Apa perbedaan antara "ruang kode", "kata kode" dan "kode stabilizer"?

Saya terus membaca (mis. Nielsen dan Chuang, 2010; hal 456 dan 465) tiga fase berikut; "ruang kode", "kata kode" dan "kode stabilizer" - tetapi saya mengalami kesulitan menemukan definisi dari mereka dan yang lebih penting bagaimana mereka berbeda satu sama lain.

Karena itu pertanyaan saya adalah; bagaimana ketiga istilah ini didefinisikan dan bagaimana mereka terkait?

— Spagettifikasi kuantum
sumber

Ruang kode dan kata-kata kode

Kode koreksi kesalahan kuantum sering diidentifikasi dengan kode-spasi (Nielsen & Chuang tampaknya melakukannya). Ruang kode $\mathcal C$ dari misalnya kode koreksi kesalahan kuantum $n$ -qubit adalah subruang vektor $\mathcal C \subseteq \mathcal H_2^{\otimes n}$ .

Sebuah kata kode (terminologi yang dipinjam dari teori klasik dari koreksi kesalahan) adalah sebuah negara untuk beberapa kode-space: yaitu, itu adalah negara yang mengkodekan beberapa data. $\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$

Kode koreksi kesalahan kuantum

Dalam praktiknya, kami menuntut beberapa properti non-sepele untuk menyimpan kode koreksi kesalahan kuantum, seperti:

$\mathop{\mathrm{dim}} \mathcal C \geqslant 2$
Bahwa ada satu set dari setidaknya dua operator termasuk operator , sehingga - jika adalah proyektor ortogonal ke - kita punya untuk beberapa skalar (dikenal sebagai kondisi Knill – Laflamme ). $\mathcal E = \{ E_1, E_2, \ldots \}$ $E_1 = \mathbb 1$ $P$ $\mathcal C$ $P E_{j} E_{k} P = α_{j, k} P$ $P E_j E_k P = \alpha_{j,k} P$ $\alpha_{j,k}$

Ini menentukan beberapa set operator kesalahan yang pada prinsipnya Anda dapat melindungi keadaan , di mana jika kondisi Knill-Laflamme memegang satu set operator , dan beberapa operator bertindak atas kondisi Anda, mungkin pada prinsipnya mendeteksi fakta bahwa telah terjadi (berlawanan dengan beberapa operator lain di ) dan membatalkan kesalahan, tanpa mengganggu data yang disimpan dalam keadaan asli . $\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$ $\mathcal E$ $E \in \mathcal E$ $E$ $\mathcal E$ $\lvert \psi \rangle$

Sebuah kode koreksi kesalahan kuantum adalah kode-ruang , bersama-sama dengan satu set operator error yang memenuhi kondisi Knill-Laflamme - yaitu, kesalahan kuantum kode harus menentukan kesalahan itu dimaksudkan untuk melindungi terhadap mengoreksi . $\mathcal C$ $\mathcal E$

Mengapa umum untuk mengidentifikasi kode koreksi kesalahan kuantum dengan kode-spasi mereka

Anda tidak bisa menentukan set unik operator yang memenuhi kondisi Knill – Laflamme hanya dari kode-ruang saja. Namun, yang paling umum untuk mempertimbangkan operator mana yang berbobot rendah (yang hanya bertindak pada sejumlah kecil qubit) dapat dikoreksi secara simultan oleh suatu kode, dan sampai batas tertentu ini dapat diturunkan dari ruang kode saja. The jarak kode dari ruang kode adalah jumlah terkecil dari qubit bahwa Anda harus bertindak, untuk mengubah satu "codeword" menjadi berbeda codeword . Jika kita menggambarkan ruang kode sebagai a $\mathcal E$ $\mathcal C$ $\mathcal C$ $\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$ $\lvert \psi' \rangle \in \mathcal C$ $[\![n,k,d]\!]$ Kode , ini kemudian mengatakan bahwa memiliki dimensi , dan himpunan yang kita anggap sebagai himpunan semua operator Pauli dengan bobot paling banyak . $\mathcal C \subseteq \mathcal H_2^{\otimes n}$ $2^k$ $\mathcal E$ $\lfloor (d{-}1)/2 \rfloor$

