Bagaimana cara mengatasi kondisi batas melengkung saat menggunakan metode beda hingga?

Saya mencoba belajar tentang menyelesaikan sendiri PDE secara numerik.

Saya sudah mulai dengan metode beda hingga (FDM) untuk beberapa waktu karena saya mendengar bahwa FDM adalah dasar dari banyak metode numerik untuk PDE. Sejauh ini saya punya beberapa pemahaman dasar untuk FDM dan bisa menulis kode untuk beberapa PDE sederhana terletak di wilayah biasa dengan bahan yang saya temukan di perpustakaan dan Internet, tapi anehnya, bahan-bahan yang saya dapatkan biasanya hanya berbicara sedikit. tentang pengobatan batas yang tidak teratur, melengkung, aneh, seperti ini .

Terlebih lagi, saya belum pernah melihat cara mudah untuk berurusan dengan batas lengkung. Misalnya, buku Solusi Numerik dari Persamaan Diferensial Parsial - Suatu Pengantar (Morton K., Mayers D) , yang berisi diskusi paling terperinci (terutama dalam 3,4 dari p71 dan 6,4 dari p199) yang saya lihat sampai sekarang, telah berubah menjadi ekstrapolasi yang benar-benar rumit dan membuat frustrasi bagi saya.

Jadi, seperti judulnya bertanya, tentang batas melengkung, biasanya bagaimana orang menghadapinya ketika menggunakan FDM? Dengan kata lain, pengobatan apa yang paling populer untuk itu? Atau tergantung jenis PDE?

Apakah ada (setidaknya relatif) cara yang elegan dan presisi tinggi untuk menangani batas lengkung? Atau itu hanya rasa sakit yang tak terhindarkan?

Saya bahkan ingin bertanya, apakah orang benar-benar menggunakan FDM untuk batas melengkung saat ini? Jika tidak, apa metode yang umum untuk itu?

Bantuan apa pun akan dihargai.

pde finite-difference boundary-conditions

— xzczd
sumber

Jawaban:

Menjawab pertanyaan terakhir Anda terlebih dahulu, apakah orang benar-benar menggunakan FDM untuk batas melengkung saat ini saya akan mengatakan jawabannya tidak. Dalam dunia CFD komersial, skema volume terbatas akurat urutan ke-2 adalah standar industri de-facto. Salah satu keuntungan dari FV (dan elemen hingga / pendekatan galerkin diskontinyu yang disebutkan Jed) dibandingkan dengan FD adalah penanganan batas-batas kompleks yang jauh lebih alami. FD memang memberikan fondasi banyak metode numerik (termasuk FV) dan perlu dipelajari sebagai langkah pertama, tetapi tidak disarankan untuk masalah kompleks skala besar.

$(x,y)$ $\xi = \xi(x,y),\eta = \eta(x,y)$ $\Delta \xi = \Delta \eta = constant$ . Maka orang dapat menulis ulang istilah seperti

\frac{\partial kamu}{\partial x} = \frac{\partial kamu}{\partial ξ} \frac{\partial ξ}{\partial x} + \frac{\partial kamu}{\partial η} \frac{\partial η}{\partial x}

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial \xi} \frac{\partial \xi}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial \eta} \frac{\partial \eta}{\partial x}$

$\frac{\partial (\xi,\eta)}{\partial (x,y)}$ $u$

Saya akan mengatakan pendekatan grid yang dipasang pada tubuh ini adalah "perawatan paling populer" untuk berurusan dengan batas melengkung dalam FD, dengan peringatan bahwa metode FD sendiri tidak terlalu "populer" lagi untuk aplikasi yang kompleks. Sangat jarang melihat mereka masih muncul dalam literatur CFD kecuali untuk domain yang sangat sederhana.

— Aurelius
sumber

Pernyataan Anda "Saya akan mengatakan jawabannya tidak" tidak benar. Visbal dan Gaitonde bekerja secara luas dengan FD tingkat tinggi dalam kode FDL3DI . Juga, kode OVERFLOW NASA adalah kode FD (sejauh yang saya tahu / tahu).

— Brian Zatapatique

OVERFLOW awalnya murni FD, tetapi sekarang umumnya menggunakan pemisahan fluks FV (AUSM, HLLC, dll., Di Ch 1 dari tautan Anda.) Ini juga sudah pasti merupakan kode "lawas". Tautan FDL3DI itu berasal dari pekerjaan di tahun 90-an ketika pekerjaan berbasis elemen hingga / DG berhingga tingkat tinggi sedang dalam masa pertumbuhan dan tidak ada skema volume terbatas hingga tingkat keakuratan dengan akurasi tinggi yang dapat diperlihatkan. Saya pikir Anda akan kesulitan untuk meyakinkan seseorang pada tahun 2013 untuk memulai pengembangan kode berdasarkan pada strategi beda hingga kompak karya itu. Meskipun elegan, sangat terbatas untuk aplikasi.

— Aurelius

Saya agak tidak setuju dengan pernyataan umum Anda bahwa tidak disarankan menggunakan FD untuk masalah rumit berskala besar. Saat ini, orang-orang di HPC cenderung menyusun kembali skema elemen hingga mereka dengan cara seperti stensil dan menggunakan kisi-kisi terstruktur (semi-) untuk secara efisien mengimplementasikan pemecah matriks-bebas untuk komputasi skala ekstrim. Dengan demikian, sama tidak modisnya dengan mereka, orang masih benar-benar ingin menggunakan perbedaan yang terbatas. Belum lagi ada aplikasi di mana Anda bisa lolos dengan jerat terstruktur. Untuk geometri kompleks, standar FD terasa menyakitkan dan mungkin itu yang ingin Anda nyatakan.

