Model Saluran Kuantum

Yang disebut saluran depolarisasi adalah model saluran yang sebagian besar digunakan ketika membangun kode koreksi kesalahan kuantum. Tindakan saluran tersebut atas keadaan kuantum adalah $\rho$

$\rho\rightarrow(1-p_x-p_y-p_z)\rho+p_xX\rho X+p_yY\rho Y+p_zZ\rho Z$

Saya bertanya-tanya model saluran mana yang dipertimbangkan dalam komunikasi kuantum, dan bagaimana konstruksi kode koreksi kesalahan dipengaruhi dengan mempertimbangkan saluran lain tersebut.

— Josu Etxezarreta Martinez
sumber

Pertama izinkan saya menyebutkan poin kecil tentang terminologi. Jenis saluran yang Anda sarankan sering disebut saluran Pauli ; istilah saluran depolarisasi biasanya mengacu pada kasus di mana . $p_x = p_y = p_z$

Lagi pula, tidak benar untuk mengatakan bahwa saluran Pauli adalah model saluran yang dipertimbangkan untuk koreksi kesalahan kuantum. Kode koreksi kesalahan kuantum standar dapat melindungi terhadap kesalahan arbitrer (diwakili oleh saluran kuantum apa pun yang Anda pilih) asalkan kesalahan tidak memengaruhi terlalu banyak qubit.

Sebagai contoh, mari kita pertimbangkan kesalahan qubit tunggal yang sewenang-wenang, diwakili oleh saluran memetakan satu qubit ke satu qubit. Saluran seperti itu dapat dinyatakan dalam bentuk Kraus sebagai untuk beberapa pilihan operator Kraus . (Untuk saluran qubit kita selalu dapat mengambil jika kita mau.) Anda dapat, misalnya, memilih operator ini sehingga $\Phi$

Φ (ρ) = A_{1} ρ A_{1}^{†} + \dots + A_{m} ρ A_{m}^{†}

$\Phi(\rho) = A_1 \rho A_1^{\dagger} + \cdots + A_m \rho A_m^{\dagger}$

A_{1}, \dots, A_{m}

$A_1,\ldots,A_m$

m = 4

$m = 4$

untuk setiap status qubit

, Anda bisa membuat kesalahan kesatuan, atau apa pun yang Anda pilih. Pilihannya bahkan bisa bersifat permusuhan, dipilih setelah Anda tahu cara kerjanya.

Φ (ρ) = | 0 ⟩ ⟨ 0 |

$\Phi(\rho) = |0\rangle \langle 0|$

ρ

$\rho$

Setiap operator Kraus dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari operator Pauli, karena operator Pauli membentuk dasar untuk ruang 2 oleh 2 matriks kompleks: Jika sekarang Anda memperluas representasi Kraus dari atas, Anda akan memperoleh ekspresi berantakan di mana terlihat seperti kombinasi linear dari operator dari bentuk mana $A_k$

A_{k} = a_{k} I + b_{k} X + c_{k} Y + d_{k} Z .

$A_k = a_k I + b_k X + c_k Y + d_k Z.$

Φ

$\Phi$

Φ (ρ)

$\Phi(\rho)$

P_{i} ρ P_{j}

$P_i \rho P_j$

dan

, dan

i, j \in {1, 2, 3, 4}

$i,j\in\{1,2,3,4\}$

P_{1} = I

$P_1 = I$

P_{2} = X

$P_2 = X$

P_{3} = Y

$P_3 = Y$

P_{4} = Z

$P_4 = Z$

$X$ $Y$ $Z$

$\Phi$

P_{i} | ψ ⟩ ⟨ ψ | P_{j} \otimes | P_{i} syndrome ⟩ ⟨ P_{j} syndrome | .

$P_i |\psi\rangle \langle \psi| P_j \otimes |P_i\: \text{syndrome}\rangle\langle P_j\:\text{syndrome}|.$

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$

P_{i}

$P_i$

P_{j}

$P_j$

P_{i}

$P_i$

P_{j}

$P_j$

P_{i} | ψ ⟩ ⟨ ψ | P_{i} \otimes | P_{i} syndrome ⟩ ⟨ P_{i} syndrome | .

$P_i |\psi\rangle \langle \psi| P_i \otimes |P_i\: \text{syndrome}\rangle\langle P_i\:\text{syndrome}|.$

Ini semua dijelaskan (agak singkat) di Bagian 10.2 dari Nielsen dan Chuang.

— John Watrous
sumber

Terima kasih atas wawasannya, tetapi saya menyadari efek yang disebut "diskritisasi kesalahan", yang menyebabkan fakta bahwa koreksi saluran Pauli untuk qubit tunggal memang memperbaiki kesalahan sewenang-wenang pada qubit tunggal karena runtuhnya negara setelah pengukuran. Namun, saya tertarik pada apa yang sebenarnya Anda nyatakan "jika kesalahan tidak memengaruhi terlalu banyak qubit". Apa yang akan terjadi jika itu tidak benar? Terima kasih.

— Josu Etxezarreta Martinez

Juga hanya untuk menunjukkan, saya telah melihat bahwa saluran Pauli disebut sebagai "saluran Pauli asimetris" kadang-kadang dalam literatur, jadi itu sebabnya saya mengajukan pertanyaan menggunakan ekspresi seperti itu.

— Josu Etxezarreta Martinez

Saya minta maaf jika saya sudah menjelaskan sesuatu yang sudah Anda ketahui, saya baru saja mencoba menjawab pertanyaan yang saya tafsirkan dari apa yang Anda tulis. Juga, komentar saya tentang terminologi hanya mencerminkan pandangan saya tentang apa yang khas dan bertujuan hanya untuk menghindari kebingungan - semua orang bebas untuk menggunakan terminologi yang mereka sukai dan tentu saja tidak selalu ada kesepakatan yang sempurna, baik dari waktu ke waktu dan dalam hal apa yang orang lebih suka.

— John Watrous

Saya pikir jawaban atas pertanyaan dalam komentar Anda adalah bahwa itu tergantung pada kesalahan dan kode. Tentu saja kode mungkin gagal untuk memperbaiki kesalahan jika itu mempengaruhi terlalu banyak qubit. Di sisi lain ada, misalnya, yang disebut kode degenerasi yang mengoreksi lebih banyak kesalahan daripada yang sebenarnya dapat mereka identifikasi, dan mereka dapat berguna untuk tingkat kebisingan yang tinggi. Ini adalah objek yang sangat menarik, tetapi saya percaya bahwa banyak pertanyaan mendasar tentang mereka tetap tidak terjawab.

— John Watrous

@ JohnWatrous, saya mengundang Anda ke pertanyaan saya di sini: quantumcomputing.stackexchange.com/questions/5794/... Mohon bantuan untuk menjawab.

— Tobias Fritzn