Dalam beberapa kasus, menggambarkan kode sebagai kode Sudah cukup. Misalnya, kode 5-qubit adalah kode , Dan dimungkinkan untuk menunjukkan bahwa lima qubit tidak dapat menyandikan satu qubit sedemikian rupa sehingga kesalahan lain dapat diperbaiki. selain semua kesalahan single-qubit. Namun, hal yang sama tidak berlaku untuk kode Steane , Yang dapat melindungi terhadap kesalahan Pauli qubit tunggal serta beberapa (tetapi tidak semua) kesalahan Pauli dua qubit. Pauli dua qubit mana yang harus Anda lakukan $[\![n,k,d]\!]$ $[\![5,1,3]\!]$ $[\![7,1,3]\!]$ melindungi terhadap tergantung pada apa model kesalahan Anda; dan jika noise Anda simetris dan terdistribusi secara independen, itu tidak masalah apa yang Anda pilih (sehingga Anda mungkin akan membuat pilihan konvensional dari setiap kesalahan tunggal bersama dengan kesalahan tunggal apa pun ). Namun itu adalah pilihan , dan salah satu yang akan memandu bagaimana Anda melindungi data Anda dari kebisingan. $X$ $Z$

Kode penstabil

Kode stabilizer adalah kode koreksi kesalahan kuantum ditentukan oleh satu set dari generator stabilizer , yang operator Pauli yang bolak-balik dengan satu sama lain, dan yang menentukan kode-ruang dengan persimpangan mereka + 1-ruang eigen. (Seringkali berguna untuk mempertimbangkan grup stabilizer dibentuk oleh produk-produk ) $\mathscr S$ $\mathcal C$ $\mathcal G$ $P \in \mathscr S$

Hampir semua kode koreksi kesalahan kuantum yang dipertimbangkan orang dalam praktik adalah kode stabilizer. Ini adalah salah satu alasan mengapa Anda mungkin memiliki masalah dalam membedakan kedua istilah tersebut. Namun, kami tidak mengharuskan kode koreksi kesalahan kuantum menjadi kode stabilizer - seperti pada prinsipnya kami tidak memerlukan kode koreksi kesalahan klasik untuk menjadi kode linier. Kode penstabil kebetulan menjadi cara yang sangat sukses untuk menggambarkan kode koreksi kesalahan kuantum, seperti halnya kode koreksi kesalahan linier adalah cara yang sangat sukses untuk menggambarkan kode koreksi kesalahan klasik. Dan memang, kode stabilizer dapat dianggap sebagai generalisasi alami dari teori kode linear klasik untuk koreksi kesalahan kuantum.

Karena orang sering tertarik hanya pada operator berbobot rendah yang kurang dari setengah jarak kode, set stabilisator sering kali semua orang katakan tentang kode koreksi stabilizer. Namun, untuk menentukan set kesalahan yang dapat dilindungi kode, perlu juga menentukan hubungan antara operator produk Pauli dan himpunan bagian , sedemikian rupa sehingga $\mathcal E$ $\sigma$ $E$ $S \subseteq \mathscr S$

$E$ anticommutes dengan jika dan hanya jika untuk ; $P \in \mathscr S$ $P \in S$ $\sigma(E,S)$
Jika keduanya memenuhi dan , maka . $E, E'$ $\sigma(E,S)$ $\sigma(E',S)$ $E E' \in \mathcal G = \langle \mathscr S \rangle$

Ini mendefinisikan himpunan dari kesalahan yang dapat dilindungi oleh kode. The subset yang disebut sindrom kesalahan , dan hubungan yang saya sudah menelepon di sini (yang Anda biasanya tidak lihat diberi nama eksplisit) rekan sindrom ke satu atau lebih kesalahan yang 'penyebab' bahwa sindrom , dan yang pengaruhnya terhadap kode setara.

E = {E | \exists S \subseteq S : σ (E, S)}

$\mathcal E = \bigl\{ E \mathbin{\big\vert} \exists S \subseteq \mathscr S: \sigma(E,S) \bigr\}$

S \subseteq S

$S \subseteq \mathscr S$

σ

$\sigma$

'Syndromes' mewakili informasi yang sebenarnya dapat diperoleh tentang kesalahan dengan 'pengukuran koheren' - yaitu, dengan mengukur operator sebagai yang dapat diamati (proses yang biasanya disimulasikan oleh estimasi nilai eigen). Kesalahan 'menyebabkan' sindrom jika, untuk kata sandi apa saja , status ada di eigenspace dari semua operator , dan dalam -eigenspace semua operator lain di . (Properti ini secara langsung terkait dengan antikomutasi dengan semua elemen dari $P \in \mathscr S$ $E$ $S \subseteq \mathscr S$ $\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$ $E \lvert \psi \rangle$ $-1$ $P \in S$ $+1$ $\mathscr S$ $E$ $S \subseteq \mathscr S$ , dan hanya elemen-elemen itu.)

— Niel de Beaudrap
sumber

Dalam paragraf kedua, Anda mengatakan bahwa kata kode adalah status dalam yaitu keadaan yang menyandikan beberapa data. Apakah Anda mengatakan apa yang tampaknya jawaban lain katakan - yaitu codeword adalah negara-negara yang kami asosiasikan dengan misalnya logis dan . Atau bahwa lebih umum keadaan apa pun di disebut kata kode?

