Bagaimana cara menggabungkan syarat batas dengan metode Galerkin?

21

Saya telah membaca beberapa sumber di web tentang metode Galerkin untuk menyelesaikan PDE, tapi saya tidak jelas tentang sesuatu. Berikut ini adalah catatan saya sendiri tentang apa yang saya pahami.

Pertimbangkan masalah nilai batas (BVP) berikut:

L [u (x, y)] = 0 on (x, y) \in Ω, S [u] = 0 on (x, y) \in \partial Ω

$L[u(x,y)]=0 \quad \text{on}\quad (x,y)\in\Omega, \qquad S[u]=0 \quad \text{on} \quad (x,y)\in\partial\Omega$

di mana adalah operator diferensiasi linier ke-2, adalah domain dari BVP, adalah batas domain, dan adalah operator diferensial linier pertama. Expess sebagai aproximation dari form: $L$ $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ $\partial\Omega$ $S$ $u(x,y)$

u (x, y) \approx \sum_{i = 1}^{N} a_{i} g_{i} (x, y)

$u(x,y)\approx \sum_{i=1}^N a_i g_i(x,y)$

di mana adalah sekumpulan fungsi yang akan kita gunakan untuk memperkirakan . Mengganti dalam BVP: $g_i$ $u$

\sum_{i} a_{i} L [g_{i} (x, y)] = R (a_{1}, . . ., a_{N}, x, y)

$\sum_i a_i L[g_i(x,y)]=R(a_1,...,a_N,x,y)$

Karena perkiraan kami tidak tepat, sisa tidak tepat nol. Dalam metode Galerkin-Ritz-Raleigh kami meminimalkan sehubungan dengan set fungsi perkiraan dengan memerlukan . Karenanya $R$ $R$ $\langle R,g_i \rangle = 0$

⟨ R, g_{i} ⟩ = \sum_{j = 1}^{N} a_{j} ⟨ L [g_{j}], g_{i} ⟩ = 0

$\langle R,g_i \rangle = \sum_{j=1}^N a_j \langle L[g_j],g_i \rangle = 0$

Oleh karena itu, untuk menemukan koefisien , kita harus menyelesaikan persamaan matriks: $a_i$

(\begin{array}{ccc} ⟨ L [g_{1}], g_{1} ⟩ & \dots & ⟨ L [g_{N}], g_{1} ⟩ \\ \dots & \dots & \dots \\ ⟨ L [g_{1}], g_{N} ⟩ & \dots & ⟨ L [g_{N}], g_{N} ⟩ \end{array}) (\begin{matrix} a_{1} \\ \dots \\ a_{N} \end{matrix}) = 0

$\left( \begin{array}{ccc} \left\langle L\left[g_1\right],g_1\right\rangle & \ldots & \left\langle L\left[g_N\right],g_1\right\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ \left\langle L\left[g_1\right],g_N\right\rangle & \ldots & \left\langle L\left[g_N\right],g_N\right\rangle \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} a_1 \\ \ldots \\ a_N \end{array} \right)=0$

Pertanyaan saya adalah: Bagaimana cara saya memasukkan syarat batas ke dalam ini?

EDIT: Awalnya pertanyaan mengatakan bahwa adalah operator diferensial linear urutan 2. Saya mengubahnya menjadi operator diferensial linear urutan pertama. $S[u]$

pde finite-element boundary-conditions

— becko
sumber

1

becko, selamat datang di scicomp! Kebijakan kami pada lintas-posting mengikuti kebijakan dari situs-situs Stack Exchange lainnya . Diperbolehkan melakukan posting silang jika Anda menyesuaikan pertanyaan yang sama (kurang lebih) untuk audiens yang berbeda. Anda diperbolehkan mengajukan pertanyaan untuk dimigrasikan ke situs lain setelah beberapa waktu, jika Anda merasa bahwa pertanyaan Anda tidak dijawab dengan memuaskan (atau bahkan tidak sama sekali) di situs tempat awalnya diposting.

