Saya ingin menjalankan beberapa simulasi sederhana dari hamburan paket-paket dari potensi sederhana dalam satu dimensi.

Adakah cara sederhana untuk memecahkan TDSE satu dimensi secara numerik untuk satu partikel? Saya tahu bahwa, secara umum, mencoba menggunakan pendekatan naif untuk mengintegrasikan persamaan diferensial parsial dapat dengan cepat berakhir dengan bencana. Karena itu saya mencari algoritma yang mana

• stabil secara numerik,
• sederhana untuk diterapkan, atau memiliki implementasi perpustakaan-kode yang mudah diakses,
• berjalan cukup cepat, dan semoga saja
• relatif mudah dimengerti.

Saya juga ingin menghindari metode spektral, dan khususnya metode yang sedikit lebih dari menyelesaikan persamaan Schrödinger yang tidak tergantung waktu seperti biasa. Namun, saya akan tertarik pada metode pseudo-spektral yang menggunakan B-splines atau yang lainnya. Jika metode ini dapat mengambil potensi tergantung waktu maka itu pasti bonus.

Tentu saja, metode semacam itu akan selalu memiliki sejumlah kelemahan, jadi saya ingin mendengarnya. Kapan itu tidak berhasil? Apa perangkap yang umum? Cara mana yang bisa didorong, dan cara mana yang tidak bisa?

Persamaan Schroedinger secara efektif adalah persamaan difusi reaksi

$$i\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\nabla^2\psi+V\psi\tag{1}$$ (semua konstanta adalah 1). Ketika datang ke persamaan diferensial parsial, ada dua cara untuk menyelesaikannya:

1. Metode implisit (adv: langkah waktu besar & stabil tanpa syarat, disadv: membutuhkan pemecah matriks yang dapat memberikan data buruk)
2. Metode eksplisit (adv: mudah diimplementasikan, disadv: membutuhkan langkah waktu kecil untuk stabilitas)

Untuk persamaan parabola (linier dalam dan urutan 2 dalam x ), metode implisit seringkali merupakan pilihan yang lebih baik. Alasannya adalah kondisi untuk stabilitas untuk metode eksplisit memerlukan d t ∝ d x 2 , yang akan sangat kecil. Anda dapat menghindari masalah ini dengan menggunakan metode implisit, yang tidak memiliki batasan pada langkah waktu (meskipun dalam praktiknya Anda biasanya tidak membuatnya menjadi sangat besar karena Anda dapat kehilangan sebagian dari fisika). Apa yang saya jelaskan selanjutnya adalah metode Crank-Nicolson , skema implisit urutan kedua umum (ruang & waktu).$t$$x$$dt\propto dx^2$

Permulaan

Untuk memecahkan PDE secara komputasi, Anda perlu memutuskannya (membuat variabel sesuai dengan kisi). Yang paling lurus ke depan adalah kotak Cartesian persegi panjang. Di sini, merupakan indeks waktu (dan selalu merupakan skrip super) dan j indeks posisi (selalu berupa subskrip). Dengan menggunakan ekspansi Taylor untuk variabel dependen-posisi, Persamaan (1) menjadi i ψ n + 1 j - ψ $n$$j$ Di mana kita mengasumsikan bahwaV=V(x). Apa yang terjadi selanjutnya adalah pengelompokan indeks spasial dan temporal seperti (Anda mungkin ingin memeriksa matematika):

