Bagaimana cara menentukan apakah solusi numerik untuk PDE konvergen ke solusi kontinum?

The Lax ekuivalen teorema menyatakan bahwa konsistensi dan stabilitas skema numerik untuk masalah nilai awal linear adalah kondisi yang diperlukan dan cukup untuk konvergensi. Tetapi untuk masalah nonlinier, metode numerik dapat menyatu sangat masuk akal untuk hasil yang salah, meskipun konsisten dan stabil. Sebagai contoh, makalah ini menunjukkan bagaimana metode Godunov urutan pertama diterapkan pada persamaan air dangkal linier 1D menyatu menjadi solusi yang salah.

Konvergensi-diri di bawah mesh dan penyempurnaan langkah waktu jelas tidak cukup, tetapi solusi yang tepat umumnya tidak tersedia untuk PDE nonlinier, jadi bagaimana seseorang dapat menentukan apakah metode numerik berkonvergensi menjadi solusi asli?

pde stability convergence

— Jed Brown
sumber

Yang disebut Metode Solusi yang Diproduksi membuat solusi tepat tersedia untuk semua masalah. Mungkin tidak dapat menghasilkan jenis solusi bermasalah yang Anda uraikan, tetapi itu bukan masalah bahwa solusi yang tepat tidak pernah tersedia.

— Bill Barth

Saya pikir ini sulit di sini karena Anda perlu menebak solusi dengan jenis diskontinuitas yang tidak didekati dengan baik oleh metode solusi.

— Matt Knepley

Saya setuju bahwa kemungkinan sulit untuk membuat solusi yang merangsang mode bermasalah yang disebutkan Jed. Saya hanya ingin menunjukkan bahwa solusi yang tepat selalu tersedia untuk pengujian. Saya tidak tahu apa yang terjadi jika Anda membuat solusi untuk persamaan air dangkal linierisasi 1D menggunakan, katakanlah, campuran fungsi trigonometri dan eksponensial (tipikal dari solusi pasti MoM), putar engkol untuk mendapatkan istilah sumber yang sesuai, dan jalankan mereka melalui skema Godunov orde 1. Mungkin Jed bisa mencobanya dan melaporkan kembali.

— Bill Barth

MoM adalah alat yang hebat, tetapi dalam kasus ini, masalahnya adalah bahwa difusi salah diterapkan dalam guncangan. Di tempat lain, difusi yang konvergen ke nol pada setiap persamaan sama-sama dapat diterima, tetapi difusi tidak konvergen ke nol di dalam guncangan, sehingga menerapkan difusi numerik untuk setiap istilah sama-sama menghasilkan dinamika yang salah. Saya akan menulis jawaban panjang untuk pertanyaan ini ketika saya punya waktu, jika tidak ada yang mengalahkan saya untuk itu.

— Jed Brown

@ Jed, tidak boleh LET berlaku untuk persamaan linierisasi?

— Matt Knepley

Jawaban:

Ada dua kelas utama solusi yang akan dibahas dalam hal ini.

"Cukup" Solusi Halus

Dalam makalah klasik Strang ditunjukkan bahwa teorema kesetaraan Lax (yaitu, gagasan bahwa konsistensi ditambah stabilitas menyiratkan konvergensi) meluas ke solusi PDE nonlinear jika mereka memiliki sejumlah turunan kontinu . Perhatikan bahwa kertas itu difokuskan pada masalah hiperbolik, tetapi hasilnya mengarah ke masalah parabola. Jumlah turunan yang dibutuhkan adalah poin teknis, tetapi pendekatan ini biasanya berlaku untuk solusi yang memuaskan PDE dalam arti yang kuat.

Solusi terputus

Di sisi lain, kami memiliki "solusi" PDE dengan diskontinuitas , yang biasanya muncul dari undang-undang konservasi hiperbolik nonlinier . Dalam situasi ini, tentu saja, solusinya tidak dapat dikatakan memuaskan PDE dalam arti yang kuat, karena tidak dapat dibedakan pada satu atau lebih poin. Alih-alih, gagasan solusi lemah harus diperkenalkan, yang pada dasarnya sama dengan mengharuskan solusi memenuhi hukum konservasi integral.

Membuktikan konvergensi dari urutan solusi juga lebih sulit dalam hal ini, sebagai -Peningkatan stabilitas tidak cukup; biasanya urutan harus ditunjukkan untuk berbaring di ruang kompak, seperti set fungsi dengan beberapa variasi jumlah maksimum yang terbatas. $L_p$ $L_\infty$

Jika urutan dapat ditunjukkan untuk menyatu dengan sesuatu, dan jika metode ini konservatif, maka teorema Lax-Wendroff menjamin bahwa ia akan bertemu dengan solusi lemah dari hukum konservasi. Namun, solusi semacam itu tidak unik . Menentukan solusi lemah mana yang "benar" memerlukan informasi yang tidak terkandung dalam PDE hiperbolik. Secara umum, PDE hiperbolik diperoleh dengan mengabaikan istilah parabola dalam model kontinum, dan solusi lemah yang tepat dapat bergantung pada istilah parabola apa yang dibuang (titik terakhir ini adalah fokus makalah yang terkait dengan pertanyaan di atas ).

Ini adalah topik yang kaya dan terlibat, dan teori matematika masih jauh dari lengkap. Kebanyakan bukti konvergensi adalah untuk masalah 1D dan mengandalkan teknik khusus. Dengan demikian hampir semua solusi komputasi aktual dari hukum konservasi hiperbolik dalam praktiknya tidak dapat dibuktikan konvergen dengan alat yang ada. Untuk diskusi praktis dari sudut pandang komputasi, lihat buku LeVeque (bab 8, 12, dan 15); untuk perawatan yang lebih ketat dan terperinci saya sarankan Dafermos .

— David Ketcheson
sumber

Saya memiliki sedikit kontribusi di sini selain untuk menunjukkan bahwa setiap kali metode numerik mengalami kesulitan dengan persamaan hiperbolik (dan bertemu dengan solusi yang salah), biasanya bukan karena guncangan. Sebaliknya, daerah-daerah yang mengalami kesulitan dengan itu adalah gelombang langka - di mana solusinya halus.

u_{t} + β \cdot \nabla F (u) = g

$u_t + \beta \cdot \nabla F(u) = g$

F^{'} (u) = 0

$F'(u)=0$

u_{t} + β F^{'} (u) \cdot \nabla u = g

$u_t + \beta F'(u) \cdot \nabla u = g$

F^{'} = 0

$F'=0$

F^{'} = 0

$F'=0$

F^{'} = 0

$F'=0$

ω \subset Ω

$\omega\subset\Omega$

| ω | > 0

$|\omega|>0$

$F(u)$

F (u) = \frac{u^{4}}{u^{4} + (1 - u)^{2} \cdot (1 - u^{2})}

$F(u) = \frac{u^4}{u^4 + (1-u)^2 \cdot (1-u^2)}$

u

$u$

F^{'} (u) = 0

$F'(u)=0$

u = 0

$u=0$

— Wolfgang Bangerth
sumber

Ini adalah poin yang sangat baik, meskipun itu ortogonal untuk pertanyaan dalam arti yang ketat. Anda membahas masalah konvergensi ke solusi lemah yang benar , yang memang lebih bermasalah dalam praktiknya daripada masalah konvergensi ke beberapa solusi lemah.

— David Ketcheson