Cara ringkas menggambarkan himpunan semua grup stabilizer untuk jumlah tetap qubit fisik dan qubit logis yang disandikan

Perbaiki , jumlah qubit dan , jumlah qubit logis yang disandikan. Kita dapat menemukan satu set operator bahwa semua saling bolak-balik dan apalagi membentuk kelompok . Mari kita asumsikan bahwa grup adalah subkelompok dari grup Pauli. Kita dapat menggunakan operator ini untuk memperbaiki ruang vektor . $n$ $k$ $(n-k)$ $S$ $S$ $2^{n-k}$

Sekarang pertimbangkan semua grup stabilisator dibentuk dengan cara ini, menyandikan qubit dalam , dan pertimbangkan set , di mana adalah spesifik grup stabilizer yang menstabilkan beberapa ruang vektor 2 dimensi . Bagaimana saya bisa secara eksplisit menetapkan perangkat ini? Sebagai contoh: untuk dan , kita dapat memiliki dan , dan sebagainya untuk grup stabilizer lainnya. $S_i$ $k$ $n$ $\mathcal{S}= \{S_i \, \vert\, i=1 \ldots N\}$ $S_i$ $2^{n-k}$ $n=3$ $k=1$ $S_1 = \langle Z_1Z_2, Z_2 Z_3\rangle$ $S_2 = \langle X_1X_2, X_2 X_3\rangle$

Salah satu cara yang mungkin untuk solusi adalah dengan mempertimbangkan matriks cek paritas untuk tertentu , dan kemudian tanyakan tindakan kelompok apa yang dapat kita tentukan pada matriks pemeriksaan paritas untuk menghasilkan matriks pemeriksaan paritas untuk setiap kelompok stabilizer lain yang sama kardinalitas. Tapi saya tidak tahu bagaimana kelompok seperti itu akan bertindak pada kelompok stabilizer. Dalam contoh saya untuk atas, misalnya, saya dapat mengubah menjadi dengan mengkonjugasikan dengan Hadamard, dan saya pikir ini sesuai dengan perkalian yang tepat sekitar $S_i$ $S_i$ $(n,k) = (3,1)$ $S_1$ $S_2$ $2n \times 2n$ matriks pada matriks pemeriksaan paritas.

Karena contoh ini, saya tergoda untuk berpikir bahwa apa yang saya butuhkan adalah konjugasi oleh seluruh grup Clifford atau subkelompok untuk bertindak dengan konjugasi , dan itu akan sesuai dengan tindakan matriks symplectic pada matriks cek paritas. Dalam hal itu, himpunan ditentukan dengan memperbaiki grup stabilizer tertentu dan bertindak di atasnya dengan konjugasi oleh representasi kesatuan grup Clifford atau subkelompok. Apakah sedekat ini? $S_i$ $(2n \times 2n)$ $\mathcal{S}$ $S_i$

error-correction stabilizer-code

— Amara
sumber

Apa yang sebenarnya ingin Anda dapatkan? Sejauh yang saya mengerti dalam pertanyaan, Anda mencoba untuk mewakili kelompok stabilisator dengan mewakili salah satu stabilisator melalui matriks simpplektik dan yang lainnya dengan beberapa transfomasi matriks tersebut. Saya tidak benar-benar melihat motivasi mewakili kelompok stabilizer dengan cara ini, karena Anda dapat mewakilinya dengan seluruh matriks cek paritas dengan mengambil representasi symplectic dari setiap generator stabilizer dan kemudian membentuk

matriks .

(n - k) \times 2 n

$(n-k)\times 2n$

— Josu Etxezarreta Martinez

@JosuEtxezarretaMartinez Saya ingin akhirnya mempertimbangkan setiap elemen

dengan beberapa kemungkinan. Jadi misalnya saya bisa memilih kode flip bit dengan probabilitas 0,5 dan fase kode flip dengan probabilitas 0,5. Pada kenyataannya set

akan lebih besar dan jadi saya perlu cara untuk memastikan saya bisa mendapatkan setiap elemen di set

S_{i}

$S_i$

S

$\mathcal{S}$

— Amara

Ada kabar baik dan kabar buruk. Berita baiknya adalah intuisi Anda pada dasarnya benar, dan ada aksi kelompok seperti itu melalui grup Clifford. Berita buruknya adalah, tergantung pada apa yang Anda inginkan dari parameterisasi itu, itu mungkin tidak berguna seperti yang Anda harapkan. $\def\ket#1{\lvert #1 \rangle}$

Berita baiknya pertama - setiap grup stabilizer Pauli pada qubit, dengan generator independen, dapat dipetakan ke grup lain dengan konjugasi oleh operator grup Clifford. Cara paling sederhana untuk menunjukkan ini adalah dengan induksi pada . Jika , maka hanya ada satu grup stabilizer tersebut: grup trivial . Untuk apa pun , diberikan grup stabilisator input , Anda dapat mereduksi menjadi case dengan langkah-langkah berikut: $n$ $r = n-k$ $r$ $r = 0$ $\{ \mathbf 1 \}$ $r > 0$ $S$ $r-1$

