Cara memaksakan kondisi batas dalam metode beda hingga

Saya memiliki masalah ketika saya ingin menggunakan perkiraan perbedaan pusat tingkat tinggi:

(\frac{- u_{i + 2, j} + 16 u_{i + 1, j} - 30 u_{i, j} + 16 u_{i - 1, j} - u_{i - 2, j}}{12})

$\left(\frac{-u_{i+2,j}+16u_{i+1,j}-30u_{i,j}+16u_{i-1,j}-u_{i-2,j}}{12}\right)$

untuk persamaan Poisson

dalam domain kuadrat di mana syarat batasnya adalah:

(u_{x x} + u_{y y} = 0)

$(u_{xx}+u_{yy}=0)$

u (0, y) = u (x, 0) = u (x, 1) = 0, u (1, y) = \sin π y

$u(0,y)=u(x,0)=u(x,1)=0,u(1,y)=\sin \pi y$

Δ x = Δ y = 0.1

$\Delta{x}=\Delta{y}=0.1$

Ketika saya ingin mendapatkan nilai titik-titik di dalam domain, mengingat perkiraan ini beberapa titik tergantung pada titik-titik batas luar. Misalnya, harus memiliki nilai titik yang berada di luar batas. Adakah yang bisa membantu saya dalam kasus ini? $u_{1,1}$ $u_{i-2,j}=u_{-1,0}$

pde finite-difference

— liona
sumber

Saya kira Anda menggunakan kondisi batas balon, benar?

— Paul

Silakan sebutkan syarat batas yang ingin Anda terapkan.

— David Ketcheson

Mungkin kuncinya adalah dalam penggunaan kondisi batas untuk mendapatkan kendala yang melibatkan nilai-nilai tersebut. Saya tidak dapat memperluas karena saya tidak pernah mencoba untuk memecahkan secara numerik PDE, tetapi ide ini berfungsi untuk ODE. Adakah yang bisa mengkonfirmasi ini?

— astrojuanlu

Dengan metode tingkat tinggi, akan sulit untuk memastikan stabilitas metode dengan mengisi sel hantu dengan cara ini. Yang mengatakan, masalah elips biasanya lebih memaafkan dari pengalaman saya, sehingga Anda mungkin bisa lolos begitu saja.

— Jeremy Kozdon

Liona, Anda dapat mengedit pertanyaan Anda dan menambahkan ketentuan batas di sana, yang jauh lebih baik daripada menempatkannya di komentar.

— David Ketcheson

Jawaban:

Anda mungkin ingin melihat metode beda hingga sumation-by-parts (SBP). Ken Mattsson telah melakukan banyak pekerjaan pada metode ini. Tempat yang baik untuk memulai ada di sini (koefisien konstan) dan di sini (koefisien variabel).

Pada dasarnya cara metode ini bekerja adalah mereka adalah metode pusat standar di interior dan transisi ke satu sisi di dekat batas. Bagian penting dari teknologi SBP, adalah bahwa transisi ke satu sisi sedemikian rupa sehingga stabilitas metode untuk masalah tergantung waktu dapat dibuktikan bahkan setelah dimasukkannya kondisi batas. (Ini dimungkinkan karena operator sendiri "mendefinisikan" suatu norma, yang meniru integrasi secara terpisah oleh bagian-bagian.)

Anda mengatakan bahwa Anda melihat persamaan Poisson, saya tidak sepenuhnya yakin bagaimana kondisi batas disertakan secara stabil dengan operator SBP dan persamaan elips. Saya memiliki seorang kolega yang telah bermain dengan ini untuk masalah elips dan tampaknya menunjukkan tidak masalah apa yang Anda lakukan.

— Jeremy Kozdon
sumber

Ada stensil lain yang dapat Anda gunakan untuk mendapatkan akurasi urutan tinggi di dekat titik batas. Stensil Anda saat ini berbentuk:

$Au_{i+2,j} + Bu_{i+1,j} + Cu_{i,j}+Du_{i-1,j}+Eu_{i-2,j}$

Tapi, Anda juga bisa menggunakan stensil berbeda di dekat batas seperti ini:

$Au_{i+3,j} + Bu_{i+2,j}+Cu_{i+1,j}+Du_{i,j} +Eu_{i-1,j}$

$u_{1,1}$

Demikian pula, Anda dapat memperkirakan nilai pada batas yang berlawanan dengan rumus yang sama.

— Paul
sumber

u_{1, 1}

$u_{1,1}$

Bagaimana saya bisa mendapatkan koefisien?

— liona

Untuk memahami cara menurunkan formula perbedaan hingga, referensi yang bagus adalah Bab 1 buku Leveque: fakultas.washington.edu/rjl/fdmbook . Itu berjumlah seri Taylor dan sedikit aljabar.

— David Ketcheson

O (h^{2})

$O(h^2)$

O (h^{2})

$O(h^2)$

A U (x + h)

$AU(x+h)$

B U (x)

$BU(x)$

C U (x - h)

$CU(x-h)$

D U (x - 2 h)

$DU(x-2h)$

E U (x - 3 h)

$EU(x-3h)$

U_{x x}

$U_{xx}$

-4

silakan lihat makalah fdm saya yang dapat Anda temukan di researchgate dengan nama saya david Edwards jr. jika Anda memiliki pertanyaan, saya akan dengan senang hati membantu.

David

— David
sumber

Cukup memberikan instruksi kepada orang untuk mencari di tempat lain bukanlah jawaban yang berguna. Minimal, Anda harus memberikan ringkasan jawaban di sini dan memberikan tautan ke detail lebih lanjut. Selain itu, banyak dari kita tidak setuju dengan cara ResearchGate dijalankan dan karena itu hindari semua interaksi dengan situs itu, sehingga tidak mungkin untuk melihat kertas Anda dengan metode yang Anda sarankan.

— Doug Lipinski

Harap revisi jawaban Anda untuk menyertakan ringkasan latar belakang apa pun yang menurut Anda diperlukan untuk menjawab pertanyaan. Jawaban dimaksudkan untuk menjadi mandiri; merujuk pembaca untuk mencari makalah seseorang tidak mandiri, dan jauh lebih bermanfaat daripada memberikan ringkasan isinya.

— Geoff Oxberry