Polinomial Jones

12

Ada banyak algoritma kuantum yang cukup standar yang semuanya dapat dipahami dalam kerangka kerja yang sangat mirip, dari algoritma Deutsch masalah Simon, pencarian Grover, algoritma Shor, dan sebagainya.

Salah satu algoritma yang tampaknya sangat berbeda adalah algoritma untuk mengevaluasi Polinomial Jones . Selain itu, sepertinya ini adalah algoritma yang sangat penting untuk dipahami dalam arti bahwa ini adalah masalah BQP-lengkap : ia menunjukkan kekuatan penuh dari komputer kuantum. Selain itu, untuk varian masalah, DQC-1 lengkap , yaitu menunjukkan kekuatan penuh dari satu qubit bersih .

The Jones Polinomial algoritma kertas menyajikan algoritma dalam cara yang sangat berbeda dengan algoritma kuantum lainnya. Apakah ada cara yang lebih mirip / akrab sehingga saya dapat memahami algoritme (khususnya, kesatuan dalam varian DQC-1, atau hanya seluruh rangkaian dalam varian lengkap BQP)? $U$

algorithm circuit-construction bqp

— DaftWullie
sumber

5

Jawaban ini kurang lebih merupakan ringkasan dari makalah Aharonov-Jones-Landau yang Anda tautkan, tetapi dengan segala sesuatu yang tidak terkait langsung dengan penentuan algoritme yang dihapus. Semoga ini bermanfaat.

Algoritma Aharonov-Jones-Landau mendekati Jones polinomial dari penutupan plat dari jalinan pada th akar persatuan dengan menyadari sebagai (beberapa rescaling dari) elemen matriks tertentu kesatuan matriks , gambar of bawah representasi kesatuan tertentu dari grup kepang . Diberikan implementasi sebagai sirkuit kuantum, mendekati elemen matriksnya langsung menggunakan uji Hadamard . Bagian nontrivial mendekati sebagai sirkuit kuantum. $\sigma$ $k$ $U_\sigma$ $\sigma$ $B_{2n}$ $U_\sigma$ $U_\sigma$

Jika adalah jalinan pada untaian dengan penyilangan , kita dapat menulis , di mana , , dan adalah generator yang bersesuaian dengan melintasi th untai atas st. Cukup untuk menggambarkan , karena . $\sigma$ $2n$ $m$ $\sigma = \sigma_{a_1}^{\epsilon_1} \sigma_{a_2}^{\epsilon_2} \cdots \sigma_{a_m}^{\epsilon_m}$ $a_1, a_2, \ldots, a_m \in \{1, 2, \ldots, 2n - 1\}$ $\epsilon_1, \epsilon_2, \ldots, \epsilon_m \in \{\pm 1\}$ $\sigma_i$ $B_{2n}$ $i$ $(i + 1)$ $U_{\sigma_i}$ $U_\sigma = U_{\sigma_{a_1}}^{\epsilon_1} \cdots U_{\sigma_{a_m}}^{\epsilon_m}$

Untuk mendefinisikan , pertama-tama kita memberikan subset tertentu dari basis standar dari di mana bertindak nontrivial. Untuk , mari . Mari kita panggil diterima jika untuk semua . (Ini sesuai dengan menggambarkan jalur panjang pada grafik didefinisikan dalam kertas AJL.) Mari $U_{\sigma_i}$ $\mathbb{C}^{2^{2n}}$ $U_{\sigma_i}$ $\psi = \lvert b_1 b_2 \cdots b_{2n} \rangle$ $\ell_{i'}(\psi) = 1 + \sum_{j = 1}^{i'} (-1)^{1-b_j}$ $\psi$ $1 \leq \ell_{i'}(\psi) \leq k - 1$ $i' \in \{1, 2, \ldots, 2n\}$ $\psi$ $2n$ $G_k$

λ_{r} = {\begin{cases} \sin (π r / k) & if 1 \leq r \leq k - 1, \\ 0 & otherwise. \end{cases}

$\lambda_r = \begin{cases}\sin(\pi r / k) & \textrm{if $1 \leq r \leq k - 1$},\\ 0 & \textrm{otherwise.}\end{cases}$ Biarkan (ini salah ketik dalam makalah AJL; juga perhatikan bahwa di sini dan hanya di sini, bukan indeks ). Tulis , di mana adalah bit pertama dari , dan biarkan . Kemudian

A = i e^{- π i / 2 k}

$A = ie^{-\pi i/2k}$

i = \sqrt{- 1}

$i = \sqrt{-1}$

i

$i$

ψ = | ψ_{i} b_{i} b_{i + 1} \dots ⟩

$\psi = \lvert \psi_i b_i b_{i+1} \cdots\rangle$

ψ_{i}

$\psi_i$

i - 1

$i - 1$

ψ

$\psi$

z_{i} = ℓ_{i - 1} (ψ_{i})