$$i\frac{\psi^{n+1}_j-\psi_j}{dt} = -\frac12\left(\frac{\psi_{j+1}^{n+1}-2\psi_j^{n+1}+\psi_{j-1}^{n+1}}{dx^2}+\frac{\psi_{j+1}^{n}-2\psi_j^{n}+\psi_{j-1}^{n}}{dx^2}\right) \\ +\frac12\left(V_j\psi_j^{n+1} +V_j\psi_j^n\right)$$ $V=V(x)$ Persamaan ini memiliki bentuk (A0A-00⋯A+A0A-0⋯0A+A0A-⋯⋮⋮⋮⋱⋮)(ψ n + 1 0 ψ n + 1 1 ⋮ψ n + 1 J - 1 )= $$\frac12\frac{dt}{dx^2}\psi_{j+1}^{n+1}+\left(i-\frac{dt}{dx^2}-\frac12V_j\right)\psi_j^{n+1}+\frac12\frac{dt}{dx^2}\psi_{j-1}^{n+1}=\\ i\psi_j^n-\frac12\frac{dt}{dx^2}\left(\psi_{j+1}^n-2\psi_j^n+\psi_{j-1}^n\right)+\frac12V_j\psi_j^n\tag{2}$$ Yang disebut matriks tri-diagonal dan memilikisolusi yang diketahui(ditambah contoh kerja, termasuk yang ditulis oleh saya!). Metode eksplisit menggores seluruh sisi kiri (atau haruskah saya katakan baris atas?) Dari Persamaan (2) kecuali untuk istilahiψ n + 1 j . $$\left(\begin{array}{ccccc}A_0 & A_- & 0 & 0 &\cdots\\ A_+ & A_0 & A_- & 0 &\cdots\\ 0 & A_+ & A_0 & A_- &\cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\psi_0^{n+1} \\ \psi_1^{n+1}\\ \vdots \\ \psi_{J-1}^{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\psi_0^{n} \\ \psi_1^{n}\\ \vdots \\ \psi_{J-1}^{n}\end{array}\right)$$ $i\psi_j^{n+1}$

Masalah

Masalah terbesar yang saya temukan dengan metode implisit adalah bahwa mereka sangat bergantung pada kondisi batas. Jika Anda memiliki kondisi batas yang tidak ditetapkan / diterapkan dengan buruk, Anda bisa mendapatkan osilasi palsu di sel Anda yang dapat menyebabkan hasil yang buruk (lihat posting SciComp saya pada topik yang sama). Ini mengarah pada benar-benar memiliki akurasi urutan pertama di ruang, bukan ke-2 yang seharusnya diberikan skema Anda .

Metode implisit juga diduga sulit untuk diparalelkan, tetapi saya hanya menggunakannya untuk persamaan panas 1D dan tidak memerlukan dukungan paralel, jadi saya tidak dapat memverifikasi atau menolak klaim.

Saya juga tidak yakin bagaimana sifat kompleks dari fungsi gelombang akan mempengaruhi perhitungan. Pekerjaan yang telah saya lakukan menggunakan persamaan dinamis fluida Euler , dan dengan demikian sepenuhnya nyata dengan besaran non-negatif.

Potensi tergantung waktu

Jika Anda memiliki potensi bergantung pada waktu analitik (mis. ), maka Anda cukup menggunakan waktu saat ini, t , untuk V j pada RHS dari (2) dan waktu mendatang, t + d t , pada LHS. Saya tidak percaya bahwa ini akan menimbulkan masalah, tetapi saya belum menguji ini sehingga saya tidak dapat memverifikasi atau menolak aspek ini juga.$V\propto \cos(\omega t)$$t$$V_j$$t+dt$

Alternatif

Ada beberapa alternatif yang menarik untuk metode Crank-Nicolson juga. Yang pertama adalah apa yang disebut metode "super-time-stepping". Dalam metode eksplisit ini, Anda mengambil langkah waktu ( ) dan menggunakan akar polinomial Chebyshev untuk mendapatkan set dioptimalkan waktu-langkah yang cepat berjumlah d t lebih cepat daripada melakukan d t / N langkah N kali (efektif Anda mendapatkan Δ T = N 2 d t sehingga setiap langkah N memajukan Anda N d $dt\propto dx^2$$dt$$dt/N$$N$$\Delta T=N^2dt$$N$$Ndt$pada waktunya). (Saya menggunakan metode ini dalam penelitian saya karena Anda memiliki "fluks" yang terdefinisi dengan baik dari satu sel ke sel lain yang digunakan untuk menggabungkan data dari satu prosesor ke yang lain, menggunakan skema Crank-Nicolson yang tidak dapat saya lakukan ini).

