Bagaimana saya bisa menghitung produk dalam dari dua register kuantum dengan ukuran berbeda?

9

Saya menemukan sebuah algoritma yang dapat menghitung jarak dua keadaan kuantum. Ini didasarkan pada subrutin yang dikenal sebagai tes swap (penaksir kesetiaan atau produk dalam dua negara, tapi saya tidak mengerti apa artinya kesetiaan).

Pertanyaan saya adalah tentang produk dalam. Bagaimana saya bisa menghitung produk dalam dari dua register kuantum yang berisi jumlah qubit yang berbeda?

Deskripsi algoritma ditemukan dalam makalah ini . Berdasarkan langkah ke-3 yang muncul pada gambar, saya ingin membuktikannya dengan memberikan contoh.

Biarkan: , , dan Yang kami inginkan adalah kesetiaan dari dua status berikut dan dan untuk menghitung jarak antara dan diberikan sebagai: jadi $|a| = 5$ $|b| = 5$ $Z = 50$

| a ⟩ = \frac{3}{5} | 0 ⟩ + \frac{4}{5} | 1 ⟩

$|a\rangle = \frac{3}{5}|0\rangle + \frac{4}{5}|1\rangle$

| b ⟩ = \frac{4}{5} | 0 ⟩ + \frac{3}{5} | 1 ⟩

$|b\rangle = \frac{4}{5}|0\rangle + \frac{3}{5}|1\rangle$

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$

| ϕ ⟩

$|\phi\rangle$

| a ⟩

$|a\rangle$

| b ⟩

$|b\rangle$

{| a - b |}^{2} = 2 Z | ⟨ ϕ | ψ ⟩ |^{2}

${|a-b|}^2 = 2Z|\langle\phi|\psi\rangle|^2$

| ψ ⟩ = \frac{3}{5 \sqrt{2}} | 00 ⟩ + \frac{4}{5 \sqrt{2}} | 01 ⟩ + + \frac{4}{5 \sqrt{2}} | 10 ⟩ + + \frac{3}{5 \sqrt{2}} | 11 ⟩

$|\psi\rangle = \frac{3}{5\sqrt{2}}|00\rangle + \frac{4}{5\sqrt{2}}|01\rangle+ + \frac{4}{5\sqrt{2}}|10\rangle + + \frac{3}{5\sqrt{2}}|11\rangle$

| ϕ ⟩ = \frac{5}{\sqrt{50}} (| 0 ⟩ + | 1 ⟩)

$|\phi\rangle = \frac{5}{\sqrt{50}} (|0\rangle + |1\rangle)$ lalu bagaimana cara menghitung

⟨ ϕ | ψ ⟩ = ? ?

$\langle\phi|\psi\rangle = ??$

— Seorang pria
sumber

1

Dalam beberapa kata, Anda tidak bisa. Produk dalam didefinisikan untuk 2 vektor dari ruang yang sama (yaitu 2 vektor dari dimensi yang sama) sedangkan vektor Anda (atau keadaan kuantum) tidak memiliki ukuran yang sama.

— Awal

6

Saya kira Anda melihat persamaan (130) dan (131)? Jadi, di sini, Anda punya dan. Ketika ia mengatakan untuk menghitung, apa benar-benar berarti adalah bantalan segala sesuatu dengan matriks identitas untuk membuat mereka semua ukuran yang sama. Dengan demikian, perhitungannya menjadi $|\psi\rangle=(|0\rangle|a\rangle+|1\rangle|b\rangle)/\sqrt{2}$ $|\phi\rangle=|a| |0\rangle+|b| |1\rangle$ $\langle\phi|\psi\rangle$

(⟨ ϕ | \otimes I) | ψ ⟩,

$(\langle\phi|\otimes\mathbb{I})|\psi\rangle,$

di mana

dan

adalah elemen vektor Anda

. Jika Anda menyelesaikannya, Anda akan mendapatkan

\frac{1}{\sqrt{2 Z}} (\begin{array}{cccc} | a | & 0 & | b | & 0 \\ 0 & | a | & 0 & | b | \end{array}) \cdot (\begin{matrix} a_{0} \\ a_{1} \\ b_{0} \\ b_{1} \end{matrix}),

