Dapatkah komputer kuantum dengan mudah menentukan waktu pencampuran kelompok kubus Rubik?

Para pejabat di turnamen kubus Rubik telah menggunakan dua cara berbeda untuk mengacak kubus. Saat ini, mereka melanggar kubus terpisah dan memasang kembali cubies dalam urutan acak kelompok kubus Rubik . Sebelumnya, mereka akan menerapkan urutan acak dari gerakan Singmaster .G g ⟨ U , D , F , B , L , R $\pi\in G$$G$$g$$\langle U,D, F, B, L, R\rangle$

Namun, panjang dari kata - jumlah gerakan acak yang diperlukan untuk sepenuhnya mengacak kubus sehingga masing-masing dari permutasi kira-kira sama kemungkinannya terjadi - saat ini tidak diketahui, tetapi harus setidaknya 20 . Panjang ini t dapat disebut waktu pencampuran jalan acak pada grafik Cayley dari kelompok kubus Rubik yang dihasilkan oleh gerakan Singmaster \ langle U, D, F, B, L, R \ rangle .g ‖ G ‖ = 43 , 252 , 003 , 274 , 489 , 856 , $t$$g$$\Vert G\Vert=43,252,003,274,489,856,000$ $20$$t$$\langle U,D, F, B, L, R\rangle$

Apakah komputer kuantum memiliki keunggulan untuk menentukan waktu pencampuran $t$ dari kelompok kubus Rubik?

Saya pikir kita dapat memiliki beberapa urutan gerakan Hadamard yang cerdas untuk membuat register $\vert A \rangle$ sebagai superposisi yang seragam atas semua $\Vert G\Vert$ konfigurasi seperti itu; dengan demikian menerapkan urutan perpindahan Singmaster apa pun ke $\vert A \rangle$ tidak mengubah $\vert A \rangle$ .

Jika kita memiliki perkiraan seperti apa waktu pencampuran , kita juga dapat membuat register lain sebagai superposisi yang seragam dari semua kata Singmaster dengan panjang , dan secara kondisional menerapkan setiap kata tersebut ke keadaan terpecahkan , semoga mendapatkan status sehingga, jika kita mengukur , masing-masing konfigurasi sama-sama cenderung diukur. Jika , maka kita tidak akan berjalan sepanjang grafik Cayley dari cukup lama, dan jika kita mengukur t | B ⟩ t ' | A ′ ⟩ | B ⟩ | Sebuah ⟩ | Sebuah ⟩ ‖ G ‖ t ' < t G | Sebuah ⟩ | B ⟩ | Sebuah $t'$$t$$\vert B \rangle$$t'$$\vert A'\rangle$$\vert B\rangle \vert A\rangle$$\vert A \rangle$$\Vert G \Vert$$t'\lt t$$G$$\vert A \rangle$, konfigurasi yang "lebih dekat" dengan keadaan terpecahkan akan lebih mungkin. Beberapa transformasi seperti Fourier yang cerdas pada mungkin dapat mengukur seberapa terdistribusi secara merata .$\vert B \rangle$$\vert A \rangle$

Bagi saya ini terasa seperti sesuatu komputer kuantum mungkin bagus. Misalnya, jika belum dicampur secara seragam oleh semua kata di , maka beberapa konfigurasi lebih mungkin daripada yang lain, misalnya lebih "konstan"; sedangkan jika telah sepenuhnya tercampur dengan semua jalan, maka lebih "seimbang". Tapi intuisi saya tentang algoritma kuantum dan rantai Markov tidak cukup kuat untuk melangkah terlalu jauh.| B ⟩ | Sebuah ⟩ | Sebuah ⟩ | Sebuah $\vert A \rangle$$\vert B\rangle$$\vert A \rangle$$\vert A \rangle$ $\vert A \rangle$

EDIT

Bandingkan pertanyaan ini dengan masalah verifikasi simpul kuantum.