EDIT Satu hal yang perlu diperhatikan adalah bahwa metode ini urutan pertama akurat dalam waktu, tetapi jika Anda menggunakan metode Runge-Kutta 2 bersamaan, itu akan memberi Anda skema akurat urutan kedua dalam waktu.

Yang lain disebut bolak-arah eksplisit . Metode ini mengharuskan Anda untuk mengetahui kondisi batas yang diketahui dan didefinisikan dengan baik. Kemudian hasil untuk menyelesaikan persamaan dengan menggunakan batas langsung dalam perhitungan (tidak perlu menerapkannya setelah setiap langkah). Apa yang terjadi dalam metode ini adalah Anda menyelesaikan PDE dua kali, sekali dalam sapuan ke atas dan sekali dalam sapuan ke bawah. Sapu ke atas menggunakan sedangkan sapuan ke bawah menggunakan ∂2

$$\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}\approx\frac{\psi_{j-1}^{n+1}-\psi_j^{n+1}-\psi_j^n+\psi_{j+1}^n}{dx^2}$$ untuk persamaan difusi sedangkan istilah lainnya akan tetap sama. Waktu-langkahn+1kemudian diselesaikan dengan rata-rata dua menyapu arah. $$\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}\approx\frac{\psi_{j+1}^{n+1}-\psi_j^{n+1}-\psi_j^n+\psi_{j-1}^n}{dx^2}$$ $n+1$

Pada awal 90-an kami mencari metode untuk menyelesaikan TDSE cukup cepat untuk melakukan animasi secara real time pada PC dan menemukan metode yang secara mengejutkan sederhana, stabil, dan eksplisit yang dijelaskan oleh PB Visscher di Computers in Physics : " Algoritme cepat yang cepat untuk persamaan Schrödinger yang tergantung waktu ". Visscher mencatat bahwa jika Anda membagi fungsi gelombang menjadi bagian nyata dan imajiner, , SE menjadi sistem:$\psi=R+iI$

$$\begin{eqnarray}\frac{dR}{dt}&=&HI \\ \frac{dI}{dt}&=&-HR \\ H&=&-\frac{1}{2m}\nabla^2+V\end{eqnarray}$$

Jika Anda kemudian menghitung dan saya di kali terhuyung-huyung ( R di 0 , Δ t , 2 Δ t , . . . Dan saya di 0,5 Δ t , 1,5 Δ t , . . $R$$I$$R$$0,\Delta t,2\Delta t,...$$I$ , Anda mendapatkan diskritisasi yang:$0.5\Delta t, 1.5\Delta t,...)$

$$R(t+\frac{1}{2} \Delta t)=R(t-\frac{1}{2} \Delta t)+\Delta t HI(t)$$

$$I(t+\frac{1}{2} \Delta t)=I(t-\frac{1}{2} \Delta t)-\Delta t HR(t)$$

dengan (standard tiga titik Laplacian).

$$\nabla^2\psi(r,t)=\frac{\psi(r+\Delta r,t)-2\psi(r,t)+\psi(r-\Delta r,t)}{\Delta r^2}$$

Ini adalah eksplisit, sangat cepat untuk menghitung, dan orde kedua akurat dalam .$\Delta t$

Mendefinisikan kerapatan probabilitas sebagai

pada langkah waktu integer dan,

$$P(x,t)=R^2(x,t)+I(x,t+\frac{1}{2} \Delta t)I(x,t-\frac{1}{2} \Delta t)$$

pada langkah waktu setengah bilangan bulat

$$P(x,t)=R(x,t+\frac{1}{2} \Delta t)R(x,t-\frac{1}{2} \Delta t)+I^2(x,t)$$

membuat algoritme kesatuan, sehingga menghemat kemungkinan.

Dengan optimasi kode yang cukup, kami bisa mendapatkan animasi yang sangat bagus yang dihitung secara real-time di 80486 mesin. Siswa dapat "menggambar" potensi apa pun, memilih energi total, dan menyaksikan evolusi waktu dari paket gaussian.