— Geoff Oxberry

Namun, umumnya dianggap perilaku kasar untuk lintas pos. Jika Anda melihat daftar situs beta di Area 51, banyak dari mereka masih dalam versi beta publik setelah satu tahun. Kami masih akan berada di sana untuk sementara waktu (setidaknya pada skala waktu yang lebih lama daripada yang dibutuhkan sebagian besar pertanyaan di situs ini untuk dijawab). Selain itu, kecuali jika mathpengguna yang menjawab pertanyaan Anda juga adalah scicomppengguna, mereka tidak akan mendapatkan kredit atau atribusi yang sesuai untuk jawaban mereka di sini scicompjika Anda menyalin-tempel dari math, dan sebaliknya.

— Geoff Oxberry

1

Apakah Anda yakin bahwa juga operator urutan kedua? Secara umum, itu bukan masalah yang diajukan dengan baik. Misalnya, jika , maka Anda meminta di yang memiliki solusi sangat unik (mis. Solusi PDE pada domain yang lebih besar dengan kondisi batas apa pun juga merupakan solusi). Biasanya kami meminta untuk menjadi operator urutan pertama (mungkin nonlinier).

S

$S$

S = L

$S = L$

L u = 0

$L u = 0$

\bar{Ω}

$\bar\Omega$

S

$S$

— Jed Brown

2

Bahkan jika , Anda masih mencari solusi yang tidak unik. Pertimbangkan apakah adalah operator laplace dan adalah operator linear urutan kedua lainnya. Maka setiap sedemikian rupa sehingga untuk beberapa vektor konstan dapat ditambahkan ke solusi untuk membuat solusi lain.

S \neq L

$S \ne L$

L

$L$

S

$S$

u

$u$

\nabla u = k

$\nabla u=\mathbf{k}$

k

$\mathbf{k}$

— Dan

1

@ GeoffOxberry Demi ketenangan pikiran Anda, pertanyaan duplikat di mathtelah dihapus. Jelas Anda benar tentang menyimpan pertanyaan di sini. Saya telah menerima tanggapan yang sangat membantu.

— becko

15

Jawaban cepat dan umum tanpa abstraksi matematis. Ada beberapa opsi untuk memaksakan kondisi batas, misalnya

Sebenarnya metode Galerkin mengharuskan Anda memilih satu set fungsi basis yang memenuhi BC masalah (misalnya melalui basis rekombinasi dan / atau pemisahan pendekatan dengan $u_h=u_0+u_N$ $u_0$ bertanggung jawab untuk solusi inhomogenous dan jumlah parsial yang bergantung pada fungsi dasar yang memenuhi kondisi homogen) $u_N$

Metode hukuman / Lagrange mengalikan di mana orang pada dasarnya menambahkan istilah hukuman yang memasukkan kondisi batas, misalnya A + mana adalah matriks yang bertanggung jawab untuk kondisi batas diskrit dan bertanggung jawab untuk istilah tidak homogen. Dalam batas ketentuannya diberlakukan dengan kuat dan sebaliknya diberlakukan secara lemah. Pilihan mempengaruhi pengkondisian sistem. $\tau*B = b + \tau*b_p$ $B$ $b_p$ $\tau\to\infty$ $\tau$
Metode Tau di mana sejumlah persamaan dipertukarkan (modifikasi baris dalam sistem Galerkin) dengan versi terpisah dari kondisi batas yang kemudian ditegakkan secara eksplisit. Catatan: satu opsi juga untuk membuat sistem overdetermined dengan kondisi batas tambahan.
Sebelum diskritisasi (Metode Ritz) menulis ulang formulasi Galerkin melalui teorema divergensi Gauss untuk mengubah integral volume ke integral batas dan kemudian menggabungkan (tepat atau kurang-lebih) kondisi batas langsung dalam formulasi sebelum diskritisasi.
Akhirnya, dengan mengeksploitasi koneksi antara ekspansi nodal / modal juga dimungkinkan untuk mendapatkan metode Galerkin nodal di mana solusi untuk sistem adalah koefisien dari basis Lagrange daripada basis modal.

— Allan P. Engsig-Karup
sumber

1

Saya kira

adalah

, bukan?

