Apakah determinan kecil menyiratkan pengondisian matriks?

$\det(A) \approx 0$

Apakah kebalikannya juga benar? Apakah matriks yang dikondisikan buruk memiliki determinan yang hampir nol?

Ini adalah sesuatu yang saya coba di Octave:

a = rand(4,4);
det(a) %0.008
cond(a)%125
a(:,4) = 1*a(:,1) + 2*a(:,2) = 0.000000001*ones(4,1);
det(a)%1.8E-11
cond(a)%3.46E10

linear-algebra condition-number

— Pemeriksaan resmi
sumber

Penentu menunjukkan apakah sebuah matriks adalah reguler atau tunggal. Itu tidak menunjukkan apakah itu terkondisi dengan baik atau buruk.

— Allan P. Engsig-Karup

Besarnya penentu tidak dapat mencerminkan kondisi buruk: tetapi .

κ (A) = κ (A^{- 1})

$\kappa(A)=\kappa(A^{-1})$

det (A^{- 1}) = (det A)^{- 1}

$\det (A^{-1})=(\det A)^{-1}$

— faleichik

Haruskah ada atau suatu tempat?

\approx

$\approx$

\neq

$\ne$

— Pemeriksaan

Jika Anda tertarik untuk belajar lebih banyak tentang efek floating-point matematika pada matriks spektrum, Anda harus memeriksa buku Nick Trefethen ini: Spectra dan Pseudospectra: The Perilaku tidak normal Matriks dan Operator dan Pseudospectra Gateway .

— Aron Ahmadia

Jawaban:

Ini adalah besarnya jumlah kondisi yang mengukur kedekatan dengan singularitas, bukan kelenturan penentu. $\kappa(\mathbf A)$

Sebagai contoh, matriks diagonal memiliki determinan kecil, tetapi dikondisikan dengan baik. $10^{-50} \mathbf I$

Di sisi lain, perhatikan keluarga berikut dari matriks segitiga atas, karena Alexander Ostrowski (dan juga dipelajari oleh Jim Wilkinson):

U = (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & 2 \\ 1 & ⋱ & ⋮ \\ ⋱ & 2 \\ 1 \end{matrix})

$\mathbf U=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&2\\&1&\ddots&\vdots\\&&\ddots&2\\&&&1\end{pmatrix}$

Determinan dari matriks selalu , namun rasio terbesar dengan nilai singular terkecil (yaitu jumlah kondisi 2-norma $n\times n$ $\mathbf U$ $1$ ) ditunjukkan oleh Ostrowski sama dengan $\kappa_2(\mathbf U)=\dfrac{\sigma_1}{\sigma_n}$ , yang terlihat meningkat untuk meningkatkan. $\cot^2\dfrac{\pi}{4n}$ $n$

— JM
sumber

@Nunoxic: pasti tidak; sebelum saya memulai ke detail, apakah Anda sudah terbiasa dengan dekomposisi nilai singular?

— JM

Σ

$\mathbf \Sigma$

Σ

$\mathbf \Sigma$

κ

$\kappa$

\approx \log_{b} κ

$\approx \log_b \kappa$

b

$b$

κ

$\kappa$

10^{1} 3

$10^13$

Ya, tapi itu bukan metode yang disarankan untuk menentukan nomor kondisi (penjelasan untuk pertanyaan lainnya). Saya kira Anda tahu bagaimana membalikkan matriks diagonal, bukan?

— JM

"Regd. Kehilangan digit, bisakah kamu memberi saya referensi untuk ini?" - Saya bisa, tetapi ini benar-benar salah satu hal yang harus Anda coba sendiri di lingkungan komputasi untuk penguatan.

— JM

$\det(kA)=k^n\det A$

Dengan demikian tidak pernah menggunakan determinan untuk menilai kondisi atau kedekatan dengan singularitas.

Di sisi lain, untuk hampir semua masalah numerik yang diposisikan dengan baik, kondisi ini terkait erat dengan jarak ke singularitas, dalam arti gangguan relatif terkecil yang diperlukan untuk membuat masalah tersebut menjadi masalah. Secara khusus, ini berlaku untuk sistem linear.

— Arnold Neumaier
sumber