Jawaban Kyle Kanos terlihat sangat penuh, tetapi saya pikir saya akan menambahkan pengalaman saya sendiri. Metode Fourier split-step (SSFM) sangat mudah dijalankan dan digunakan; Anda dapat membuat prototipe dalam beberapa baris Mathematica dan itu, sangat stabil secara numerik. Ini melibatkan hanya memberikan operator kesatuan pada dataset Anda, sehingga secara otomatis menghemat probabilitas / kekuatan (yang terakhir jika Anda memecahkan persamaan Maxwell dengan itu, yang merupakan tempat pengalaman saya berada). Untuk persamaan Schrödinger satu dimensi (yaitu hanya variasi dan t ), ia sangat cepat bahkan sebagai kode Mathematica. Dan jika Anda perlu mempercepatnya, Anda benar-benar hanya membutuhkan kode FFT yang baik dalam bahasa target Anda (pengalaman saya terletak pada C ++).$x$$t$

Apa yang akan Anda lakukan adalah versi samaran dari Metode Propagasi Beam untuk propagasi optik melalui pandu gelombang dari berbagai penampang (analog dengan potensi waktu yang berbeda-beda), jadi akan sangat membantu untuk melihat ini juga.

Cara saya melihat SSFM / BPM adalah sebagai berikut. Landasannya adalah formula produk Trotter dari teori Lie:

$$\tag{1}\lim\limits_{m\to\infty}\left(\exp\left(\mathcal{D}\,\frac{t}{m}\right)\,\exp\left(\mathcal{V}\,\frac{t}{m}\right)\right)^m = \exp((\mathcal{D+V}) t)$$

$x-y$$x-y-z$$\psi(x,y,z)$$t$$N$$\Psi$$1024\times1024$$N=1024^2=1\,048\,576$

$$\tag{2}\mathrm{d}_t \Psi = K\Psi = (\mathcal{D+V}(t)) \Psi$$

$K = \mathcal{D+V}$$N\times N$$\mathfrak{u}(N)$$\Psi$$\exp(K\,t)$$i\hbar$$K = \mathcal{D+V}$$N$$\mathfrak{U}(N)$$\mathcal{D+V}$$i\,\hbar\,\nabla^2/(2\,m) - i\hbar^{-1}V_0 + i\hbar^{-1}(V_0-V(x,y,z,t_0))$$V_0$

Kami membiarkan:

$$\tag{3}\begin{array}{lcl}\mathcal{D} &=& i\frac{\hbar}{2\,m} \nabla^2 - i\hbar^{-1}V_0\\ \mathcal{V}&=&i\hbar^{-1}(V_0-V(x,y,z,t))\end{array}$$

Mengapa saya membaginya seperti ini akan menjadi jelas di bawah ini.

$\mathcal{D}$$\Psi\mapsto\exp(\Delta t\,\mathcal{D}) \Psi$

1. $\Psi$$\tilde{\Psi}$$x,\,y,\,z$$k_x,\,k_y,\,k_z$
2. $\tilde{\Psi}\mapsto\exp(\Delta t\,\mathcal{D}) \tilde{\Psi}$$\exp(i\,\Delta t (V_0-k_x^2+k_y^2+k_z^2)/\hbar)$ ;

3. $\exp(\Delta t\,\mathcal{D}) \Psi$

   $\mathcal{V}$$\mathcal{V}$ adalah operator multiplikasi sederhana. Jadi inilah langkah terakhir Anda dari siklus algoritmik Anda:

4. $\Psi\mapsto\exp(\Delta t\,\mathcal{V}) \Psi$$\exp(i\,\Delta t\,(V_0-V(x,y,z,t))/\hbar)$

.... dan kemudian Anda mulai selanjutnya $\Delta t$$V(x,y,z,t)$

$\Delta t$$\exp(\mathcal{D+V}\,\Delta t)\approx\exp(\mathcal{D}\,\Delta t)\,\exp(\mathcal{V}\,\Delta t)$$\mathcal{V}$$\mathcal{D}$ adalah operator perkalian sederhana.