τ

$\tau$

λ

$\lambda$

— shuhalo

Ya. dikoreksi.

— Allan P. Engsig-Karup

1

Haruskah ia membaca "Metode Galerkin mengharuskan Anda memilih satu set fungsi dasar yang memenuhi BC masalah"?

— knl

@knl: Saya pikir juga begitu, sedangkan kalimat lainnya tidak masuk akal. Saya akan melakukan edit.

— davidhigh

7

Satu kemungkinan adalah untuk merakit sistem matriks dan vektor sisi kanan , dengan derajat kebebasan yang ditentukan sebagai tidak diketahui, seperti tingkat kebebasan lainnya. Kemudian, dan dimodifikasi dengan memusatkan baris dan kolom yang terkait dengan dof yang ditentukan, dan menempatkan satu ke entri diagonal yang sesuai, dan memodifikasi vektor rh dengan tepat . $A$ $b$ $A$ $b$ $b$

Ketika Anda nol baris, masukkan satu ke dalam diagonal dan ubah rhs sehingga Anda menegakkan nilai yang ditentukan, sistem tidak lagi simetris. Itu sebabnya Anda nol kolom dan memodifikasi vektor rhs untuk memperhitungkan nilai yang ditentukan. $b$

Kemungkinan lain adalah menambahkan angka sangat besar (biasanya 1e10) ke diagonal dof yang ditentukan dan kemudian mengatur entri rhs ke p * , di mana adalah nilai yang ditentukan dari dof itu. $p$ $\bar{u}$ $\bar{u}$

— Bernardo MR
sumber

6

Masalah umum berurusan dengan kondisi batas dengan metode elemen hingga bisa sangat rumit. Tapi jika:

sedemikian rupa sehingga satu-satunya pengenaan dibuat pada bentuk adalah sama dengan beberapa pada . $S(u)$ $S(u)=0$ $u$ $f(x,y)$ $\delta \Omega$
Anda dapat memperhalus elemen Anda sehingga sepenuhnya berada di batas berbagai elemen $\delta \Omega$

sebenarnya sangat sederhana. Persamaan Anda:

perlu diganti dengan

(\begin{array}{ccc} ⟨ L [g_{1}], g_{1} ⟩ & \dots & ⟨ L [g_{N}], g_{1} ⟩ \\ \dots & \dots & \dots \\ ⟨ L [g_{1}], g_{N} ⟩ & \dots & ⟨ L [g_{N}], g_{N} ⟩ \end{array}) (\begin{matrix} a_{1} \\ \dots \\ a_{N} \end{matrix}) = 0

$\left( \begin{array}{ccc} \left\langle L\left[g_1\right],g_1\right\rangle & \ldots & \left\langle L\left[g_N\right],g_1\right\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ \left\langle L\left[g_1\right],g_N\right\rangle & \ldots & \left\langle L\left[g_N\right],g_N\right\rangle \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} a_1 \\ \ldots \\ a_N \end{array} \right)=0$

(\begin{array}{ccc} ⟨ L [g_{1}], g_{1} ⟩ & \dots & ⟨ L [g_{N}], g_{1} ⟩ \\ \dots & \dots & \dots \\ ⟨ L [g_{1}], g_{N} ⟩ & \dots & ⟨ L [g_{N}], g_{N} ⟩ \end{array}) (\begin{matrix} a_{1} \\ \dots \\ a_{N} \end{matrix}) = b

$\left( \begin{array}{ccc} \left\langle L\left[g_1\right],g_1\right\rangle & \ldots & \left\langle L\left[g_N\right],g_1\right\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ \left\langle L\left[g_1\right],g_N\right\rangle & \ldots & \left\langle L\left[g_N\right],g_N\right\rangle \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} a_1 \\ \ldots \\ a_N \end{array} \right)=\mathbf{b}$

di mana vektor sisi kanan mewakili kondisi batas. $\mathbf{b}$

Untuk menentukan , mengatur unsur-unsur dasar Anda yang menentukan nilai di apa pun nilai-nilai mereka harus memenuhi kondisi batas. Dalam , Anda harus mengecualikan mereka dari tetapi bukan (unsur-unsur bersesuaian bahwa untuk fungsi-fungsi ini telah ditentukan, sehingga mereka tidak harus dimasukkan dalam matriks persamaan). Kemudian, mengatur $\mathbf{b}$ $u$ $\delta \Omega$ $\langle L[g_j],g_i \rangle$ $g_j$ $g_i$ $\mathbf{a}$ sebagai persamaan matriks, dan nilai-nilai dari elemenharus pop keluar yang tepat sebagai produk batinoperasi secara interior Anda dengan unsur-unsur Anda dasar batas.