Dalam verifikasi simpul kuantum, pedagang diberi koin kuantum sebagai keadaan semua simpul yang memiliki invarian tertentu. Untuk memverifikasi koin kuantum, ia menerapkan rantai Markov untuk transisi ke dirinya sendiri (jika itu koin yang valid.) Ia harus menerapkan rantai Markov ini dan mengukur hasilnya setidaknya kali, tetapi jika tidak, ia memiliki tidak ada cara untuk membangun sendiri (jangan sampai dia bisa memalsukan koin.) Jadi jika dia diberi koin yang valid, dia diberi status yang tidak dapat dia hasilkan sendiri , bersama dengan rantai Markov sebagai matriks , dan dia mungkin tahu waktu pencampuran$\vert K \rangle$$M$t | K ⟩ M t | K $\vert K \rangle$$t$$\vert K \rangle$$M$$t$; dia diharuskan menguji bahwa valid.$\vert K \rangle$

Dalam pertanyaan ini, mungkin cukup mudah untuk menghasilkan dari semua permutasi kubus Rubik. Sirkuit kuantum yang terkait dengan rantai Markov, sebut , dari gerakan Singmaster, juga mungkin cukup mudah untuk dibuat. Namun, waktu pencampuran tidak diketahui, dan merupakan satu hal yang harus ditentukan.S $\vert RC \rangle$$S$$t$

Ini pertanyaan menarik yang lebih baik daripada kebanyakan "apakah ada algoritma kuantum untuk x?" pertanyaan. Saya tidak tahu tentang algoritma kuantum yang ada. Biarkan saya menggambarkan apa yang saya pikir akan menjadi upaya pertama yang khas, dan mengapa itu gagal. Pada akhirnya saya akan menjelaskan beberapa hal yang mungkin mengarah pada beberapa perbaikan.

Percobaan Pertama pada Algoritma

Katakanlah saya ingin menguji waktu pencampuran tertentu . Saya akan membuat satu register, berisi ruang kerja yang cukup untuk menampung konfigurasi yang mungkin dari kubus Rubik. Keadaan awal ini adalah keadaan produk yang sesuai dengan keadaan awal kubus.R $t$$RC$

Lalu aku akan membuat register ancilla, ke . Masing-masing memiliki ukuran yang sama dengan jumlah gerakan Singmaster yang mungkin, dan disiapkan sebagai superposisi yang seragam di semua elemen dasar yang mungkin. Kemudian untuk setiap , kami menerapkan unitary yang dikontrol dari ke mana register menentukan yang diterapkan pada .A 1 $t$$A_1$ i = 1 , … t A i R C A i R $A_t$$i=1,\ldots t$$A_i$$RC$$A_i$$RC$

Setelah semua ini, jika kita hanya melihat , itu harus dalam keadaan campuran maksimal jika pencampuran telah terjadi seperti yang diinginkan. Masalahnya adalah bagaimana menguji apakah output ini adalah keadaan campuran maksimal. Ada teknik yang bermanfaat seperti ini , tetapi akurasi apa yang kita butuhkan (yaitu berapa banyak pengulangan?). Kita perlu tentang untuk memastikan, saya pikir.| A | $RC$$|A|^t$

Sebenarnya, cara melakukan hal-hal ini sama buruknya dengan melakukannya secara klasik: Anda dapat mengganti keadaan awal masing-masing dengan dan itu tidak akan mengubah hasilnya . Tapi ini benar-benar seperti membuat pilihan acak setiap kali dan berjalan berkali-kali, memeriksa distribusi output yang benar.I / 2 | A i $A_i$$\mathbb{I}/2^{|A_i|}$

Kemungkinan Perbaikan

• Berjalan seperti yang saya jelaskan, matriks kerapatan keluaran ( di harus diagonal. Itu berarti bahwa superposisi seragam atas semua status basis adalah status eigen jika dan hanya jika sistem dicampur secara maksimal. Saya akan jika seseorang bisa menggabungkan pengamatan ini dengan semacam amplifikasi amplitudo untuk mendapatkan percepatan ringan. Perhatikan bahwa membangun perbedaan dengan sangat cepat dari jika negara bukan vektor eigen.$\rho$| u ⟩ ρ k | u ⟩ | u $RC$$|u\rangle$$\rho^k|u\rangle$$|u\rangle$