Perhatikan bahwa Anda hanya pernah memberikan, bahkan di dunia yang dipecat, operator kesatuan: FFT dan faktor fase murni.

$\Delta t$$\Delta x$$\Delta x/\Delta t$$c$

Poin "pengalaman" kedua dengan hal semacam ini - saya hampir berani bertaruh ini adalah bagaimana Anda akan berakhir dengan mengikuti ide-ide Anda. Kita sering memiliki ide yang ingin kita lakukan simulasi sederhana dan cepat dan kotor tetapi tidak pernah berhasil seperti itu! Saya akan mulai dengan SSFM seperti yang saya jelaskan di atas karena sangat mudah dijalankan dan Anda akan segera melihat apakah hasilnya fisik atau tidak. Kemudian Anda dapat menggunakan, katakan kode SSFM Mathematica periksa hasil kode yang lebih canggih yang mungkin Anda buat, katakanlah, kode Crank Nicolson di sepanjang jawaban Kyle Kanos .

---

Batas Kesalahan

Realisasi rumus Dynkin dari Teorema Baker-Campbell-Hausdorff:

$$\exp(\mathcal{D}\Delta t)\,\exp(\mathcal{V})\Delta t) = \exp\left((\mathcal{D}+\mathcal{V})\Delta t + \frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,\Delta t^2 + \cdots\right)$$ $\Delta t>0$

$$\exp(\mathcal{D}\Delta t)\,\exp(\mathcal{V})\Delta t)\,\exp\left(-\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,\Delta t^2\right) = \exp\left((\mathcal{D}+\mathcal{V})\Delta t + \mathcal{O}(\Delta t^3)\right)$$

$\exp(\mathcal{V})\Delta t)\,\exp\left(-\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,\Delta t^2\right)$$\Delta t$

$$\frac{\Delta t^2}{2}[\mathcal{D},\,\mathcal{V}] = -\frac{i\,\Delta t^2}{2\,m}\,\left(\partial_x^2 V(x,\,t) + 2 \partial_x V(x,\,t)\,\partial_x\right)$$

$[\mathcal{D},\,\mathcal{V}]$$\exp\left(-\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,\Delta t^2\right) \approx e^{-i\,\varphi\,\Delta t^2}\left(\mathrm{id} -\left(\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,-i\,\varphi(t)\right)\,\Delta t^2\right)$$\left(\mathrm{id} -\left(\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,-i\,\varphi(t)\right)\,\Delta t^2\right) \,\psi$$\psi(x,\,t)$$\Delta t$$\varphi$$\left(\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,-i\,\varphi(t)\right)\,\Delta t^2$$\exp\left(\int \varphi\,\mathrm{d}t\right)$ .

Makalah yang relevan tentang kesalahan dalam SSFM / BPM adalah:

Lars Thylén. "Metode Propagasi Balok: Analisis Penerapannya", Optical and Quantum Electronics 15 (1983) pp433-439 .

Lars Thylén berpikir tentang kesalahan dalam hal teori non-Lie (kelompok Lie adalah bengkok saya, jadi saya suka mencari interpretasi dari mereka) tetapi ide-idenya pada dasarnya sama dengan yang di atas.

Saya dapat merekomendasikan menggunakan metode time-domain (FDTD) hingga-perbedaan. Saya bahkan menulis tutorial beberapa waktu lalu yang seharusnya menjawab sebagian besar pertanyaan Anda:

JR Nagel, "Tinjauan dan penerapan algoritma waktu-domain hingga perbedaan diterapkan pada persamaan Schrödinger," ACES Journal, Vol. 24, No. 1, Februari 2009

Saya memiliki beberapa kode Matlab yang berjalan dengan baik untuk sistem 1D. Jika Anda memiliki pengalaman dengan FDTD melakukan elektromagnetik, ini berfungsi baik untuk mekanika kuantum. Saya dapat memposting kode saya jika Anda tertarik.