— Christian Waluga

Untuk geometri lengkung sederhana, FD orde tinggi akan memenangkan perbedaan-volume / volume spektral orde tinggi, rekonstruksi fluks, atau metode DG berdasarkan efisiensi (ketepatan / waktu). Untuk yang kompleks, pembuatan grid mungkin cukup sulit untuk membuat Anda mencoba pendekatan alternatif. Orang tidak boleh lupa bahwa fleksibilitas yang sangat besar dari metode yang disebutkan di atas datang dengan biaya yang cukup besar, lihat makalah ini oleh Loehner . Ini adalah salah satu alasan mengapa FDL3DI dan OVERFLOW masih digunakan.

— Brian Zatapatique

@ChristianWaluga ya pada dasarnya itulah yang saya coba nyatakan. Jelas ide-ide FD menemukan jalan mereka ke aplikasi lain (misalnya gradien dalam FV yang dihitung oleh perbedaan terbatas), dan di daerah-daerah tertentu seperti DNS pada geometri sederhana yang Anda lihat digunakan. Tetapi untuk kode tujuan umum tren selama 2 dekade terakhir telah cukup jelas dari FD murni.

— Aurelius

Batas melengkung tercakup dalam sebagian besar buku CFD, misalnya, Bab 11 dari Wesseling atau Bab 8 dari Ferziger dan Peric .

Meskipun bukan masalah teoretis yang mendasar, kompleksitas praktis penerapan kondisi batas untuk metode tingkat tinggi pada batas melengkung adalah alasan signifikan untuk minat pada metode yang lebih fleksibel secara geometris seperti metode elemen hingga (termasuk Galerkin diskontinyu). Perbedaan hingga terstruktur dan grid volume terbatas masih digunakan dalam beberapa simulasi CFD, tetapi metode tidak terstruktur mendapatkan popularitas dan operasi lokal yang digunakan oleh metode tak terstruktur tingkat tinggi sebenarnya cukup efisien, dan dengan demikian mungkin tidak mengalami banyak kerugian dalam efisiensi dibandingkan dengan FD serupa metode. (Memang, fleksibilitas geometrik sering membuat mereka lebih efisien.)

— Jed Brown
sumber

Jawaban yang bagus, Jed. Ada langkah-langkah yang sangat langkah demi langkah tentang bagaimana memperlakukan BC tidak teratur dalam masalah cairan yang ditemukan dalam tesis saya hal. 38-46. Terus terang itu adalah rasa sakit A * # utama untuk melakukan ini dalam formulasi FD. Wawasan penting yang harus diambil adalah bahwa BC melengkung dapat diperkirakan oleh sejumlah besar lurus lurus sangat kecil.

— meawoppl

Saya telah bekerja pada fdm presisi tinggi selama n tahun terakhir. dan saya telah menggunakan persamaan elektrostatik -2 redup laplace sebagai contoh untuk secara eksplisit mengembangkan algoritma presisi tinggi. sampai sekitar 4 tahun yang lalu masalah-masalah tersebut dibangun dengan titik-titik garis horizontal atau vertikal dari kemungkinan diskontinuitas. jika Anda google nama saya dan fdm presisi tinggi Anda harus menemukan referensi. tapi ini bukan pertanyaanmu. pertanyaan Anda adalah batas fdm dan kurva. sekitar setahun yang lalu saya mempresentasikan solusi pesanan 8 di hong kong (lihat Metode Perbedaan Hingga untuk Cylindrically Symmetric Electrostatics yang memiliki Batas Lengkung)) yang membuat urutan 8 algoritma untuk titik interior dekat dengan batas dan ini tentu saja memerlukan titik di sisi lain dari batas. titik-titik di sisi lain dari batas diletakkan di sana hanya dengan memperluas jala ke sisi lain. Setelah melakukan ini, pertanyaannya adalah bagaimana Anda menemukan nilai-nilai dari poin-poin ini ketika bersantai. itu dicapai dengan mengintegrasikan dari batas (potensi yang diketahui) ke titik menggunakan algoritma. itu cukup berhasil dan cukup akurat ~ <1e-11, TETAPI membutuhkan 103 algoritma yang masing-masing dibuat secara individual dan agak rapuh, geometri yang tidak stabil dapat ditemukan. untuk memperbaiki solusi di atas telah ditemukan (urutan 8 dan di bawah) menggunakan (minimal!) algoritma minimal dan solusi menunjukkan ketahanan yang cukup besar. telah dikirimkan tetapi akan tersedia sebagai cetakan dengan mengirimkan email kepada saya. Saya percaya teknik ini akan diperluas ke waktu pde's independen (diperlukan linier) selain laplace dan ke dimensi lebih tinggi dari 2. Saya belum mempertimbangkan masalah tergantung waktu tetapi teknik yang menjadi teknik rangkaian daya harus dapat beradaptasi dan dapat diterapkan. David

— David
sumber

Jika Anda bisa mengirimkan kertas ke server pracetak (seperti arXiv, misalnya), dan kemudian tautkan ke sini, itu akan meningkatkan jawaban Anda. Secara umum, jawaban tidak boleh berisi alamat email. Saya juga mendorong Anda untuk membuat jawaban Anda lebih ringkas.

— Geoff Oxberry