Apakah ada cara untuk melakukan "double preconditioning"

15

Pertanyaan:

Misalkan Anda memiliki dua prekondisi yang berbeda (diperhitungkan) untuk matriks pasti positif simetris : dan mana invers faktor faktor adalah mudah diaplikasikan. $A$

A \approx B^{T} B

$A \approx B^TB$

SEBUAH \approx C^{T} C,

$A \approx C^TC,$

B, B^{T}, C, C^{T}

$B, B^T, C, C^T$

Ketika apakah mungkin untuk menggunakan informasi dari kedua dan untuk membangun preconditioner lebih baik daripada atau saja? $B$ $C$ $B$ $C$

— Nick Algeria
sumber

13

Anda bisa menggunakan aditif

P_{Sebuah}^{- 1} x = (B^{T} B)^{- 1} x + (C^{T} C)^{- 1} x,

$P_a^{-1} x = (B^T B)^{-1} x + (C^T C)^{-1} x,$

multiplikatif

P_{m}^{- 1} x = (B^{T} B)^{- 1} x + (C^{T} C)^{- 1} (x - SEBUAH (B^{T} B)^{- 1} x),

$P_m^{-1} x = (B^T B)^{-1} x + (C^T C)^{-1} \Big(x - A (B^T B)^{-1} x \Big),$

atau multiplikatif simetris. Metode kelas ini tersedia dalam PETSc menggunakan PCCOMPOSITE dalam PETSc. Sebagai contoh,

petsc/src/ksp/ksp/examples/tutorials$ ./ex2 -m 100 -n 100 -ksp_monitor \ -pc_type composite -pc_composite_type multiplicative \ -pc_composite_pcs ilu,gamg 0 KSP Residual norm 7.088415699389e+01 1 KSP Residual norm 1.271768323411e+01 2 KSP Residual norm 1.529853612054e+00 3 KSP Residual norm 1.214841683459e-01 4 KSP Residual norm 8.341606406485e-03 5 KSP Residual norm 6.471990946051e-04 6 KSP Residual norm 8.082672366030e-05 7 KSP Residual norm 6.111138513482e-06 Norm of error 6.93786e-06 iterations 7

Para pengguna pengguna memiliki bagian pada "Menggabungkan Preconditioners".

— Jed Brown
sumber

Luar biasa terima kasih! Apakah Anda mengetahui adanya teori atau makalah yang membahas kondisi di mana kombinasi ini akan efektif atau tidak efektif, atau hanya cukup banyak coba-coba?

— Nick Alger

Seperti halnya semua prekondisi, analisis dalam hal spektrum dari operator prakondisi, sering dinyatakan melalui masalah nilai eigen umum. Secara intuitif, jika masing-masing prekondisi menargetkan proses yang berbeda atau bagian spektrum yang berbeda, maksud kombinasi adalah untuk memperbaiki kedua bagian. Kebanyakan pendekatan yang berhasil dari kelas ini didasarkan pada koreksi ruang bagian, yang mencakup multigrid, dekomposisi domain, dan pemisahan bidang (literatur untuk masing-masing). PETSc memiliki lebih banyak prekondisi khusus untuk mengekspos paralelisme atau menggunakan kembali hasil antara dalam kasus-kasus ini.

— Jed Brown

1

Selain jawaban Jed yang sangat baik, metode yang saya temukan baru-baru ini adalah untuk beralih di antara para prakondisi setiap langkah lain dalam GMRES fleksibel (FGMRES), seperti yang dilakukan, misalnya, dalam

Tezduyar, TE, et al. "Metode preconditioning campuran baru untuk perhitungan elemen hingga." Metode Komputer dalam Mekanika dan Rekayasa Terapan 99.1 (1992): 27-42. http://repository.ias.ac.in/24680/1/320.pdf

— Nick Algeria
sumber