Algoritma Quantum untuk Konvolusi

Saya melihat ke dalam aplikasi Quantum Computing untuk pembelajaran mesin dan menemukan pra-cetak berikut dari tahun 2003. Konvolusi Quantum dan Algoritma Korelasi secara fisik tidak mungkin . Artikel itu tampaknya tidak pernah diterbitkan di jurnal mana pun, tetapi telah dikutip beberapa lusin kali.

Penulis artikel menyatakan bahwa mustahil untuk menghitung konvolusi diskrit atas status kuantum. Secara intuitif ini kelihatannya salah bagi saya, karena saya tahu kita dapat melakukan perkalian matriks kuantum, dan saya tahu bahwa konvolusi diskrit dapat dibingkai hanya sebagai perkalian dengan matriks Toeplitz (atau circulan).

Inti dari argumennya adalah bahwa tidak ada komposisi operator kesatuan yang dapat direalisasikan untuk produk elemen (Hadamard) dari dua vektor.

Di mana putuskan sambungan saya? Apakah ada alasan kita secara umum tidak dapat membuat matriks Toeplitz untuk konvolusi diskrit di komputer kuantum?

Atau artikelnya salah? Saya telah bekerja melalui kontradiksi yang disajikan penulis dalam buktinya tentang Lemma 14, dan tampaknya masuk akal bagi saya.

algorithm quantum-fourier-transform

— DPL
sumber

Makalah ini berakhir dengan menyatakan "Catatan akhir: hasil ini terinspirasi oleh komentar yang dibuat oleh David Meyer, yang memperoleh hasil yang serupa secara independen." Apakah Anda memeriksa kertas karya Meyer?

— Norbert Schuch

@NorbertSchuch saya lakukan, dan tidak dapat menemukan satu membuat klaim serupa.

— DPL

Jawaban:

Anda benar-benar dapat melakukan konvolusi pada komputer kuantum (dan secara eksponensial lebih cepat dalam hal ini), jika sinyal input Anda memiliki struktur tertentu. Tetapi untuk input umum, ini tampaknya menantang dan mungkin bahkan secara fisik tidak mungkin, yang menurut makalah ini sepertinya berdebat.

Pertimbangkan bagaimana Anda menghitung konvolusi dua sinyal diskrit dan klasik. Anda dapat mengambil transformasi Fourier dari kedua sinyal, melakukan perkalian titik-bijaksana dari vektor yang dihasilkan, dan kemudian melakukan transformasi Fourier terbalik: $f$ $g$

F^{- 1} (F (f) . F (g))

$\mathscr{F}^{-1} (\mathscr{F}(f) . \mathscr{F}(g))$

Perhatikan bahwa transformasi Fourier adalah operasi yang sangat murah pada komputer kuantum. Jadi ini tampak hebat. Masalahnya adalah bahwa perkalian titik-bijaksana dari dua vektor tidak begitu mudah. Mari kita lihat faktor apa yang menentukan itu.

$f$

F = F (f) = \frac{1}{N} \sum_{i = 0}^{N - 1} | i ⟩ = \sum_{i = 1}^{N - 1} F (i)

$F = \mathscr{F}(f) = \frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N-1}{|i\rangle} = \sum_{i=1}^{N-1}F(i)$

F (f) . F (g) = F . G = (\begin{array}{cccc} F (0) \\ F (1) \\ . \\ F (N - 1) \end{array}) (\begin{matrix} G (0) \\ G (1) \\ . \\ G (N - 1) \end{matrix})

$\mathscr{F}(f) . \mathscr{F}(g) = F.G = \left(\begin{array}{cccc} F(0) & & & \\ & F(1) & & \\ & & . & \\ & & & F(N-1) \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} G(0) \\ G(1) \\ . \\ G(N-1) \end{array}\right)$

$f$

F = F (f) = \frac{1}{2} (| 0 ⟩ + | 2 ⟩ + | 5 ⟩ + | 7 ⟩)

$F = \mathscr{F}(f) = \frac{1}{2}(|0\rangle + |2\rangle + |5\rangle + |7\rangle)$

Telah ada pekerjaan sebelumnya untuk menemukan fungsi yang menghasilkan spektrum Fourier datar atau hampir datar, dan dengan demikian mudah berbelit-belit:

https://arxiv.org/abs/0811.3208

https://arxiv.org/abs/quant-ph/0211140

— Ali Javadi
sumber

\sum_{i j} α_{i} β_{j} | i j ⟩ \mapsto \sum_{i} α_{i} β_{i} | i ⟩

$\sum_{ij}\alpha_i\beta_j|ij\rangle\mapsto \sum_i\alpha_i\beta_i|i\rangle$

P = \sum_{i} | i ⟩ ⟨ i i | .

$P=\sum_{i}|i\rangle\langle ii|.$

| i i ⟩ \mapsto | i 0 ⟩,

$|ii\rangle\mapsto|i0\rangle,$

— DaftWullie
sumber

Apakah tidak diharuskan operasi itu bersifat kesatuan?

— Craig Gidney

@CraigGidney Theorem 16 secara khusus berbicara tentang kombinasi unitari dan pengukuran, dan mengklaim bahwa tidak ada hasil pengukuran individu yang dapat mencapai peta itu.

— DaftWullie

Ini sepertinya contoh yang bagus. Apakah Anda memiliki perasaan untuk kesalahan dalam logika penulis dalam membuktikan Lemma 14 (yang ia gunakan sebagai dasar untuk membuktikan Teorema 16?)

— DPL

@ DPL Saya tidak berpikir Lemma 14 salah (setidaknya, saya percaya hasilnya. Saya tidak tahu buktinya) Namun ada argumen aneh dalam teorema 16 (mungkin ok, saya tidak menghabiskan waktu berpikir tentang hal itu, itu hanya terlihat mencurigakan) sesuatu tentang karena sesuatu itu benar untuk kesatuan, itu juga berlaku untuk operator linier, dan karenanya untuk pengukuran juga.

— DaftWullie

@DPL lebih akurat, saya percaya Lemma 14 karena berlaku untuk kesatuan.

— DaftWullie