Bagaimana komputer kuantum digunakan untuk menyelesaikan Persamaan Diferensial Parsial?

12

Katakanlah Anda memiliki PDE yang ingin Anda selesaikan.

Apa jenis algoritma kuantum yang akan Anda gunakan untuk menyelesaikannya? Bagaimana kita memasukkan masalah kita di komputer kuantum? Apa yang akan menjadi output dan dalam bentuk apa?

Saya tahu bahwa algoritma kuantum untuk menyelesaikan sistem linear (sering disebut HHL tetapi sebenarnya ini adalah nama yang buruk karena versi lain bukan dari penulis HHL) telah terdaftar sebelumnya tetapi mungkin metode lain di luar sana. Juga karena dianggap sebagai subrutin, outputnya adalah kuantum dan kemudian kecuali Anda ingin statistik darinya atau menggunakannya sebagai input dari algoritma kuantum lain, itu membatasi.

algorithm

— cnada
sumber

Seberapa umum Anda ingin menjadi PDE? Apakah ini linier?

— AHusain

Jika Anda memiliki pengaturan PDE yang berbeda, saya ingin mengetahuinya. Katakan linear misalnya dulu karena saya kira non-linear mungkin lebih sulit untuk dilakukan.

— cnada

6

Saya tidak punya jawaban pasti untuk pertanyaan Anda (jika memang benar ada); tapi saya bisa menjawab bagian dari pertanyaan Anda yang berkaitan dengan I / O ke prosesor kuantum.

Sebagai aturan umum; Algoritma Quantum (saat ini) tidak dapat memberikan jawaban langsung untuk pernyataan masalah. Setidaknya untuk saat ini, prosesor kuantum ada sebagai akselerator heterogen dengan unit komputasi klasik. 'Akselerator kuantum' hanya berkenaan dengan bagian dari keseluruhan algoritma yang tidak sepele (atau eksponensial dalam kompleksitas) untuk dipecahkan pada komputer klasik. Pada akhirnya, hanya sebagian dari program yang benar-benar dihitung pada prosesor kuantum. (Misalnya. Algoritma Anjak piutang Shor sebenarnya adalah algoritma pencarian periode. Menemukan periode adalah tugas yang tidak sepele.)

Di antara beberapa alasan lain, masalah utama adalah operasi input dan output dengan prosesor kuantum. Masalahnya 'harus' dapat diungkapkan dalam bentuk ringkas (misalnya persamaan). Persamaan ini dinyatakan sebagai sirkuit kuantum dalam 'oracle' yang terutama berkaitan dengan penyelesaian persamaan dan hasil pengukuran dicatat (tomografi). Keluaran juga membutuhkan pemrosesan pasca untuk benar-benar masuk akal (yang sekali lagi dilakukan oleh mitra klasik).

ps Saya akan sangat tertarik untuk mengetahui lebih banyak tentang PDE memecahkan algoritma kuantum; jika ada yang efisien.

— viliyar
sumber

Saya mengerti sudut pandang "umum". Tidak mudah bagi saya bagaimana kita memodelkan penyelesaian PDE pada komputer kuantum. Ini langsung di HHL karena masalah Anda dapat dinyatakan sebagai sistem linear Ax = f ketika Anda melakukan diskritisasi. Anda cukup mengekspresikan f Anda sebagai keadaan kuantum (input pertama Anda), gunakan A dalam bentuk Hermitian untuk estimasi fase misalnya (input kedua) dan dengan menggunakan subrutin yang menggunakan rotasi terkontrol dan uncomputasi (setidaknya untuk versi asli HHL ) Anda memiliki output sebagai keadaan kuantum.

— cnada

Ini entah bagaimana menjadi efisien dalam ukuran masalah karena Anda menggunakan dimensi eksponensial dari ruang Hilbert untuk pengkodean dalam probabilitas amplitudo fungsi gelombang.

— cnada

Tapi saya akan bertanya-tanya apakah ada cara / algoritma lain untuk PDE.

— cnada

4

Saya menemukan pendekatan untuk menyelesaikan persamaan diferensial menggunakan D-wave quantum annealer. Tautannya ada di sini: https://arxiv.org/abs/1812.10572 .

Metode dasar adalah untuk memperoleh fungsional energi untuk persamaan diferensial yang kemudian diminimalkan pada annealer kuantum. Minimalisasi dapat menggunakan dasar elemen hingga untuk memetakan energi ke sub grafik lokal dari mesin gelombang-D.

Keuntungan dari ini lebih dari algoritma klasik adalah bahwa tidak perlu bahkan membangun sistem persamaan, sehingga ada penghematan memori dan menghindari biaya perakitan sistem linear. Namun kompleksitas solusi sama dengan metode gradien konjugat klasik: . Algoritma HHL di sisi lain dapat memberikan kecepatan eksponensial, tetapi seperti yang Anda katakan tidak secara langsung memberikan solusinya, ditambah kita memang perlu merakit sistem linier di tempat pertama. $\mathcal{O}(n)$

— Jeremy
sumber

1

Hai Jeremy! Menurut thread ini dan makalah penelitian lain, metode gradien konjugat tidak melainkan dengan sparsity dari matriks dan nomor kondisinya.

O (n)

$\mathcal{O}(n)$

O (s \sqrt{κ})

$\mathcal{O}(s \sqrt{\kappa})$

s

$s$

κ

$\kappa$

— Awal