di arah lain mereka memang akan terbang / mendekati kutub.
Proyeksi Mercator mendistorsi di kutub http://en.wikipedia.org/wiki/Mercator_projection
info lebih lanjut Tissot's Indicatrix
Jadi kecuraman lebih akut di kutub terakhir
Saya melihat penjelasan yang sangat elegan tentang fenomena ini di blog Tom MacWright di sini , dengan foto-foto jeruk. Versi menjelaskan-ke-5-tahun: "Di dunia, jalur terpendek adalah datar, dan garis navigasi melengkung. Mercator membuat peta di mana garis navigasi lurus. Ini membuat jalur terpendek melengkung."
Hal ini disebabkan oleh proyeksi bidang 2D ke permukaan 2 bola berpoloris, ketika garis bergerak melewati kutub, ia menjadi terdistorsi sejauh menyangkut pengamat bidang 2D karena garis lurus ke tujuan nampak melengkung. bahtera Lingkaran Besar, yang merupakan istilah dalam matematika yang berhubungan dengan lingkaran terbesar yang dapat diiris dari bola, selama lingkaran melewati pusat bola. Saya telah sedikit memodifikasi Gambar yang disediakan dalam jawaban lain dengan mencoret-coret garis untuk menggambarkan (agak buruk saya takut, saya baru di GIMP) Yang disebut distorsi kutub. Saya pikir beberapa konsep serupa ada di belakang gaya gravitasi, tapi saya bukan fisikawan jadi saya tidak bisa mengatakannya.
Semakin dekat ke titik Polandia mendapat, semakin sedikit cacat tampaknya ketika dirender ke permukaan 2D datar, meskipun masih dengan jumlah kecil. Ini juga tergantung pada metode Proyeksi yang digunakan, dan ada beberapa yang difokuskan untuk membuat rute tercepat antara dua titik tampak datar dan kemudian kembali pada tampilan bulat penuh.