Apakah ada hasil dari algoritma kuantum atau kompleksitas yang mengarah pada kemajuan pada masalah P vs NP?

Di permukaan, algoritma kuantum tidak ada hubungannya dengan komputasi klasik dan P vs NP khususnya: Memecahkan masalah dari NP dengan komputer kuantum tidak memberi tahu kita apa-apa tentang hubungan kelas kompleksitas klasik ^{1 ini} .

Di sisi lain, 'deskripsi alternatif' dari kelas kompleksitas klasik PP sebagai kelas PostBQP yang disajikan dalam makalah ini, sejauh yang saya ketahui, dianggap sebagai hasil penting untuk 'kompleksitas klasik', oleh 'kompleksitas kuantum' .

Faktanya, Scott Aaronson, penulis makalah, menulis di akhir abstrak:

Ini menggambarkan bahwa komputasi kuantum dapat menghasilkan bukti baru dan lebih sederhana dari hasil utama tentang komputasi klasik.

Oleh karena itu, pertanyaan saya adalah: apakah ada hasil dari bidang kompleksitas kuantum yang 'menyederhanakan' masalah P vs NP, mirip dengan deskripsi kuantum PP? Jika tidak ada hasil seperti itu, apakah ada alasan bagus untuk tidak mengharapkan hasil ini, meskipun 'sukses' untuk PP?

_{1: Ambil jawaban untuk pertanyaan ini, misalnya: Apakah masalah P vs NP menjadi sepele akibat pengembangan komputer kuantum universal?}

Saya tidak berpikir ada alasan yang jelas untuk jawaban 'ya' atau 'tidak'. Namun, saya dapat memberikan alasan mengapa PP lebih mungkin mengakui karakterisasi seperti itu daripada NP , dan untuk memberikan beberapa intuisi mengapa NP mungkin tidak pernah memiliki karakterisasi sederhana dalam hal modifikasi model komputasi kuantum.

Menghitung kompleksitas

Kelas NP dan PP keduanya dapat dikarakterisasi dalam hal jumlah cabang penerima dari mesin Turing non-deterministik, yang dapat kita uraikan dengan cara yang lebih membumi dalam hal hasil yang mungkin dari perhitungan acak yang menggunakan bit acak seragam. Kami kemudian dapat menggambarkan dua kelas ini sebagai:

• L  ∈  NP jika ada algoritma acak polinomial-waktu yang menghasilkan bit tunggal α  ∈ {0,1}, sehingga x  ∈  L jika dan hanya jika Pr [  α  = 1 | x  ] bukan nol (meskipun probabilitas ini mungkin kecil), bukan nol.

• L  ∈  PP jika ada algoritma acak polinomial-waktu yang menghasilkan bit tunggal α  ∈ {0,1}, sedemikian sehingga x  ∈  L jika dan hanya jika Pr [  α  = 1 | x  ] lebih besar dari 0,5 (meskipun mungkin hanya dengan jumlah terkecil), dibandingkan dengan sama dengan atau kurang dari 0,5 ( misalnya  dengan jumlah kecil).

Salah satu cara untuk melihat mengapa kelas-kelas ini tidak dapat dipecahkan secara praktis menggunakan deskripsi probabilistik ini, adalah bahwa mungkin diperlukan banyak pengulangan secara eksponensial untuk yakin akan estimasi probabilitas untuk Pr [  α  = 1 | x  ] karena kelenturan perbedaan dalam probabilitas yang terlibat.

Kompleksitas gap dan kompleksitas kuantum

Mari kita gambarkan hasil '0' dan '1' dalam perhitungan di atas sebagai 'tolak' dan 'terima'; dan mari kita sebut cabang acak yang memberikan hasil tolak / menerima, cabang menolak atau menerima . Karena setiap cabang perhitungan acak yang tidak menerima karenanya ditolak, PP juga dapat didefinisikan dalam hal perbedaan antara jumlah jalur penerimaan dan penolakan jalur komputasi - suatu jumlah yang dapat kita sebut kesenjangan penerimaan : khususnya, apakah penerimaan gap positif, atau kurang dari atau sama dengan nol. Dengan sedikit lebih banyak pekerjaan, kita dapat memperoleh karakterisasi setara untuk PP, dalam hal apakah kesenjangan penerimaan lebih besar dari beberapa ambang batas, atau kurang dari beberapa ambang batas, yang mungkin nol atau fungsi input yang dapat dihitung secara efisien lainnya dari x .

Ini pada gilirannya dapat digunakan untuk mengkarakterisasi bahasa dalam PP dalam hal perhitungan kuantum. Dari deskripsi PP dalam hal perhitungan acak yang memiliki probabilitas penerimaan (mungkin sedikit) lebih besar dari 0,5, atau paling banyak 0,5, semua masalah dalam PP mengakui algoritma kuantum waktu polinomial yang memiliki perbedaan yang sama dalam probabilitas penerimaan; dan dengan memodelkan perhitungan kuantum sebagai penjumlahan dari jalur komputasi, dan mensimulasikan jalur-jalur ini menggunakan cabang-cabang yang menolak untuk jalur-jalur bobot negatif dan menerima cabang-cabang jalur bobot positif, kita juga dapat menunjukkan bahwa algoritma kuantum semacam itu yang membuat perbedaan (secara statistik lemah) menggambarkan masalah dalam PP .

Tidak jelas bahwa kita dapat melakukan hal yang sama untuk NP . Tidak ada cara alami untuk menggambarkan NP dalam hal kesenjangan penerimaan, dan tebakan yang jelas untuk bagaimana Anda dapat mencoba memasukkannya ke dalam model komputasi kuantum - dengan menanyakan apakah kemungkinan mengukur hasil '1' adalah nol, atau non- nol - sebagai gantinya memberi Anda kelas yang disebut coC ₌ P , yang tidak diketahui sama dengan NP , dan secara kasar dapat digambarkan sebagai sekuat PP daripada dekat dengan NP yang berkuasa.

Tentu saja, suatu hari seseorang mungkin entah bagaimana menemukan karakterisasi NP dalam hal kesenjangan penerimaan, atau orang mungkin menemukan cara-cara baru untuk menghubungkan perhitungan kuantum dengan menghitung kompleksitas, tetapi saya tidak yakin ada yang punya ide meyakinkan tentang bagaimana hal ini mungkin terjadi.

Ringkasan

Prospek untuk mendapatkan wawasan tentang masalah P versus NP itu sendiri, melalui perhitungan kuantum, tidak menjanjikan - meskipun itu tidak mustahil.