• Selain itu, Anda mungkin perlu melakukan sesuatu yang lebih cerdas dengan register ancilla. Ada beberapa harapan bahwa ini mungkin terjadi karena ada cukup banyak struktur grup yang dibangun pada kubus Rubik. Satu hal yang mungkin Anda coba adalah melihat apakah Anda dapat mengganti semua register ancilla dengan satu register, menerapkan gerbang Hadmard pada setiap qubit register di antara setiap putaran unit yang dikendalikan. Mungkin yang dilakukan adalah memberi Anda penghematan dalam hal jumlah qubit dibandingkan dengan saran asli saya. Bahkan mungkin tidak melakukan itu.$t$

Apakah salah satu dari mereka bekerja secara langsung, saya tidak tahu. Namun, saya pikir prinsip kuncinya adalah menemukan beberapa struktur grup yang berguna, dan menemukan cara amplifikasi amplitudo dapat diterapkan.

Anda mungkin perlu membaca tentang desain kesatuan . Ini jelas merupakan masalah yang berbeda dari apa yang kita bicarakan di sini, tetapi beberapa alat teknis mungkin berguna. Secara kasar, idenya adalah bahwa satu set unitari adalah -design jika aplikasi acak unitari ini memungkinkan seseorang mensimulasikan unitarian yang benar-benar acak (diambil dari ukuran Haar) pada fungsi output yang, ketika diperluas menggunakan seri Taylor, akurat hingga tingkat . Perkiraan koneksi di sini adalah bahwa jika Anda mengambil unitari yang mewakili urutan Singmaster bergerak sebagai , itu akan cukup jika set ini adalah desain 2 (jika Anda mendapatkant f t t { U } Tr ( ρ 2$\{U\}$$t$$f$$t$$t$$\{U\}$$\text{Tr}(\rho^2)$ benar, Anda selesai).

(CW untuk menghindari repetisi dari jawaban sendiri)

Ada mungkin menjadi cara yang interaktif bagi dua pihak untuk mempersempit dalam pada nilai , menindaklanjuti @ jawaban DaftWullie dan komentar @Steven Sagona ini. Formalisme saya buruk, tapi saya harap idenya berhasil ...$t$

Misalnya, panggil kedua pihak Alice dan Bob. Para pihak harus bekerja sama, dan berperilaku jujur ​​sesuai dengan protokol.

Alice tahu bagaimana menyiapkan dua status, dan . Di sini, adalah superposisi seragam di atas semua kombinasi kubus Rubik, dan adalah beberapa keadaan monyet lainnya dengan jumlah qubit yang sama (seperti keadaan yang terkait dengan kubus Rubik yang diselesaikan, atau superposisi seragam lebih dari beberapa subkelompok besar ). Bob tahu bagaimana menerapkan matriks ke keadaan kuantum, di mana berkorespondensi dengan satu langkah dari semua gerakan Singmaster (dengan ancillas yang sesuai.)| A 1 ⟩ | Sebuah 0 ⟩ | A 1 ⟩ G M $\vert A_0 \rangle$$\vert A_1 \rangle$$\vert A_0\rangle$$\vert A_1\rangle$$G$$M$$M$

Alice dan Bob ingin menunjukkan bahwa pencampuran waktu kelompok kubus Rubik di bawah singmaster bergerak adalah paling . Alice, dan Bob ulangi berikut kali.r $t$$r$$s$

1. Alice membalik koin , dan memberikan kepada Bob$i\in\{0,1\}$$\vert A_i \rangle$
2. Bob mengulangi kali untuk menerapkan ke , dan mengukur proyektor setiap waktu.$r$$M$$\vert A_i \rangle$
3. Jika proyektor adalah untuk masing-masing iterasi, maka Bob mengatakan bahwa . Jika proyektor bukan untuk setidaknya satu dari iterasi, maka Bob mengatakan bahwa Alice's .$1$$r$$i=0$$1$$r$$i=1$

Jika , kemudian masing-masing Bob iterasi pada langkah 2 tidak berubah - karena menurut definisi adalah eigenstate matriks Bob, dan matriks Bob hanya permutes negara-negara di antara mereka sendiri. Jika maka negara monyet adalah bukan merupakan eigenstate dari proyektor Bob dan kesempatan bahwa tidak akan diukur tumbuh cepat dengan . r | Sebuah 0 ⟩ | A $i=0$$r$$\vert A_0\rangle$$\vert A_0 \rangle$$i=1$$\vert A_1 \rangle$$1$$r$