C

$\mathcal{C}$

| 0 ⟩

$\lvert 0 \rangle$

| 1 ⟩

$\lvert 1 \rangle$

C

$\mathcal{C}$

— Spagetifikasi kuantum

Terminologi dapat sedikit berbeda. Misalnya, Anda membaca tesis Gottesman, dan ia berbicara tentang kata kode yang merupakan status valid apa pun dalam ruang kode, dan ia membedakan 'kata-kata kode dasar' sebagai logika 0 dan 1.

— DaftWullie

@QuantumSpaghettification: sebagai DaftWullie menyarankan, maksudku setiap negara di . Sangat sering merupakan kesalahan untuk terlalu asyik dengan standar dasar. Secara historis, itu paling mudah untuk menggambarkan QECC dalam referensi ke rentang dua negara tertentu dan untuk menggambarkan sifat mengoreksi dalam hal kedua negara. Teori kode stabilizer membuat deskripsi semacam ini tidak perlu, dan memungkinkan Anda untuk menjadi fleksibel dengan kerangka referensi logis, jadi lebih baik sekarang untuk menghindari mendefinisikan hal-hal dengan cara yang menekankan dasar standar.

C

$\mathcal C$

— Niel de Beaudrap

@NieldeBeaudrap Maaf untuk kembali ke posting ini sebulan kemudian. Apakah saya benar mengatakan bahwa pemetaan mungkin satu-ke-banyak jika efek kesalahan pada "kata-kata kode dasar" menurun. Saya pikir fase membalik pada kode Shor.

μ

$\mu$

— Spagetifikasi kuantum

@ QuantumSpaghettification: Seperti yang saya jelaskan di sini, sebenarnya akan diperlukan untuk mengambil menjadi lebih bernilai untuk set untuk melakukan pekerjaan yang telah saya jelaskan untuknya, untuk kode degenerasi --- yang merupakan tidak persis apa yang saya maksudkan. Saya akan segera merevisi jawaban saya.

μ

$\mu$

E

$\mathcal E$

— Niel de Beaudrap

Kata kode (untuk kode kuantum) adalah keadaan kuantum yang biasanya dikaitkan dengan keadaan dalam dasar logis. Jadi, Anda akan memiliki beberapa status yang sesuai dengan status 0 dari qubit yang akan dikodekan (Anda tidak harus menggunakan qubit, tetapi Anda mungkin sudah), dan Anda akan memiliki yang lain yang sesuai dengan 1 status qubit yang akan dikodekan. $|\psi_0\rangle$ $|\psi_1\rangle$

Ruang kode adalah ruang yang direntang oleh kata-kata kode, yaitu seluruh ruang untuk semua kemungkinan dan (dinormalisasi). $\alpha|\psi_0\rangle+\beta|\psi_1\rangle$ $\alpha$ $\beta$

Kode stabilizer adalah salah satu formalisme yang memungkinkan untuk memberi tahu Anda cara mengerjakan kata-kata kode dan karenanya ruang kode. Untuk kode [[n, k, d]], Anda diberi operator penstabil nk ( ) yang saling bepergian, dan bekerja pada n qubit. Keadaan apa pun dalam ruang kode memenuhi . Anda selanjutnya akan memiliki operator dan untuk yang semuanya bepergian dengan stabilisator tetapi anticommute berpasangan, , untuk subskripsi yang cocok. Ini mendefinisikan operator Logical Pauli untuk kode, dan kata-kata kode karena itu adalah negara yang memuaskan $S$ $S^2=\mathbb{I}$ $|\psi\rangle$ $S|\psi\rangle=|\psi\rangle$ $Z_m$ $X_m$ $m=1,\ldots k$ $S$ $\{Z_m,X_m\}=0$ $Z_m|\psi\rangle=\pm|\psi\rangle$ .

— DaftWullie
sumber

Dalam kode koreksi kesalahan kuantum, Anda menyimpan sejumlah qubit logis , , dalam keadaan banyak qubit fisik, . $k$ $n$

Kata kode adalah keadaan qubit fisik yang dikaitkan dengan keadaan logis tertentu. Jadi, misalnya, namun Anda menyimpan status untuk salah satu qubit logis Anda adalah kata kode. $|0\rangle$

Ruang kode adalah ruang Hilbert yang direntang oleh semua kata kode yang mungkin. Untuk kode stabilizer, istilah ini identik dengan ruang stabilizer. Keadaan apa pun dalam ruang kode ini adalah kata kode

Kode stabilizer adalah kode koreksi kesalahan kuantum yang dijelaskan oleh stabilisator stabilizer. Ruang stabilizer didefinisikan sebagai ruang eigens mutual dari saling komuter dan produk tensor independen dari operator Pauli. $+1$ $n-k$

— James Wootton
sumber