$\frac{1}{\sqrt{2Z}}\left(\begin{array}{cccc} |a| & 0 & |b| & 0 \\ 0 & |a| & 0 & |b| \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} a_0 \\ a_1 \\ b_0 \\ b_1 \end{array}\right),$

a_{0}

$a_0$

a_{1}

$a_1$

| a ⟩

$|a\rangle$

Saya tidak tahu dari mana tanda negatif itu berasal dari persamaan (133).

\frac{1}{\sqrt{2 Z}} (| a | | a ⟩ + | b | | b ⟩) .

$\frac{1}{\sqrt{2Z}}(|a| |a\rangle+|b| |b\rangle).$

— DaftWullie
sumber

sekali lagi pak, apa maksudmu melapisi semuanya? bagaimana saya bisa menafsirkan ini dalam bentuk rangkaian kuantum ??

— Aman

@Aman maksud saya bahwa ketika dua operator (atau negara, dalam hal ini) didefinisikan untuk set qubit yang berbeda, maka cara Anda membuat mereka ukuran yang sama adalah bahwa Anda memasukkan produk tensor dengan matriks identitas 2x2 untuk setiap qubit yang ada tidak di set yang diberikan.

— DaftWullie

@Aman: Anda hanya bisa menukar register qubit. Apa yang terjadi adalah Anda menukar register pertama dengan qubit pertama dari register kedua. Ini meninggalkan pertanyaan tentang apa yang harus dilakukan dengan sisa qubit dari register kedua. Anda menerapkan operasi identitas untuk itu, yang menjelaskan dari mana identitas di atas berasal.

— Peter Shor

3

Sebenarnya harus ada minusnya. Ada kesalahan di koran. Wittek menggunakan minus dalam bukunya (mahal) .

| ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0, Sebuah ⟩ + | 1, b ⟩)

$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0,a\rangle + |1,b\rangle)$

| ϕ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{Z}} (| Sebuah | | 0 ⟩ - | b | | 1 ⟩)

$|\phi\rangle = \frac{1}{\sqrt{Z}} (|a||0\rangle - |b||1\rangle)$

⟨ ϕ | ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2 Z}} (| Sebuah | ⟨ 0 | - | b | ⟨ 1 |) (| 0, Sebuah ⟩ + | 1, b ⟩)

$\langle \phi |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2Z}} (|a|\langle 0| - |b|\langle 1|) (|0,a\rangle + |1,b\rangle)$

= \frac{1}{\sqrt{2 Z}} (| a | ⟨ 0 | 0 ⟩ | a ⟩ - | b | ⟨ 1 | 0 ⟩ | a ⟩ + | a | ⟨ 0 | 1 ⟩ | b ⟩ - | b | ⟨ 1 | 1 ⟩ | b ⟩)

$= \frac{1}{\sqrt{2Z}}( |a|\langle 0|0\rangle|a\rangle - |b|\langle 1|0 \rangle|a\rangle + |a|\langle 0|1 \rangle|b\rangle - |b|\langle 1| 1 \rangle |b\rangle )$

= \frac{1}{\sqrt{2 Z}} (| a | | a ⟩ - 0 + 0 - | b | | b ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2 Z}} (| a | | a ⟩ - | b | | b ⟩)

$= \frac{1}{\sqrt{2Z}} (|a| |a\rangle - 0 + 0 - |b| |b\rangle) = \frac{1}{\sqrt{2Z}} (|a| |a\rangle - |b| |b\rangle)$

$|\psi\rangle$ $|\phi\rangle$

— cnada
sumber

Terima kasih tuan, tetapi dalam | ψ⟩ apakah kita memiliki 3 qubit atau 2 qubit?

— Aman

Anda memiliki jumlah qubit yang diperlukan untuk a dan b (katakanlah N) dan Anda menambahkan satu lagi sehingga N +1.

— cnada