Bagaimana saya bisa menghitung dasar untuk aljabar Lie matriks yang diberi generator yang terbatas?

Mengingat set sewenang-wenang (numerik) persegi kompleks matriks , Saya tertarik dalam menghitung matriks nyata aljabar Lie yang dihasilkan oleh , sebut saja . Artinya, saya ingin dasar untuk di mana didefinisikan secara rekursif sebagai $\mathcal{A}=\{A_1,A_2,\cdots,A_m\}$ $\mathcal{A}$ $\mathcal{L_\mathcal{A}}$

L_{A} = s p a n_{R} {B : B \in \cup_{k = 1}^{\infty} C_{k}}

$\mathcal{L_\mathcal{A}} = \mathbb{span_R}\{B:B\in\cup_{k=1}^{\infty}\mathcal{C}_k\}$

C_{k}

$\mathcal{C}_k$

, dan

untuk

C_{1} = A

$\mathcal{C_1}=\mathcal{A}$

C_{k + 1} = {[X, Y] : X, Y \in \cup_{j = 1}^{k} C_{j}}

$\mathcal{C_{k+1}}=\{[X,Y]:X,Y\in\cup_{j=1}^k\mathcal{C_j}\}$

k \geq 1

$k\geq 1$

Perhitungan ini muncul dalam teori kontrol (kuantum).

Saat ini saya menggunakan metode yang ditemukan di sini yang mencari hanya melalui kurung Lie berulang (yaitu yang dari bentuk ), dan dijamin akan berakhir. Namun saya tertarik untuk mengetahui apakah ada metode lain (lebih cepat). Mungkin menggunakan pangkalan P. Hall? Mungkin algoritma rekursif? Bahasa default saya saat ini adalah Matlab. $[A_{j_1},[A_{j_2},[A_{j_3},\cdots[A_{j_{n-1}},A_{j_n}]\cdots]]]$

linear-algebra matlab basis-set

— Ian Hincks
sumber

Saya menduga bahwa generator asli Anda adalah Hermitian. Apakah ini benar? Jika demikian, saya akan membayangkan langkah pertama adalah membandingkan eigenspaces dari generator, karena komutator hanya nol ketika eigenspaces berbeda.

— Jack Poulson

@JackPoulson Ya, A berasal dari Hamiltonians, dan begitu juga miring-Hermitian (bukan Hermitian karena mereka dikalikan dengan i dalam persamaan Schroedinger). Saya tidak yakin saya mengerti mengapa ini akan menjadi langkah pertama yang baik. Tidakkah menghitung komutator dan memeriksa untuk melihat apakah mereka bukan nol lebih cepat daripada mengutak-atik eigenspaces?

— Ian Hincks

Untuk komuter tingkat tunggal, mungkin ya. Tetapi ada ledakan kombinatorial ketika Anda mulai mempertimbangkan beberapa tingkat komutator. Saya tidak tahu algoritma, tetapi biasanya itu ide yang baik untuk mengeksploitasi struktur sebanyak mungkin. Saya akan dengan hati-hati memikirkan apakah Anda tahu properti lain yang berhubungan dengan generator Anda juga.

— Jack Poulson

Tautan ini menjelaskan cara melakukan ini menggunakan basis P. Hall.

$A - p(A)$ $A$ $p$

— Erik P.
sumber

@EricP Terima kasih atas tautannya, sangat berguna. Saya hanya melihat pangkalan P. Hall dalam konteks Lie algebras gratis, yang saya tidak memiliki pemahaman yang kuat, dan saya senang mengetahui bahwa intuisi saya tentang hanya menghilangkan pergantian linear tergantung benar. Akurasi numerik adalah sesuatu yang saya sangat khawatirkan. Apakah maksud Anda bahwa saya seharusnya membandingkan norma p (A) dengan norma A? Dan bahwa ini akan lebih stabil daripada membandingkan norma Ap (A) ke 0?

— Ian Hincks

‖ A - p (A) ‖

$\Vert A - p(A) \Vert$

‖ A ‖

$\Vert A \Vert$

R^{n^{2}}

$\mathbb{R}^{n^2}$

n^{2} \times k

$n^2 \times k$