Pada dasarnya, ia hanya beroperasi pada fungsi gelombang secara langsung dengan memisahkan turunan menjadi perbedaan yang terbatas. Agak mirip dengan skema Crank-Nicholson, tetapi tidak persis. Jika Anda terbiasa dengan FDTD dari teori gelombang elektromagnetik, maka FDTD akan sangat intuitif ketika menyelesaikan persamaan Schrodinger.

Metode beda hingga yang paling mudah adalah cepat dan mudah dipahami, tetapi tidak menyatu dalam waktu - sehingga kemungkinan tidak dilestarikan. Crank-Nicholson-Crout rata-rata metode perbedaan hingga maju dan mundur untuk menghasilkan metode hybrid implisit / eksplisit yang masih cukup mudah untuk dipahami dan diimplementasikan dan merupakan kesatuan dalam waktu. Situs ini menjelaskan metode ini dengan baik, menyediakan pseudocode, dan memberikan properti yang relevan:

http://www.physics.utah.edu/~detar/phycs6730/handouts/crank_nicholson/crank_nicholson/ Catatan: Ada - tanda yang hilang dari LHS dari persamaan salah satu tautan ini, yang merambat ke seluruh halaman.

Dari mana datangnya nonunitarity?

Singkatnya, memecahkan TDSE datang untuk mencari tahu bagaimana menghadapi

$| \psi(x,t)\rangle = e^{-iHt}|\psi(x,0)\rangle$

yang berisi operator diferensial dalam eksponensial.

Menerapkan perbedaan hingga ke depan mengubah operator diferensial menjadi matriks tridiagonal (mengubah Real ke grid) dan eksponensial menjadi dua syarat pertama dari seri Taylor-nya

$e^{-iHt}\approx1-iHt$

Diskritisasi dan linierisasi inilah yang memunculkan nonunitaritas. (Anda dapat menunjukkan bahwa matriks tridiagonal bukan satu kesatuan dengan perhitungan langsung.) Menggabungkan perbedaan hingga ke depan dengan perbedaan hingga ke belakang menghasilkan perkiraan

$e^{-iHt}\approx \frac {1-\frac{1}{2} iHt} {1+\frac{1}{2} iHt}$

yang, baik, kebetulan bersatu (sekali lagi Anda dapat menunjukkannya dengan perhitungan langsung)

$$H=\frac{p^2}{2m} + V(x)= E.$$ $$p \rightarrow i\hbar\partial_x,\ \ E\rightarrow i\hbar\partial_t, \ \ x\rightarrow x,$$ $$\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\partial_{xx} + V(x)\right]\psi = i\hbar\partial_t\psi,$$ $^2$ $$\partial_{xx}\psi = \partial_{tt}\psi +\dots$$ akan diperoleh (untuk V = 0 untuk kesederhanaan), seperti Pauli atau Klein Persamaan -Gordon. Tapi itu, tentu saja, masalah yang sama sekali berbeda.

$$\vec{\psi}^{n+1}=({\cal I} + \frac{i\tau}{2\hbar}\tilde{H})^{-1} ({\cal I} - \frac{i\tau}{2\hbar}\tilde{H})\vec{\psi}^{n}$$ ${\cal I}$ $$H_{jk}=(\tilde{H})_{jk}=\frac{-\hbar^{2}}{2m}\left[\frac{\delta_{j+1,k}+\delta_{j-1,k}-2\delta_{jk}}{h^{2}}\right]+V_{j}\delta_{jk}.$$ $\psi$$\psi$$\psi_s=e^{ikx}/\sqrt{L}$ $$\int |\psi|^2 dx$$ $$cp=E$$ $c$ $$ic\hbar\partial_x=i\hbar\partial_t$$ yaitu persamaan advection, yang tidak memiliki dispersi (jika terintegrasi dengan benar dengan metode Lax-Wendroff), dan wavepacket Anda tidak akan menyebar dalam waktu dalam kasus tersebut. Analog kuantum adalah persamaan Dirac tanpa-massa.