Pilih generator apa pun dari grup stabilizer, dan beberapa qubit di mana bertindak non-sepele. $P_r$ $x_r$ $P_r$
Temukan operator grup Clifford sehingga , operator Pauli single-qubit yang hanya bekerja pada qubit . Operator dapat melibatkan operator SWAP untuk bertukar faktor tensor untuk qubit dan . $C_r$ $C_r P_r C_r^\dagger = Z_{n-r}$ $Z$ $(n-r)$ $C_r$ $x_r$ $(n-r)$
Tentukan bagaimana generator lain dari grup stabilizer berubah di bawah . Ini menghasilkan daftar generator untuk grup . Karena adalah abelian, citra masing-masing generator baik bekerja pada qubit dengan atau . Dalam kasus terakhir, buat generator baru dengan mengalikannya dengan . Karena adalah elemen , ini menghasilkan seperangkat generator yang setara untuk grup. $C_r$ $S' = \{ C_r P C_r^\dagger \,\vert\, P \in S\}$ $S'$ $(n-r)$ $\mathbf 1$ $Z$ $Z_{n-r}$ $Z_{n-r}$ $S'$

Setelah melakukan ini, Anda memiliki grup stabilizer untuk subruang yang distabilkan oleh . Keadaan apa pun di grup ini faktor sebagai produk tensor dari pada qubit , dan beberapa status pada qubit yang tersisa. Dengan mempertimbangkan kode stabilizer yang ditentukan pada semua qubit lain, Anda telah mereduksi menjadi case grup stabilizer pada dan dengan generator . $Z_{n-r}$ $\ket{0}$ $(n-r)$ $n-1$ $r-1$

Jika kita membongkar bukti induktif ini, kita memperoleh prosedur rekursif untuk memetakan kode stabilizer dengan generator ke sirkuit Clifford yang memetakan kelompok stabilizer itu ke grup tertentuJika Anda memiliki dua kode seperti dan , buat saja sirkuitnya untuk mendapatkan sirkuit yang memetakan ke . Ada beberapa redundansi, di mana set generator yang berbeda dari kelompok stabilizer akan menghasilkan rangkaian yang berbeda $S$ $r$ $\mathcal C$

Z_{n, r} := ⟨ Z_{n - r}, Z_{n - r + 1}, \dots, Z_{n} ⟩ .

$\mathcal Z_{n,r} := \langle Z_{n-r}, Z_{n-r+1}, \ldots, Z_n\rangle \,.$

S_{1}

$S_1$

S_{2}

$S_2$

C_{2}^{†} C_{1}

$\mathcal C_2^\dagger \mathcal C_1$

S_{1}

$S_1$

S_{2}

$S_2$

S_{j}

$S_j$

C_{j}

$\mathcal C_j$ : ini sesuai dengan kenyataan bahwa beberapa sirkuit Clifford hanya mengevaluasi automorfisme ( yaitu kesatuan logis) dari kode. Tapi tidak apa-apa: apa yang Anda miliki adalah cara menghasilkan kode stabilizer apa pun pada qubit dengan generator stabilizer dari satu kode tunggal.

n

$n$

r

$r$

Berita buruknya adalah, seperti yang terjadi, semua yang telah kita lakukan di atas berlaku untuk parameterisasi kode stabilizer oleh sirkuit pengkodeannya. Dengan "encoding circuit", maksud saya hanya sirkuit yang mengambil qubit state , dan kemudian meng- encode dalam sistem -qubit dengan menyiapkan qubit segar di state dan bertindak atas dasar itu oleh kesatuan yang sesuai. Dengan mengurangi kode stabilizer sembarang dengan generator menjadi kode 'kanonik' (dan sangat membosankan) yang grup stabilisatornya adalah $k = n-r$ $\ket{\psi}$ $\ket{\psi}$ $n$ $r$ $\ket{0}$ $r$ $\mathcal Z_{n,r}$ , kami telah membuktikan tidak lebih dan kurang dari itu bahwa kode stabilizer adalah kode dengan rangkaian pengkodean Clifford. Menjelaskan kode stabilizer dalam hal orbit bawah grup Clifford -qubit tidak lebih atau kurang dari menggambarkan kode dalam hal sirkuit pengkodeannya. Ini adalah fakta yang baik untuk diandalkan, tetapi lebih merupakan hasil dasar daripada hasil yang mendalam. $\mathcal Z_{n,r}$ $n$

Jika Anda mengambil beberapa kode lain sebagai kode 'referensi', maka pada dasarnya Anda melakukan hal yang sama, kecuali membuat sirkuit pengkodean tersebut oleh beberapa sirkuit Clifford lainnya. Sudut pandang ini mungkin atau mungkin tidak membantu bagi Anda - itu tentu sifat dasar yang baik untuk diperhatikan, ketika Anda mendiskusikan kode stabilizer dan kondisi stabilizer dengan orang lain yang kurang terbiasa dengan mereka - tetapi tanpa memaksakan kendala tambahan pada apa pengkodean sirkuit atau representasi kode yang Anda minati ( misalnya untuk membatasi automorfisme kode yang Anda pertimbangkan), tebakan saya adalah bahwa parameterisasi ini mungkin memiliki kegunaan terbatas. Intinya, pada akhirnya, akan menjadi sifat kode stabilizer yang Anda perhatikan.

— Niel de Beaudrap
sumber

Jadi semua yang dikatakan adalah bahwa dengan diberikan grup stabilizer saya hanya bisa mendapatkan aksi unitary Clifford acak dengan konjugasi pada masing-masing generator dan mendapatkan grup stabilizer lain?

— Amara

Anda bahkan tidak perlu apa pun yang saya tulis untuk mendapatkan itu, sebenarnya. Itu benar pada dasarnya dengan definisi kelompok Clifford. Apa yang saya tunjukkan adalah bahwa Anda bisa mendapatkan semua grup stabilizer lain (kardinalitas yang sama dan jumlah qubit yang sama dengan grup stabilizer asli Anda) dengan cara ini.

— Niel de Beaudrap