$z_i = \ell_{i-1}(\psi_i)$

\begin{aligned} U_{σ_{i}} (| ψ_{i} 00 \dots ⟩) & = A^{- 1} | ψ_{i} 00 \dots ⟩ \\ U_{σ_{i}} (| ψ_{i} 01 \dots ⟩) & = (A \frac{λ_{z_{i} - 1}}{λ_{z_{i}}} + A^{- 1}) | ψ_{i} 01 \dots ⟩ + A \frac{\sqrt{λ_{z_{i} + 1} λ_{z_{i} - 1}}}{λ_{z_{i}}} | ψ_{i} 10 \dots ⟩ \\ U_{σ_{i}} (| ψ_{i} 10 \dots ⟩) & = A \frac{\sqrt{λ_{z_{i} + 1} λ_{z_{i} - 1}}}{λ_{z_{i}}} | ψ_{i} 01 \dots ⟩ + (A \frac{λ_{z_{i} + 1}}{λ_{z_{i}}} + A^{- 1}) | ψ_{i} 10 \dots ⟩ \\ U_{σ_{i}} (| ψ_{i} 11 \dots ⟩) & = A^{- 1} | ψ_{i} 11 \dots ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 00 \cdots\rangle) & = A^{-1}\lvert\psi_i 00 \cdots\rangle\\ U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 01 \cdots \rangle) & = \left( A\frac{\lambda_{z_i-1}}{\lambda_{z_i}} + A^{-1}\right)\lvert\psi_i 01 \cdots\rangle + A\frac{\sqrt{\lambda_{z_i+1}\lambda_{z_i-1}}}{\lambda_{z_i}}\lvert\psi_i 10 \cdots\rangle\\ U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 10 \cdots \rangle) & = A\frac{\sqrt{\lambda_{z_i+1}\lambda_{z_i-1}}}{\lambda_{z_i}}\lvert\psi_i 01 \cdots\rangle + \left(A\frac{\lambda_{z_i+1}}{\lambda_{z_i}} + A^{-1}\right)\lvert\psi_i 10 \cdots\rangle\\ U_{\sigma_i}(\lvert\psi_i 11 \cdots\rangle) & = A^{-1}\lvert\psi_i 11 \cdots\rangle \end{align}$ Kami mendefinisikan untuk elemen dasar yang tidak dapat diterima .

U_{σ_{i}} (ψ) = ψ

$U_{\sigma_i}(\psi) = \psi$

ψ

$\psi$

Kami sekarang ingin menggambarkan sebagai sirkuit kuantum dengan banyak gerbang polinomi (dalam dan ). Perhatikan bahwa sementara hanya mengubah dua qubit, itu juga tergantung pada pertama melalui ketergantungan pada (dan memang, itu tergantung pada semua qubit untuk persyaratan penerimaan). Namun, kita dapat menjalankan penghitung untuk menghitung dan menyimpan (dan juga menentukan penerimaan input) secara logaritmik banyak (dalam ) ancilla qubit, dan oleh karena itu kita dapat menerapkan algoritma Solovay-Kitaev untuk mendapatkan perkiraan yang baik untuk $U_{\sigma_i}$ $n$ $k$ $U_{\sigma_i}$ $i - 1$ $z_i$ $z_i$ $k$ $U_{\sigma_i}$ hanya menggunakan banyak gerbang secara polinomi. (Makalah ini menarik Solovay-Kitaev dua kali: satu kali untuk menambah penghitung pada setiap langkah, dan satu kali untuk menerapkan ; Saya tidak yakin apakah ada cara yang lebih langsung untuk menggambarkan salah satu dari ini sebagai sirkuit kuantum dengan gerbang standar. Makalah ini juga tidak menyebutkan perlunya memeriksa penerimaan di sini; Saya tidak yakin apakah ini penting, tapi tentu saja kita setidaknya membutuhkan ) $U_{\sigma_i}$ $1 \leq z_i \leq k - 1$

Jadi untuk rekap:

Mulailah dengan jalinan dengan persimpangan . $\sigma \in B_{2n}$ $m$
Tulis . $\sigma = \sigma_{a_1}^{\epsilon_1} \sigma_{a_2}^{\epsilon_2} \cdots \sigma_{a_m}^{\epsilon_m}$
Untuk setiap , terapkan algoritma Solovay-Kitaev untuk mendapatkan perkiraan matriks kesatuan (atau kebalikannya jika ). $i \in \{1, 2, \ldots, m\}$ $U_{\sigma_{a_i}}$ $\epsilon_i = -1$
Komposisikan semua aproksimasi dari langkah 3 untuk mendapatkan sirkuit kuantum dengan banyak gerbang polinomi yang mendekati . $U_{\sigma}$
Terapkan tes Hadamard nyata dan imajiner berkali-kali secara polinomial dengan rangkaian dari langkah 4 dan status . $\lvert 1010 \cdots 10\rangle$
Rata-rata hasil langkah 5 dan kalikan dengan beberapa faktor penskalaan untuk mendapatkan perkiraan ke bagian nyata dan imajiner polinomial Jones dari penutupan plat dievaluasi pada . $\sigma$ $e^{2\pi i/k}$

— Evan Jenkins
sumber

2

Anda telah menyebutkan lima makalah dalam pertanyaan, tetapi satu makalah yang tetap tidak disebutkan adalah implementasi eksperimental pada tahun 2009 . Di sini Anda akan menemukan rangkaian aktual yang digunakan untuk mengevaluasi polinomial Jones:

Ini mungkin yang terdekat dengan presentasi algoritma yang "lebih familier", karena minat pada polinomial Jones dan DQC-1 telah sedikit membusuk sejak 2009.

Rincian lebih lanjut tentang percobaan ini dapat ditemukan dalam tesis Gina Passante .

— pengguna1271772
sumber

1

Saya tidak mengetahui makalah itu, terima kasih, meskipun saya lebih tertarik pada versi lengkap BQP. Sama halnya, dalam skim singkat saya, saya tidak melihat banyak penjelasan tentang apa sebenarnya kesatuan itu.

U_{n}

$U_n$

— DaftWullie

Sama-sama. Ya ini adalah PRL 4 halaman dengan detail yang tidak dijelaskan selengkap yang saya inginkan - mungkin ada "Bahan Tambahan" di halaman web jurnal yang menjelaskan U lebih baik. Polinomial Jones dan DQC-1 populer sekitar 2008-2009 tetapi saya sudah berhenti mendengarnya sejak itu.

— user1271772