⟨ R, g_{i} ⟩ = \sum_{j = 1}^{N} a_{j} ⟨ L [g_{j}], g_{i} ⟩ = 0

$\langle R,g_i \rangle = \sum_{j=1}^N a_j \langle L[g_j],g_i \rangle = 0$

b

$\mathbf{b}$

L

$L$

— Dan
sumber

b

$\mathbf{b}$

a \partial^{2} u / \partial x \partial y + b \partial^{2} u / \partial x^{2} = 0)

$a\partial^2 u/\partial x\partial y +b\partial^2 u/\partial x ^2 = 0)$

a, b

$a,b$

— becko

L

$L$

S

$S$

1

Saya mengedit pertanyaan sedikit untuk membuatnya lebih jelas, saya pikir. Saya tidak ingin memposting masalah yang sebenarnya saya coba selesaikan karena saya ingin menjaga pertanyaannya sedapat mungkin. Saya pikir saya bisa memahami metode itu dengan lebih baik.

— becko

@becko: Kami mungkin ingin memindahkan ini untuk mengobrol , karena sudah agak lama.

— Dan

2

Berikut adalah metode yang dikenal sebagai basis rekombinasi , yang belum disebutkan dalam utas ini. Saya mengutip dari buku JP Boyd, "Chebyshev and Fourier Spectral Methods", 2nd Ed., Bab 6.5 .:

$L u = f$ $L u = f$ $B(x)$ $v(x)$ $g(x)$ $u (x) \equiv v (x) + B (x) g (x) \equiv f (x) - L B (x)$ $u(x) ≡ v(x) + B(x)\\ g(x) ≡ f(x) − L B(x)$ $L v = g$ $L v = g$ $v(x)$
$B(x)$

Berikutnya adalah penjelasan saya sendiri:

$\partial_{x} u (x, y) |_{x = x_{0}} = 1.$ $\partial_x u(x,y) |_{x=x_0} = 1.$
$B(x)$
$\partial_{x} u (x, y) |_{x = x_{0}} = 0.$ $\partial_x u(x,y) |_{x=x_0} = 0.$
$u (x, y) = \sum_{i j} a_{i j} ϕ_{i} (x) φ_{j} (y)$ $u(x,y) \ =\ \sum_{ij} a_{ij} \, \phi_{i}(x) \, \varphi_{j}(y)$ $\partial_{x} u (x, y) = \sum_{i j} a_{i j} ϕ_{i}^{'} (x) φ_{j} (y)$ $\partial_x u(x,y) \ =\ \sum_{ij} a_{ij} \, \phi^\prime_{i}(x) \, \varphi_{j}(y)$ $x=x_0$
$\phi_i(x)$ $\phi^\prime_i(x)|_{x=x_0} = 0$ $i$
$=1$ $\phi^\prime_i(x)|_{x=x_0} = 1$
$\partial_{x} u (x, y) |_{x = x_{0}} = \sum_{i j} a_{i j} φ_{j} (y)$ $\partial_x u(x,y)|_{x=x_0} \ =\ \sum_{ij} a_{ij} \, \varphi_{j}(y)\,$ $1$ $y$ $a_{ij}$

Yang menyenangkan tentang keseluruhan pendekatan ini adalah bahwa ia bekerja pada tingkat yang relatif abstrak. Bahan-bahan yang diperlukan hanya linieritas dari operator BC dan ansatz dalam hal fungsi basis produk. Dengan demikian, ini juga berlaku untuk metode perkiraan.

— Davidhigh
sumber