Jadi, jika Bob telah secara akurat meramalkan untuk iterasi, probabilitas keberhasilan tumbuh secara eksponensial dengan , dan Bob cukup besar untuk membedakan negara kubus Rubik yang valid dari keadaan monyet.$i$$s$$s$$r$

Saya tidak tahu seberapa jauh jaraknya dari harus dari . Saya juga tidak tahu apakah interaksi dapat dihapus.| A 0$\vert A_1\rangle$$\vert A_0\rangle$

Awalnya mari kita pertimbangkan beberapa register dan operator.

1. Register , yang mengkodekan superposisi status kubus (misalnya permutasi kubus );$\vert A\rangle$$G$
2. Operator , yang bekerja pada untuk memetakan ket semua-0's ke superposisi yang seragam di semua status ;$U$$\vert A\rangle$$\vert 00\cdots 0\rangle$$\Vert G\Vert$
3. Register , yang menyandikan superposisi dari serangkaian gerakan Singmaster untuk diterapkan ke posisi tertentu (misalnya, superposisi kata-kata dari Singmaster bergerak dengan panjang );$\vert B\rangle=\vert b_1\rangle\vert b_2\rangle\cdots\vert b_k\rangle$$k$
4. Operator dan , yang bekerja pada untuk memetakan ket semua-0's ke superposisi yang seragam dari semua kata-kata Singmaster yang bergerak dengan panjang (dan sebaliknya); dan$V$$V^{-1}$$\vert B\rangle$$\vert 00\cdots 0\rangle$$18^k$$k$
5. Operator (yang dikontrol) , yang menerapkan Singmaster memindahkan ke ke posisi kubus yang diberikan.$W$$b$

Jika berada dalam superposisi seragam di atas semua elemen , maka berada dalam status eigen , dan aplikasi berulang tidak akan ditendang kembali untuk mempengaruhi .$\vert A\rangle$$G$$\vert A\rangle$$W$$W$$\vert B\rangle$

Yaitu, harus mengembalikan di sirkuit di atas ke semua-nol ket .$V^{-1}$$\vert B\rangle$$\vert 00\cdots 0\rangle$

Namun , seperti yang dicatat oleh @DaftWullie, jika tidak berada dalam status eigen, maka perbedaan antara dan bertambah sangat cepat - saya percaya kecepatan di mana perbedaan ini terbentuk tergantung tepatnya pada sifat-sifat pencampuran operator bunga.$\vert u\rangle$| u ⟩ ρ k | u ⟩$\vert u \rangle$$\rho^k \vert u\rangle$

Dengan demikian, jika kita dapat menyiapkan keadaan yang terganggu dari distribusi seragam, sehingga bukan eigenstate, maka aplikasi berulang akan dengan cepat membangun perbedaan, dan mungkin bukan all-nol nol.$\vert A\rangle$$\vert A\rangle$$W$ $V^{-1}\vert B\rangle$

Jika kita memiliki fungsi bekerja pada dan jawaban qubit yang menentukan, katakanlah, apakah beberapa hash dari posisi kubus Rubik kurang dari beberapa ambang , dan kami menggunakan ini untuk mengontrol rotasi , maka saya percaya bahwa di sirkuit di atas tidak akan membaca semua-nol ket, dan sebaliknya akan cenderung menyimpang dari semua-nol ket dengan cara yang hanya bergantung pada dan waktu pencampuran grup kubus Rubik dengan perangkat pembangkit Singmaster.$F$$\vert A\rangle$$\vert C\rangle$$\{0,1\}^{\log_2 \Vert G\Vert}\mapsto (0,1)$$\delta$$F$$\vert A\rangle$V - 1 | B ⟩ delta$V^{-1}\vert B\rangle$$\delta$

Yaitu, saya berharap pengukuran di sirkuit di atas akan membaca atau yang serupa, di mana indeks dari pertama hanya bergantung pada waktu pencampuran dan ambang .$\vert B\rangle$$\vert 00000\cdots000101101\rangle$1$1$$\delta$